Théorème de Thalès — Configuration et agrandissement

Reconnaître une configuration de Thalès

Réponds à chaque question.

1. 1.Que faut-il repérer avant d’écrire le moindre rapport ?

   1 pt
   Voir la correction

   Le sommet commun

   C’est le point par lequel passent les deux sécantes, et il ouvre chaque longueur.

2. 2.Dans quel sens écrit-on les trois rapports ?

   1 pt
   Voir la correction

   En partant du sommet, le petit triangle au numérateur et le grand au dénominateur.

   Garder le même sens partout est la seule protection contre l’inversion.

3. 3.Le rapport $\frac{AM}{AC}$ compare-t-il quelque chose ?

   1 pt
   Voir la correction

   Non : $AM$ est sur une sécante et $AC$ sur l’autre.

   Un rapport correct se lit le long d’une seule droite.

4. 4.Que faut-il vérifier avant d’appliquer le théorème ?

   1 pt
   Voir la correction

   Que le parallélisme est donné par l’énoncé, ou démontré.

   Sans lui, on utilise une hypothèse qu’on n’a pas.

Calculer une longueur par le théorème de Thalès

Dans chaque cas, $M$ appartient à $(AB)$, $N$ à $(AC)$, et $(MN)$ est parallèle à $(BC)$. Calcule la longueur demandée.

1. 1.$AM=3$ cm, $AB=12$ cm, $AC=20$ cm. Calcule $AN$.

   1 pt
   Voir la correction

   5 cm

   $\frac{3}{12}=\frac{AN}{20}$, donc $AN=\frac{3\times 20}{12}=5$.

2. 2.$AM=6$ cm, $AB=9$ cm, $MN=8$ cm. Calcule $BC$.

   1 pt
   Voir la correction

   12 cm

   $\frac{6}{9}=\frac{8}{BC}$, donc $BC=\frac{8\times 9}{6}=12$.

3. 3.Avec $AM=6$ cm et $AB=9$ cm, quel est le coefficient qui mène du grand triangle au petit ?

   1 pt
   Voir la correction

   $\frac{2}{3}$

   Il est inférieur à 1 : c’est une réduction, et toutes les longueurs la subissent.

4. 4.Le petit triangle peut-il avoir un côté plus long que le grand ?

   1 pt
   Voir la correction

   Non

   Un contrôle en une seconde : si la réponse dépasse la longueur du grand, elle est fausse.

5. 5.Quelle opération termine le calcul ?

   1 pt
   Voir la correction

   Le produit en croix

   Il ne s’emploie qu’une fois le bon rapport isolé, pas avant.

Employer un coefficient d'agrandissement sur des longueurs et des aires

Réponds à chaque question.

1. 1.Les longueurs d’une figure sont multipliées par 3. Par combien son aire est-elle multipliée ?

   1 pt
   Voir la correction

   Par 9

   Deux longueurs interviennent dans une aire, et chacune est multipliée par 3.

2. 2.Une photo agrandie deux fois occupe combien de fois plus de papier ?

   1 pt
   Voir la correction

   Quatre fois

   C’est le même calcul, et c’est ce que l’intuition refuse spontanément.

3. 3.Sur une maquette au 1/50, quelle longueur représente un mur réel de 6 m ?

   1 pt
   Voir la correction

   12 cm

   600 cm divisés par 50 : la conversion se fait avant la division, pas après.

4. 4.Pourquoi l’aire ne suit-elle pas le même coefficient que les longueurs ?

   1 pt
   Voir la correction

   Parce qu’une aire est le produit de deux longueurs, chacune multipliée par le coefficient.

   Le coefficient intervient donc deux fois, d’où son carré.

Démontrer un parallélisme par la réciproque de Thalès

Réponds à chaque question en justifiant.

1. 1.Quelles deux conditions faut-il réunir pour conclure au parallélisme ?

   1 pt
   Voir la correction

   Les points alignés dans le même ordre sur les deux sécantes, et les deux rapports égaux.

   La condition d’ordre n’est pas un détail : sans elle, la conclusion est fausse.

2. 2.$AM=4$, $AB=6$, $AN=6$, $AC=9$, les points étant dans le même ordre. Les droites sont-elles parallèles ?

   1 pt
   Voir la correction

   Oui.

   $\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$ et $\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$ : les deux rapports coïncident.

3. 3.$AM=3$, $AB=5$, $AN=4$, $AC=7$. Les droites sont-elles parallèles ?

   1 pt
   Voir la correction

   Non.

   $\frac{3}{5}=0,6$ et $\frac{4}{7}\approx 0,571$ : les rapports diffèrent.

4. 4.Peut-on conclure au parallélisme à partir de l’allure de la figure ?

   1 pt
   Voir la correction

   Non : une figure n’est jamais une preuve.

   Elle est tracée à main levée, ou codée précisément pour induire en erreur.

Repérer une erreur de raisonnement et la corriger

Chaque affirmation est fausse. Écris la réponse juste.

1. 1.« Les longueurs sont multipliées par 4, donc l’aire aussi. »

   1 pt
   Voir la correction

   L’aire est multipliée par 16.

   Le coefficient intervient deux fois dans une aire : c’est son carré qui compte.

2. 2.« Les deux droites ont l’air parallèles sur la figure, donc j’applique Thalès. »

   1 pt
   Voir la correction

   Il faut que l’énoncé le donne, ou le démontrer par la réciproque.

   Appliquer le théorème sans son hypothèse, c’est démontrer à partir de rien.

3. 3.Dans un triangle $OPQ$, avec $R$ sur $(OP)$ et $S$ sur $(OQ)$ : « j’écris $\frac{OR}{OQ}=\frac{OS}{OP}$. »

   1 pt
   Voir la correction

   Il fallait écrire $\frac{OR}{OP}=\frac{OS}{OQ}$.

   Chaque rapport se lit le long d’une seule sécante, du sommet vers l’extérieur.