Géométrie repérée — Équation de droite et distance

Déterminer l'équation d'une droite

On donne $A(1;2)$ et $B(3;8)$. Réponds à chaque question.

1. 1.Que représente le coefficient directeur $a$ ?

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   Ce dont on monte quand on avance de 1.

   La montée est au numérateur de la fraction qui le calcule.

2. 2.Que représente l’ordonnée à l’origine $b$ ?

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   L’ordonnée du point de la droite dont l’abscisse vaut 0.

   C’est là que la droite coupe l’axe des ordonnées.

3. 3.Calcule le coefficient directeur de la droite $(AB)$.

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   $a=\frac{8-2}{3-1}=3$

   Différence des ordonnées divisée par différence des abscisses, dans le même ordre.

4. 4.Détermine $b$, puis l’équation de $(AB)$.

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   $2=3\times 1+b$ donne $b=-1$, donc $y=3x-1$.

   On remplace par les coordonnées de l’un des deux points, puis on isole $b$.

5. 5.Vérifie l’équation avec le point $B$.

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   $3\times 3-1=8$, qui est bien l’ordonnée de $B$.

   On vérifie sur le point qui n’a pas servi à trouver l’équation.

Reconnaître une droite verticale

Réponds à chaque question.

1. 1.Quelle forme a l’équation d’une droite verticale ?

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   $x=k$

   Elle n’a pas de coefficient directeur.

2. 2.Pourquoi la forme $y=ax+b$ ne convient-elle pas ?

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   Parce que le calcul du coefficient directeur diviserait par zéro.

   Les deux points ont la même abscisse.

3. 3.Toute droite a-t-elle une équation de la forme $y=ax+b$ ?

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   Non : seules les droites non verticales.

   C’est la restriction que porte la définition.

4. 4.Que vaut le coefficient directeur d’une droite horizontale ?

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   Zéro.

   On n’y monte pas quand on avance de 1.

Reconnaître parallélisme et perpendicularité

Réponds à chaque question.

1. 1.À quelle condition deux droites non verticales sont-elles parallèles ?

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   Quand elles ont le même coefficient directeur.

   $a=a^{\prime }$, et rien d’autre à vérifier.

2. 2.À quelle condition sont-elles perpendiculaires ?

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   Quand le produit de leurs coefficients directeurs vaut $-1$.

   Chacun est alors l’opposé de l’inverse de l’autre.

3. 3.Une droite a pour coefficient directeur 3. Quel est celui d’une perpendiculaire ?

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   $-\frac{1}{3}$

   On inverse la fraction et on change le signe.

4. 4.Que vaut le coefficient d’une perpendiculaire à une droite de coefficient 1 ?

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   $-1$

   Ce sont les deux diagonales d’un carré, vérifiables d’un coup d’œil sur un quadrillage.

Calculer distances et milieux

On travaille en repère orthonormé, avec $A(1;2)$ et $B(4;6)$.

1. 1.Écris la formule de la distance $AB$.

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   $AB=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}$

   C’est Pythagore appliqué aux différences de coordonnées.

2. 2.Calcule $AB$.

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   $AB=\sqrt{3^2+4^2}=5$

   $9+16=25$, dont la racine vaut 5.

3. 3.Laquelle des deux formules, distance ou milieu, exige un repère orthonormé ?

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   Celle de la distance ; le milieu se calcule dans n’importe quel repère.

   L’énoncé doit préciser que le repère est orthonormé.

4. 4.Pourquoi comparer les carrés des longueurs plutôt que les longueurs ?

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   Parce que la fonction racine conserve l’ordre : on évite les racines et les arrondis.

   Si $A{B}^2\ne A{C}^2$, alors $AB\ne AC$.

Repérer une erreur et la corriger

Chaque affirmation est fausse. Écris ce qu’il fallait dire.

1. 1.« Pour $A(1;2)$ et $B(3;8)$ : $a=\frac{3-1}{8-2}=\frac{1}{3}$ »

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   $a=\frac{8-2}{3-1}=3$

   La montée est au numérateur : rien dans le résultat faux ne signale l’erreur.

2. 2.« Ces deux droites ont des coefficients 2 et $\frac{1}{2}$ : elles sont perpendiculaires. »

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   Leur produit vaut 1, pas $-1$ : elles ne le sont pas.

   Il faudrait un coefficient de $-\frac{1}{2}$.

3. 3.« $AC\approx 4,24$ et $BC\approx 4,24$ : le triangle est isocèle. »

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   Il faut comparer les carrés exacts avant de conclure.

   Deux arrondis égaux ne prouvent pas une égalité de longueurs.