Calcul littéral — Développement et factorisation

Repérer et corriger une erreur

Le brouillon du document 1 contient quatre erreurs et une seule ligne juste. Pour chaque erreur, indique la ligne, explique ce qui est faux et écris ce qu’il fallait obtenir.

Réponse rédigée. Ce que le correcteur attend, critère par critère :

1. 1.Ligne 1 — les facteurs restants multipliés au lieu d’être additionnés.

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   Le facteur commun est $(x+2)$ et il reste $x+3$ : $x(x+2)+3(x+2)=(x+2)(x+3)$.

   Mettre en facteur, c’est écrire $ka+kb=k(a+b)$ : ce qui reste s’additionne. Pour $x=1$, le membre de gauche vaut $12$, celui de Malik $9$.

2. 2.Ligne 2 — un trinôme pris pour un carré.

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   $(x+4{)}^2=x^2+8x+16$ : le terme $10x$ n’est pas le double produit, donc $x^2+10x+16$ n’est pas le carré de $x+4$.

   Le test $x=1$ tranche : le trinôme vaut $27$, alors que $(1+4{)}^2=25$. Ce trinôme ne se factorise pas par une identité remarquable.

3. 3.Ligne 4 — une solution oubliée.

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   $x^2-81=0$ s’écrit $(x-9)(x+9)=0$, donc $x=9$ ou $x=-9$.

   $(-9{)}^2$ vaut aussi $81$. Seule la forme produit donne toutes les solutions : chaque facteur en fournit une.

4. 4.Ligne 5 — une division par l’inconnue.

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   $3x^2-12x=0$, soit $3x(x-4)=0$, donc $x=0$ ou $x=4$.

   Diviser par $3x$ suppose $x\ne 0$ ; or $0$ est solution, puisque $3\times 0^2=12\times 0$. La division l’a effacée sans laisser de trace.

Démontrer ou réfuter

Pour chaque affirmation, réponds par vrai ou faux, puis justifie : par un calcul littéral si elle est vraie, par un contre-exemple ou une propriété du cours si elle est fausse.

1. 1.« Pour tout nombre $x$, $(x-5{)}^2=(5-x{)}^2$. »

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   Vrai : les deux membres se développent en $x^2-10x+25$.

   $(5-x{)}^2=25-10x+x^2$ : mêmes termes, dans un autre ordre. On a développé les deux membres au lieu de se contenter d’un essai.

2. 2.« L’équation $x^2+9=0$ a deux solutions : $3$ et $-3$. »

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   Faux : pour $x=3$, $x^2+9$ vaut $18$. Un carré est positif ou nul, donc $x^2+9⩾9$ : l’équation n’a aucune solution.

   $x^2+9$ est une somme de deux carrés : elle ne se factorise pas, contrairement à la différence $x^2-9$.

3. 3.« L’équation $(x+1)(x+2)(x-7)=0$ a trois solutions. »

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   Vrai : $-1$, $-2$ et $7$.

   La propriété du produit nul vaut quel que soit le nombre de facteurs : le produit est nul dès que l’un d’eux l’est, et chacun donne une solution.

4. 4.« $(x+2{)}^2-(x+2)$ ne s’annule que pour $x=-2$. »

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   Faux : $(x+2{)}^2-(x+2)=(x+2)(x+1)$, qui s’annule aussi pour $x=-1$.

   Le facteur commun $(x+2)$ apparaît seul dans le second terme : il vaut $(x+2)\times 1$, d’où $x+2-1=x+1$. Contrôle : $1^2-1=0$.

5. 5.« Si $a\times b=12$, alors $a=12$ ou $b=12$. »

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   Faux : $3\times 4=12$, et aucun des deux facteurs ne vaut $12$.

   La propriété du produit nul est propre au nombre zéro : c’est pourquoi on ramène toujours une équation à « produit $=0$ » avant de scinder.

Mettre en équation

Pour chaque problème, choisis l’inconnue, écris une équation, ramène-la à un produit nul et conclus par une phrase.

1. 1.Quels sont les nombres égaux à leur propre carré ?

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   $0$ et $1$

   $x^2=x$ s’écrit $x^2-x=0$, soit $x(x-1)=0$. Diviser par $x$ n’aurait laissé que $1$.

2. 2.On ajoute 3 à un nombre, puis on élève le résultat au carré : on obtient 64. Quel peut être le nombre de départ ?

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   $5$ ou $-11$

   $(x+3{)}^2=64$ donne $(x+3-8)(x+3+8)=0$, soit $(x-5)(x+11)=0$ : les deux nombres conviennent, car $(-8{)}^2=64$ aussi.

3. 3.Un rectangle a une aire de 45 cm², et sa longueur dépasse sa largeur de 4 cm. On note $x$ sa largeur, en cm. Montre que $x(x+4)-45=(x+2{)}^2-49$, puis trouve les dimensions du rectangle.

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   Largeur 5 cm, longueur 9 cm.

   $(x+2{)}^2-49=x^2+4x-45=x(x+4)-45$. Puis $(x+2-7)(x+2+7)=0$ donne $x=5$ ou $x=-9$ ; une longueur est positive, donc $x=5$, et $5\times 9=45$.

Démontrer une propriété

Lis la règle du document 2, puis réponds aux questions. Chaque réponse se justifie par un calcul.

1. 1.Vérifie la règle sur $35$ et sur $45$, en calculant aussi ces carrés par une identité remarquable.

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   $3\times 4=12$ donne $1225$, et $(30+5{)}^2=900+300+25=1225$ ; $4\times 5=20$ donne $2025$, et $(40+5{)}^2=1600+400+25=2025$.

   Les deux essais confirment la règle sans la prouver : ils ne disent rien des entiers que l’on n’a pas essayés.

2. 2.Développe $(10n+5{)}^2$, sachant qu’un entier qui se termine par 5 s’écrit $10n+5$, où $n$ est son nombre de dizaines.

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   $100n^2+100n+25$

   Carré d’une somme : $(10n{)}^2=100n^2$, double produit $2\times 10n\times 5=100n$, et $5^2=25$.

3. 3.Factorise $100n^2+100n$, puis explique pourquoi la règle de Zoé est vraie pour tout entier qui se termine par 5.

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   $100n^2+100n=100n(n+1)$, donc $(10n+5{)}^2=100\times n(n+1)+25$ : le produit $n(n+1)$ donne les centaines, et $25$ s’écrit à droite.

   Multiplier par 100 décale de deux rangs : il reste deux chiffres à droite pour écrire 25. Le calcul littéral vaut pour tout $n$, d’où la preuve.

4. 4.Applique la règle à $95^2$ et à $105^2$.

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   $95^2=9025$ et $105^2=11025$.

   $9\times 10=90$, puis 25 à droite ; pour 105, le nombre de dizaines est 10 : $10\times 11=110$, puis 25.

5. 5.Démontre que la même idée vaut pour un décimal qui se termine par 0,5, puis calcule $7,5^2$ de tête.

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   $(n+0,5{)}^2=n^2+n+0,25=n(n+1)+0,25$, donc $7,5^2=7\times 8+0,25=56,25$.

   Même identité, avec $a=n$ et $b=0,5$ : le double produit vaut $2\times n\times 0,5=n$, qui se regroupe avec $n^2$ en $n(n+1)$.