Quelles sont les trois caractéristiques d'un vecteur ?

Une direction, un sens et une norme. — La direction est celle d'une droite, la norme est la longueur.

Quand deux vecteurs sont-ils égaux ?

Quand ils ont ces trois caractéristiques en commun, quelle que soit leur position dans le plan. — Le même vecteur peut être représenté n'importe où.

Quelle différence y a-t-il entre direction et sens ?

Deux vecteurs horizontaux ont la même direction, mais peuvent avoir des sens opposés. — C'est la relation entre AB et BA.

Quelle égalité de vecteurs caractérise le parallélogramme ABDC ?

AB = CD — Une égalité de vecteurs remplace deux démonstrations de parallélisme.

Énonce la relation de Chasles pour trois points A, B et C.

AB + BC = AC — Aller de A à C revient à passer par B.

Faut-il que B soit entre A et C ?

Non : la relation est vraie pour trois points quelconques. — Elle vaut même si les trois points sont alignés.

Décompose AC en faisant intervenir un point O.

AC = AO + OC — C'est le second usage de Chasles : introduire un point pour couper un vecteur.

Que vaut BA en fonction de AB ?

BA = -AB — Même direction, même norme, sens opposé.

Dans quel ordre calcule-t-on les coordonnées d'un vecteur ?

Arrivée moins départ. — L'ordre inverse donne le vecteur opposé.

Donne les coordonnées de AB.

AB (3 ; 4) — 4 - 1 = 3 pour l'abscisse, 6 - 2 = 4 pour l'ordonnée.

Calcule la norme de AB.

\|AB\| = 5 — Par Pythagore : 3² + 4² = 25, et √25 = 5.

Donne les coordonnées du milieu de [AB].

M(2,5 ; 4) — Moyenne des coordonnées : (1+4)/2 = 2,5 et (2+6)/2 = 4.

Si l'on calcule départ moins arrivée, qu'obtient-on ?

Le vecteur opposé, BA. — La norme reste juste, mais tout le raisonnement est inversé.

Quand deux vecteurs sont-ils colinéaires ?

Quand ils ont la même direction, autrement dit quand l'un est un multiple de l'autre. — Le vecteur nul est colinéaire à tous les autres.

Écris le déterminant de u (x ; y) et v (x' ; y'), et le critère.

(u,v) = xy' - x'y ; ils sont colinéaires si et seulement si ce nombre est nul. — Un seul calcul remplace une démonstration.

Comment démontre-t-on que trois points A, B, C sont alignés ?

En montrant que AB et AC sont colinéaires. — Les deux vecteurs partent du même point.

Comment démontre-t-on que (AB) et (CD) sont parallèles ?

En montrant que AB et CD sont colinéaires. — Même outil, autre paire de vecteurs.

« Ces deux flèches sont à des endroits différents du plan : les vecteurs ne sont donc pas égaux. »

Deux vecteurs sont égaux dès qu'ils ont même direction, même sens et même norme. — La position dans le plan n'entre pas dans la définition.

« Avec A(1 ; 2) et B(4 ; 6), on a AB (-3 ; -4). »

AB (3 ; 4) : on fait arrivée moins départ. — Le résultat donné est celui de BA.

« Chasles ne s'applique que si B est situé entre A et C. »

Elle s'applique à trois points quelconques. — Elle vaut même si les trois points sont alignés autrement.

Mathématiques · Seconde · Contrôle n°1

Vecteurs, translations et repérage dans le plan

55 minutes noté sur 205 exercices

Un contrôle de mathématiques de 55 minutes sur les vecteurs en seconde : les trois caractéristiques qui définissent un déplacement, la différence entre direction et sens, la relation de Chasles lue dans les deux sens, les coordonnées prises dans le bon ordre, et le déterminant qui remplace une démonstration d'alignement. Vingt points, barème détaillé, et une correction qui dit pourquoi à chaque question.

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Deux PDF à imprimer, sur papier A4. Gratuit, sans inscription.

Avant de commencer

Un vecteur n’est pas une flèche : c’est un déplacement, et la flèche n’en est qu’un dessin.
Direction et sens ne sont pas synonymes.
La relation de Chasles reste vraie même si le point intermédiaire n’est pas entre les deux.
Coordonnées d’un vecteur : arrivée moins départ, dans cet ordre.
Un déterminant nul remplace une démonstration d’alignement ou de parallélisme.
Le vecteur nul est colinéaire à tous les autres.

Exercice 1 — Trois caractéristiques

4 pts · 10 min

Définir un vecteur

Réponds à chaque question.

1.Quelles sont les trois caractéristiques d’un vecteur ?
1 pt
Voir la correction
Une direction, un sens et une norme.
La direction est celle d’une droite, la norme est la longueur.
2.Quand deux vecteurs sont-ils égaux ?
1 pt
Voir la correction
Quand ils ont ces trois caractéristiques en commun, quelle que soit leur position dans le plan.
Le même vecteur peut être représenté n’importe où.
3.Quelle différence y a-t-il entre direction et sens ?
1 pt
Voir la correction
Deux vecteurs horizontaux ont la même direction, mais peuvent avoir des sens opposés.
C’est la relation entre $A B$ et $B A$ .
4.Quelle égalité de vecteurs caractérise le parallélogramme $A B D C$  ?
1 pt
Voir la correction
$A B = C D$
Une égalité de vecteurs remplace deux démonstrations de parallélisme.

Exercice 2 — La relation de Chasles

4 pts · 11 min

Utiliser la relation de Chasles

Réponds à chaque question.

1.Énonce la relation de Chasles pour trois points $A$ , $B$ et $C$ .
1 pt
Voir la correction
$A B + B C = A C$
Aller de $A$ à $C$ revient à passer par $B$ .
2.Faut-il que $B$ soit entre $A$ et $C$  ?
1 pt
Voir la correction
Non : la relation est vraie pour trois points quelconques.
Elle vaut même si les trois points sont alignés.
3.Décompose $A C$ en faisant intervenir un point $O$ .
1 pt
Voir la correction
$A C = A O + O C$
C’est le second usage de Chasles : introduire un point pour couper un vecteur.
4.Que vaut $B A$ en fonction de $A B$  ?
1 pt
Voir la correction
$B A = - A B$
Même direction, même norme, sens opposé.

Exercice 3 — Coordonnées, norme, milieu

5 pts · 13 min

Calculer avec des coordonnées

On donne $A (1; 2)$ et $B (4; 6)$ . Réponds à chaque question.

1.Dans quel ordre calcule-t-on les coordonnées d’un vecteur ?
1 pt
Voir la correction
Arrivée moins départ.
L’ordre inverse donne le vecteur opposé.
2.Donne les coordonnées de $A B$ .
1 pt
Voir la correction
$A B (3; 4)$
$4 - 1 = 3$ pour l’abscisse, $6 - 2 = 4$ pour l’ordonnée.
3.Calcule la norme de $A B$ .
1 pt
Voir la correction
$∥ A B ∥ = 5$
Par Pythagore : $3^{2} + 4^{2} = 25$ , et $25 = 5$ .
4.Donne les coordonnées du milieu de $[A B]$ .
1 pt
Voir la correction
$M (2, 5; 4)$
Moyenne des coordonnées : $\frac{1 + 4}{2} = 2, 5$ et $\frac{2 + 6}{2} = 4$ .
5.Si l’on calcule départ moins arrivée, qu’obtient-on ?
1 pt
Voir la correction
Le vecteur opposé, $B A$ .
La norme reste juste, mais tout le raisonnement est inversé.

Exercice 4 — Colinéarité

4 pts · 11 min

Tester la colinéarité

Réponds à chaque question.

1.Quand deux vecteurs sont-ils colinéaires ?
1 pt
Voir la correction
Quand ils ont la même direction, autrement dit quand l’un est un multiple de l’autre.
Le vecteur nul est colinéaire à tous les autres.
2.Écris le déterminant de $u (x; y)$ et $v (x^{'}; y^{'})$ , et le critère.
1 pt
Voir la correction
$det (u, v) = x y^{'} - x^{'} y$  ; ils sont colinéaires si et seulement si ce nombre est nul.
Un seul calcul remplace une démonstration.
3.Comment démontre-t-on que trois points $A$ , $B$ , $C$ sont alignés ?
1 pt
Voir la correction
En montrant que $A B$ et $A C$ sont colinéaires.
Les deux vecteurs partent du même point.
4.Comment démontre-t-on que $(A B)$ et $(C D)$ sont parallèles ?
1 pt
Voir la correction
En montrant que $A B$ et $C D$ sont colinéaires.
Même outil, autre paire de vecteurs.

Exercice 5 — Trouve l'erreur

3 pts · 10 min

Repérer une erreur et la corriger

Chaque affirmation est fausse. Écris ce qu’il fallait dire.

1.« Ces deux flèches sont à des endroits différents du plan : les vecteurs ne sont donc pas égaux. »
1 pt
Voir la correction
Deux vecteurs sont égaux dès qu’ils ont même direction, même sens et même norme.
La position dans le plan n’entre pas dans la définition.
2.« Avec $A (1; 2)$ et $B (4; 6)$ , on a $A B (- 3; - 4)$ . »
1 pt
Voir la correction
$A B (3; 4)$ : on fait arrivée moins départ.
Le résultat donné est celui de $B A$ .
3.« Chasles ne s’applique que si $B$ est situé entre $A$ et $C$ . »
1 pt
Voir la correction
Elle s’applique à trois points quelconques.
Elle vaut même si les trois points sont alignés autrement.

Barème — ce que le correcteur regarde

Les lignes chiffrées couvrent les 5 exercices et totalisent 20 points.

Ex.1Les trois caractéristiques d’un vecteur

4 points — 1 par question

Point perdu si : Direction et sens employés l’un pour l’autre.

Ex.2La relation de Chasles dans les deux sens

4 points — 1 par question

Point perdu si : Chasles réservée au cas où le point est entre les deux.

Ex.3Les coordonnées, la norme et le milieu

5 points — 1 par question

Point perdu si : Des coordonnées calculées départ moins arrivée.

Ex.4La colinéarité par le déterminant

4 points — 1 par question

Point perdu si : Un alignement affirmé sans calcul de déterminant.

Ex.5L’erreur repérée, et la réponse juste donnée

3 points — 1 par ligne

Point perdu si : Deux vecteurs déclarés différents parce qu’ils ne se touchent pas.

Et maintenant ?

16 à 20: Le chapitre est tenu. Entraîne-toi maintenant au second usage de Chasles, celui qui sert le plus : introduire un point pour couper un vecteur en deux, quand ce point arrange le calcul.
10 à 15: Refais l'exercice 3 en te disant la formule à voix basse : « arrivée moins départ ». Puis contrôle sur le dessin — un vecteur qui va vers la droite a sa première coordonnée positive.
moins de 10: Reprends la fiche de cours et retiens l'idée d'ouverture : le même vecteur peut être dessiné n'importe où dans le plan. Elle règle à elle seule la moitié des difficultés du chapitre.

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