Fonctions de référence : carré, racine, inverse, cube

Connaître les fonctions de référence

Réponds à chaque question.

1. 1.Sur quel ensemble la fonction racine carrée est-elle définie, et comment y varie-t-elle ?

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   Sur $[0;+\infty [$, où elle est croissante.

   Sa courbe part de l’origine et monte de plus en plus lentement.

2. 2.Donne le domaine et les variations de la fonction carré.

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   Définie sur $\mathbb{R}$, décroissante sur $]-\infty ;0]$ et croissante sur $[0;+\infty [$.

   Son minimum vaut 0, atteint en 0.

3. 3.Sur quel ensemble la fonction inverse est-elle définie ?

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   $\mathbb{R}\setminus \{0\}$

   Zéro est exclu : on ne divise pas par zéro.

4. 4.Pourquoi ne peut-on pas dire que l’inverse est décroissante sur $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ ?

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   Parce qu’avec $a=-1$ et $b=1$, on a $a<b$ et pourtant $f(a)<f(b)$.

   Elle décroît sur chaque intervalle, pas sur leur réunion : deux intervalles séparés exigent deux phrases.

5. 5.Laquelle des quatre est croissante sur $\mathbb{R}$ tout entier ?

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   La fonction cube.

   C’est la seule des quatre dans ce cas.

Reconnaître les symétries des fonctions de référence

Réponds à chaque question.

1. 1.La fonction carré est-elle paire ou impaire, et quelle symétrie en découle ?

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   Paire : sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

   Cette courbe porte un nom : la parabole.

2. 2.Même question pour l’inverse et le cube.

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   Toutes deux impaires : leurs courbes sont symétriques par rapport à l’origine.

   La courbe de l’inverse porte un nom : l’hyperbole.

3. 3.Combien de branches la courbe de l’inverse comporte-t-elle ?

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   Deux, symétriques par rapport à l’origine.

   C’est ce qui interdit d’annoncer une variation unique sur les deux.

4. 4.Quel extremum la fonction carré possède-t-elle, et où ?

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   Un minimum qui vaut 0, atteint en 0.

   La racine carrée, elle, n’a pas de maximum : sa courbe monte sans jamais s’arrêter.

Comparer deux images par les variations

Réponds à chaque question.

1. 1.Compare $\sqrt{7}$ et $\sqrt{8}$ sans calculatrice, et justifie.

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   $\sqrt{7}<\sqrt{8}$, car la fonction racine est croissante.

   Sur un intervalle croissant, $a<b$ entraîne $f(a)<f(b)$.

2. 2.Calcule ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2$ et compare au nombre de départ.

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   $\frac{1}{4}$, qui est plus petit que $\frac{1}{2}$.

   Élever au carré a diminué le nombre.

3. 3.Calcule $3^2$ et compare au nombre de départ.

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   $9$, qui est plus grand que 3.

   Cette fois le carré a augmenté le nombre : tout dépend de l’endroit.

4. 4.Où se situe la frontière entre les deux comportements ?

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   En 1, qui est son propre carré.

   Le carré agrandit au-delà de 1 et rapetisse entre 0 et 1.

Lire une transformation dans l'écriture

Réponds à chaque question.

1. 1.Quel effet a l’écriture $f(x)+k$ sur la courbe ?

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   Elle la translate vers le haut de $k$, vers le bas si $k$ est négatif.

   C’est la transformation dont le signe se devine sans effort.

2. 2.Quel effet a l’écriture $f(x+k)$ ?

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   Elle translate la courbe vers la gauche de $k$.

   Le signe est contre-intuitif : c’est là que se perdent les points.

3. 3.Où se situe le minimum de $g(x)=(x-3{)}^2$, et que cela prouve-t-il ?

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   En $x=3$ : le sommet s’est déplacé vers la droite.

   Il est atteint quand $x-3=0$, ce qui se vérifie en trois secondes.

4. 4.Quel effet a l’écriture $-f(x)$, et comment s’appelle-t-elle ?

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   Elle retourne la courbe par rapport à l’axe des abscisses : c’est une réflexion.

   Ce n’est pas une translation, et le mot compte.

Repérer une erreur et la corriger

Chaque affirmation est fausse. Écris ce qu’il fallait dire.

1. 1.« Comme $-5<-2$, on a $(-5{)}^2<(-2{)}^2$. »

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   $25>4$ : l’ordre s’inverse.

   Sur $]-\infty ;0]$ la fonction carré est décroissante, et un intervalle décroissant retourne l’ordre.

2. 2.« Élever un nombre au carré l’augmente toujours. »

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   Le carré diminue les nombres compris entre 0 et 1.

   ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$, et la frontière est 1.

3. 3.« La courbe de $g(x)=(x-3{)}^2$ est celle de $x^2$ décalée de 3 vers la gauche. »

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   Elle est décalée de 3 vers la droite.

   Son minimum est atteint quand $x-3=0$, donc en 3.