Entre quelles valeurs une probabilité est-elle toujours comprise ?

Entre 0 et 1 — Un résultat hors de cet intervalle signale une erreur de calcul.

Que signifie une probabilité nulle ?

Que l'événement est impossible. — Une probabilité égale à un signifie au contraire qu'il est certain.

Que dit une probabilité sur la partie qui vient ?

Rien : elle décrit ce qui arrive sur un très grand nombre d'essais. — C'est ce qui la rend utile : le hasard d'une fois est imprévisible, celui de dix mille fois ne l'est plus.

Comment nomme-t-on la croyance qu'après cinq « pile », « face » devient plus probable ?

Le sophisme du joueur — La pièce n'a pas de mémoire : chaque lancer reste indépendant.

Quelle est la probabilité de tirer un jeton vert ?

5/12 — Cinq cas favorables sur douze possibles, et la fraction ne se simplifie pas.

Quelle est la probabilité de tirer un jeton noir ?

1/4 — Trois sur douze, qui se simplifie par trois.

Quelle est la probabilité de ne pas tirer un jeton jaune ?

2/3 — Par le contraire : 1 - 4/12 = 8/12, qui se simplifie par quatre.

Pour un événement formulé avec « au moins un », quel est le chemin le plus court ?

Passer par l'événement contraire, « aucun ». — Il n'y a alors qu'un seul chemin à calculer au lieu de plusieurs.

Combien de niveaux l'arbre comporte-t-il ?

Deux — Un niveau par expérience, et il y a ici deux tirages successifs.

Que vaut la probabilité de tirer une rouge, à chaque tirage ?

2/5 — La boule est remise : l'urne est identique aux deux tirages.

Quelle est la probabilité d'obtenir deux rouges ?

4/25 — On multiplie le long du chemin. Le résultat est plus petit que chaque étape, comme il se doit.

Quelle est la probabilité d'obtenir exactement une rouge ?

12/25 — Deux chemins conviennent, rouge puis bleue et bleue puis rouge, chacun valant 6/25.

Le long d'un même chemin, multiplie-t-on ou additionne-t-on ?

On multiplie — Les deux conditions doivent être remplies toutes les deux ; additionner répondrait à « l'une ou l'autre ».

« Obtenir un 1 » et « obtenir un 4 » sont-ils incompatibles ?

Oui — Un même lancer ne peut pas donner les deux : aucune issue ne leur est commune.

« Obtenir un nombre pair » et « obtenir un multiple de trois » le sont-ils ?

Non : le six appartient aux deux. — Les additionner compterait le six deux fois.

Dans quel cas peut-on additionner directement deux probabilités ?

Quand les deux événements sont incompatibles. — C'est une condition, pas une règle générale.

Que vérifie-t-on avant d'additionner ?

S'il existe une issue commune aux deux événements. — S'il en existe une, l'addition directe est interdite.

« La probabilité de cet événement vaut 1,3. »

Impossible : une probabilité ne dépasse jamais 1. — Un résultat hors de l'intervalle signale une erreur, souvent une addition là où il fallait multiplier.

« Le long d'un chemin, j'additionne : 1/2 + 1/3. »

On multiplie : 1/2 × 1/3 = 1/6. — Additionner répondrait à « l'un ou l'autre », et donnerait un résultat plus grand que chaque étape.

« Sans remise, les probabilités du second tirage sont les mêmes qu'au premier. »

Non : l'urne a changé de contenu, donc les probabilités aussi. — Ce mot de l'énoncé décide de tout l'arbre : il se souligne avant de commencer.

Mathématiques · 4ème · Contrôle n°1

Probabilités — Calcul et arbres

55 minutes noté sur 205 exercices

Un contrôle de mathématiques de 55 minutes sur les probabilités en quatrième : ce qu'une probabilité mesure et ce qu'elle ne dit pas, le calcul en situation d'équiprobabilité, l'arbre d'une expérience composée — on multiplie le long d'un chemin, on additionne entre les chemins —, et les événements incompatibles. Vingt points, barème détaillé, et une correction qui dit pourquoi à chaque question.

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Deux PDF à imprimer, sur papier A4. Gratuit, sans inscription.

Avant de commencer

Une probabilité est comprise entre 0 et 1 : zéro pour l’impossible, un pour le certain.
Elle ne dit rien de la prochaine partie : elle dit ce qui arrive sur un très grand nombre d’essais.
La probabilité de l’événement contraire complète à 1, et c’est souvent le chemin le plus court.
Dans un arbre, on multiplie le long d’un chemin et l’on additionne entre les chemins.
Un produit de probabilités est toujours plus petit que chacune d’elles : un produit qui grandit est une erreur.
Deux événements ne s’additionnent directement que s’ils ne peuvent pas se produire ensemble.

Exercice 1 — Ce qu'une probabilité mesure

4 pts · 10 min

Interpréter correctement une probabilité

Réponds à chaque question.

1.Entre quelles valeurs une probabilité est-elle toujours comprise ?
1 pt
Voir la correction
Entre 0 et 1
Un résultat hors de cet intervalle signale une erreur de calcul.
2.Que signifie une probabilité nulle ?
1 pt
Voir la correction
Que l’événement est impossible.
Une probabilité égale à un signifie au contraire qu’il est certain.
3.Que dit une probabilité sur la partie qui vient ?
1 pt
Voir la correction
Rien : elle décrit ce qui arrive sur un très grand nombre d’essais.
C’est ce qui la rend utile : le hasard d’une fois est imprévisible, celui de dix mille fois ne l’est plus.
4.Comment nomme-t-on la croyance qu’après cinq « pile », « face » devient plus probable ?
1 pt
Voir la correction
Le sophisme du joueur
La pièce n’a pas de mémoire : chaque lancer reste indépendant.

Exercice 2 — Calculer une probabilité

4 pts · 11 min

Calculer une probabilité par dénombrement

Une urne contient douze jetons indiscernables : cinq verts, quatre jaunes et trois noirs. On en tire un au hasard. Donne chaque probabilité sous forme simplifiée.

1.Quelle est la probabilité de tirer un jeton vert ?
1 pt
Voir la correction
$\frac{5}{12}$
Cinq cas favorables sur douze possibles, et la fraction ne se simplifie pas.
2.Quelle est la probabilité de tirer un jeton noir ?
1 pt
Voir la correction
$\frac{1}{4}$
Trois sur douze, qui se simplifie par trois.
3.Quelle est la probabilité de ne pas tirer un jeton jaune ?
1 pt
Voir la correction
$\frac{2}{3}$
Par le contraire : $1 - \frac{4}{12} = \frac{8}{12}$ , qui se simplifie par quatre.
4.Pour un événement formulé avec « au moins un », quel est le chemin le plus court ?
1 pt
Voir la correction
Passer par l’événement contraire, « aucun ».
Il n’y a alors qu’un seul chemin à calculer au lieu de plusieurs.

Exercice 3 — L'arbre d'une expérience composée

5 pts · 13 min

Construire et exploiter un arbre de probabilités

Une urne contient deux boules rouges et trois boules bleues. On tire une boule, on la remet, puis on tire de nouveau. Réponds à chaque question.

1.Combien de niveaux l’arbre comporte-t-il ?
1 pt
Voir la correction
Deux
Un niveau par expérience, et il y a ici deux tirages successifs.
2.Que vaut la probabilité de tirer une rouge, à chaque tirage ?
1 pt
Voir la correction
$\frac{2}{5}$
La boule est remise : l’urne est identique aux deux tirages.
3.Quelle est la probabilité d’obtenir deux rouges ?
1 pt
Voir la correction
$\frac{4}{25}$
On multiplie le long du chemin. Le résultat est plus petit que chaque étape, comme il se doit.
4.Quelle est la probabilité d’obtenir exactement une rouge ?
1 pt
Voir la correction
$\frac{12}{25}$
Deux chemins conviennent, rouge puis bleue et bleue puis rouge, chacun valant $\frac{6}{25}$ .
5.Le long d’un même chemin, multiplie-t-on ou additionne-t-on ?
1 pt
Voir la correction
On multiplie
Les deux conditions doivent être remplies toutes les deux ; additionner répondrait à « l’une ou l’autre ».

Exercice 4 — Les événements incompatibles

4 pts · 12 min

Reconnaître deux événements incompatibles

On lance un dé équilibré à six faces. Réponds en justifiant.

1.« Obtenir un 1 » et « obtenir un 4 » sont-ils incompatibles ?
1 pt
Voir la correction
Oui
Un même lancer ne peut pas donner les deux : aucune issue ne leur est commune.
2.« Obtenir un nombre pair » et « obtenir un multiple de trois » le sont-ils ?
1 pt
Voir la correction
Non : le six appartient aux deux.
Les additionner compterait le six deux fois.
3.Dans quel cas peut-on additionner directement deux probabilités ?
1 pt
Voir la correction
Quand les deux événements sont incompatibles.
C’est une condition, pas une règle générale.
4.Que vérifie-t-on avant d’additionner ?
1 pt
Voir la correction
S’il existe une issue commune aux deux événements.
S’il en existe une, l’addition directe est interdite.

Exercice 5 — Trouve l'erreur

3 pts · 9 min

Repérer un raisonnement faux et le corriger

Chaque affirmation est fausse. Écris la réponse juste.

1.« La probabilité de cet événement vaut 1,3. »
1 pt
Voir la correction
Impossible : une probabilité ne dépasse jamais 1.
Un résultat hors de l’intervalle signale une erreur, souvent une addition là où il fallait multiplier.
2.« Le long d’un chemin, j’additionne : $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ . »
1 pt
Voir la correction
On multiplie : $\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ .
Additionner répondrait à « l’un ou l’autre », et donnerait un résultat plus grand que chaque étape.
3.« Sans remise, les probabilités du second tirage sont les mêmes qu’au premier. »
1 pt
Voir la correction
Non : l’urne a changé de contenu, donc les probabilités aussi.
Ce mot de l’énoncé décide de tout l’arbre : il se souligne avant de commencer.

Barème — ce que le correcteur regarde

Les lignes chiffrées couvrent les 5 exercices et totalisent 20 points.

Ex.1Ce qu’une probabilité mesure, énoncé exactement

4 points — 1 par question

Point perdu si : La probabilité présentée comme une prédiction de la partie suivante.

Ex.2Le dénombrement juste, et la fraction simplifiée

4 points — 1 par question

Point perdu si : Un « au moins un » calculé de front alors que le contraire allait plus vite.

Ex.3La multiplication le long du chemin

5 points — 1 par question

Point perdu si : Des probabilités additionnées le long d’une branche.

Ex.4L’incompatibilité vérifiée avant l’addition

4 points — 1 par question

Point perdu si : Deux événements additionnés alors qu’une issue leur est commune.

Ex.5L’erreur repérée, et la réponse juste donnée

3 points — 1 par ligne

Point perdu si : Une probabilité supérieure à 1 laissée telle quelle.

Et maintenant ?

16 à 20: Les arbres sont maîtrisés. Entraîne-toi maintenant aux tirages sans remise : c'est le même arbre, mais le second niveau change, et l'énoncé ne le répète pas.
10 à 15: Refais l'exercice 3 en contrôlant que la somme de tous les chemins vaut 1. Ce contrôle est gratuit et il attrape presque toutes les erreurs.
moins de 10: Reprends la fiche de cours et retiens une phrase : le long d'un chemin on multiplie, entre les chemins on additionne.

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Programme du cycle 4 — BO spécial n°11 du 26 novembre 2015, ajusté au BO du 26 juillet 2018 · Contrôle rédigé pour ProgresSchool, version 2026.1.