Introduction à la trigonométrie — Radian et cercle unité

Convertir degrés et radians

Réponds à chaque question.

1. 1.Que mesure un radian ?

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   La longueur de l’arc découpé sur un cercle de rayon 1.

   Le tour complet vaut alors $2\pi$.

2. 2.Quel repère unique permet toutes les conversions ?

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   $180°=\pi$

   Toutes les valeurs courantes s’en déduisent par division.

3. 3.Convertis 60° en radians.

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   $\frac{\pi }{3}$

   On multiplie par $\frac{\pi }{180}$, et $\frac{60}{180}=\frac{1}{3}$.

4. 4.Convertis $\frac{\pi }{4}$ en degrés.

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   45°

   On multiplie par $\frac{180}{\pi }$ : le $\pi$ se simplifie, et $\frac{180}{4}=45$.

Définir cosinus et sinus sur le cercle

Réponds à chaque question.

1. 1.Quel est le rayon du cercle trigonométrique, et où est-il centré ?

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   Rayon 1, centré à l’origine d’un repère orthonormé.

   Un rayon égal à 1 est ce qui fait de la longueur de l’arc la mesure de l’angle.

2. 2.Depuis quel axe et dans quel sens mesure-t-on l’angle ?

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   Depuis l’axe des abscisses, dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.

   C’est le sens conventionnellement positif.

3. 3.Que représentent $\cos \theta$ et $\sin \theta$ ?

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   L’abscisse et l’ordonnée du point $M$ associé à l’angle.

   Le point s’écrit $M(\cos \theta ;\sin \theta )$.

4. 4.Pourquoi cette définition vaut-elle mieux que celle du collège ?

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   Parce qu’elle vaut pour n’importe quel angle, positif, négatif ou supérieur à un tour.

   Le rapport de longueurs n’existait qu’entre 0° et 90°.

5. 5.Entre quelles valeurs un cosinus et un sinus sont-ils nécessairement compris ?

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   Entre $-1$ et 1.

   Le point est sur un cercle de rayon 1 : ses coordonnées ne peuvent pas sortir de là.

Employer la relation fondamentale

Réponds à chaque question.

1. 1.Écris la relation fondamentale.

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   ${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$

   Elle vient du théorème de Pythagore appliqué au cercle de rayon 1.

2. 2.Comment en déduit-on ${\sin }^2\theta$ ?

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   ${\sin }^2\theta =1-{\cos }^2\theta$

   On isole le terme cherché en faisant passer le carré du cosinus de l’autre côté.

3. 3.Un calcul donne $\cos \theta =1,3$. Que faut-il en conclure ?

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   Que le calcul est faux : le point serait hors du cercle de rayon 1.

   L’erreur peut aussi venir du mode de la calculatrice.

4. 4.Quel contrôle gratuit faut-il faire sur tout cosinus ou sinus ?

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   Vérifier qu’il appartient à $[-1;1]$.

   Il attrape la moitié des erreurs de signe et de conversion.

Calculer un sinus à partir d'un cosinus

On sait que $\cos \theta =\frac{3}{5}$ et que $\theta$ est compris entre 0 et $\frac{\pi }{2}$.

1. 1.Calcule ${\cos }^2\theta$.

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   ${\left(\frac{3}{5}\right)}^2=0,36$

   On élève la fraction au carré, numérateur et dénominateur.

2. 2.Calcule ${\sin }^2\theta$.

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   $1-0,36=0,64$

   On applique la relation fondamentale.

3. 3.Quelles sont les deux racines possibles ?

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   $0,8$ et $-0,8$

   Un carré admet toujours deux racines opposées.

4. 4.Laquelle retenir, et pourquoi ?

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   $0,8$, parce qu’entre 0 et $\frac{\pi }{2}$ le point est dans le quart de plan supérieur droit.

   Son ordonnée y est positive : c’est l’intervalle donné qui tranche.

Repérer une erreur et la corriger

Chaque affirmation est fausse. Écris ce qu’il fallait dire.

1. 1.« L’angle est donné en radians, je laisse ma calculatrice en degrés. »

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   Il faut la passer en radians avant tout calcul.

   Dans la mauvaise unité, tous les résultats sont faux sans qu’aucun message ne le signale.

2. 2.« Le cosinus est l’ordonnée du point, et le sinus son abscisse. »

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   Le cosinus est l’abscisse, le sinus l’ordonnée.

   L’ordre alphabétique des deux mots suit celui des deux axes.

3. 3.« Pour convertir 60° en radians, je multiplie par $\frac{180}{\pi }$. »

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   On multiplie par $\frac{\pi }{180}$.

   L’autre facteur sert dans le sens inverse, des radians vers les degrés.