Calcul littéral — Développement et factorisation

Reconnaître une forme

Pour chaque question, coche la seule réponse juste.

1. 1.Dans la consigne « Factorise $x^2-4x$ », on attend à l’arrivée…

   0.5 pt
   • une somme de termes
   • un produit de facteurs
   • la valeur de $x$
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   un produit de facteurs

   Factoriser, c’est passer d’une somme à un produit : on obtient ici $x(x-4)$, un produit de deux facteurs.

2. 2.$5x$ et $5x^2$ sont-ils des termes semblables ?

   0.5 pt
   • oui : ils ont la même lettre
   • non : leurs parties littérales diffèrent
   • oui : ils ont le même coefficient
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   non : leurs parties littérales diffèrent

   Des termes semblables ont exactement la même partie littérale : $x$ et $x^2$ ne l’ont pas, et $5x+5x^2$ ne se réduit pas.

3. 3.Dans le développement de $(x+9{)}^2$, le double produit vaut…

   0.5 pt
   • $9x$
   • $18x$
   • $81$
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   $18x$

   Le double produit est $2\times x\times 9=18x$ ; $81$ est le carré du second terme, pas le double produit.

4. 4.$a^2-b^2$ est égal à…

   0.5 pt
   • $(a-b{)}^2$
   • $(a-b)(a+b)$
   • $a^2-2ab+b^2$
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   $(a-b)(a+b)$

   C’est la différence de deux carrés ; $(a-b{)}^2$ vaut $a^2-2ab+b^2$, une tout autre expression, à trois termes.

5. 5.$-(3x-4)$ est égal à…

   0.5 pt
   • $-3x-4$
   • $-3x+4$
   • $3x-4$
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   $-3x+4$

   Le moins porte sur toute la parenthèse : ses deux termes changent de signe, et $-4$ devient $+4$.

6. 6.Laquelle de ces expressions se factorise grâce à une différence de deux carrés ?

   0.5 pt
   • $x^2+100$
   • $x^2-100$
   • $x^2-100x$
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   $x^2-100$

   $x^2-100=x^2-10^2=(x-10)(x+10)$. Une somme de carrés ne se factorise pas, et $x^2-100x$ se factorise par le facteur commun $x$.

7. 7.Pour contrôler une factorisation, on peut…

   0.5 pt
   • remplacer $x$ par un même nombre dans les deux formes et comparer
   • vérifier que la forme obtenue contient des parenthèses
   • compter les termes de la forme de départ
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   remplacer $x$ par un même nombre dans les deux formes et comparer

   Deux formes égales donnent le même nombre pour toute valeur de $x$ : deux résultats différents prouvent que la factorisation est fausse.

8. 8.Les solutions de l’équation $(x-6)(x+2)=0$ sont…

   0.5 pt
   • $6$ et $-2$
   • $-6$ et $2$
   • $6$ seulement
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   $6$ et $-2$

   Un produit est nul si l’un de ses facteurs l’est : $x-6=0$ donne $6$, et $x+2=0$ donne $-2$.

Connaître les identités remarquables

Dans chaque égalité, des points de suspension remplacent un terme. Écris ce terme, choisi dans la banque. Deux termes ne servent pas.

1. 1.$(x+4{)}^2=x^2+\dots +16$

   0.5 pt
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   $8x$

   Le double produit vaut $2\times x\times 4=8x$ : sans lui, il ne resterait que deux termes.

2. 2.$(x-10{)}^2=x^2-20x+\dots$

   0.5 pt
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   $100$

   Le dernier terme est le carré de $10$, toujours positif : $10^2=100$, et non $20$.

3. 3.$(2x+3)(2x-3)=4x^2-\dots$

   0.5 pt
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   $9$

   Produit d’une somme par une différence : $a^2-b^2$ avec $b=3$, donc $3^2=9$, et non $3$.

4. 4.$(5x-1{)}^2=\dots -10x+1$

   0.5 pt
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   $25x^2$

   Le premier terme est le carré de $5x$ : $5x\times 5x=25x^2$, le coefficient est lui aussi élevé au carré.

5. 5.$x^2-81=(x-9)\times \dots$

   0.5 pt
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   $(x+9)$

   $81=9^2$ : la différence de deux carrés se factorise en $(x-9)(x+9)$, deux facteurs qui ne diffèrent que par un signe.

6. 6.$4x^2+4x+1=(\dots {)}^2$

   0.5 pt
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   $2x+1$

   $4x^2=(2x{)}^2$, $1=1^2$, et le double produit $2\times 2x\times 1=4x$ correspond : c’est $(2x+1{)}^2$.

Reconnaître une forme factorisée

Relie chaque somme à sa forme factorisée par un trait, puis recopie la lettre dans la case. Une forme factorisée ne sert pas.

• A$(x+5{)}^2$
• B$(x-5)(x+5)$
• C$5x(x+5)$
• D$(x-5{)}^2$
• E$x(x-5)$
• F$x(x+5)$

1. 1.$x^2-25$

   0.5 pt
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   B

   Deux carrés séparés par un moins, avec $25=5^2$ : c’est une différence de deux carrés.

2. 2.$x^2-10x+25$

   0.5 pt
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   D

   Trois termes, et le double produit $2\times x\times 5=10x$ précédé d’un moins : carré d’une différence.

3. 3.$x^2+10x+25$

   0.5 pt
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   A

   Trois termes et un double produit positif : c’est le carré de la somme $x+5$.

4. 4.$x^2-5x$

   0.5 pt
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   E

   Les deux termes contiennent $x$ : on le met en facteur, et il reste $x-5$ dans la parenthèse.

5. 5.$5x^2+25x$

   0.5 pt
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   C

   Le plus grand facteur commun est $5x$, car $5x^2=5x\times x$ et $25x=5x\times 5$.

Développer et réduire

Développe puis réduis chaque expression.

1. 1.$4(2x-3)-(x-5)$

   1 pt
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   $7x-7$

   $8x-12-x+5$ : le moins devant la seconde parenthèse change $-5$ en $+5$, puis $8x-x=7x$ et $-12+5=-7$.

2. 2.$(x+6)(x-2)$

   1 pt
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   $x^2+4x-12$

   $x^2-2x+6x-12$ : quatre produits, puis $-2x+6x=4x$.

3. 3.$(2x-5)(3x+1)$

   1 pt
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   $6x^2-13x-5$

   $6x^2+2x-15x-5$ : le $-5$ multiplie aussi $3x$, ce qui donne $-15x$, et $2x-15x=-13x$.

4. 4.$(x-8{)}^2$

   1 pt
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   $x^2-16x+64$

   Carré d’une différence : le double produit $2\times x\times 8=16x$ se retranche, le carré $64$ s’ajoute.

Lire une identité sur une figure

Une pièce en L est découpée dans un carré de côté $x$, privé d’un carré de côté 3. On la coupe en deux pièces, 1 et 2, puis on déplace la pièce 2 pour former un rectangle. Observe la figure, puis réponds.

1. 1.Exprime l’aire de la pièce en L en fonction de $x$, comme la différence de deux aires.

   1 pt
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   $x^2-9$

   Le grand carré a pour aire $x^2$, le carré retiré $3^2=9$ : on soustrait la seconde aire de la première.

2. 2.Écris dans les cases A et B de la figure les deux dimensions du rectangle.

   1.5 pt
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   A : $x+3$ ; B : $x-3$.

   La longueur réunit le côté $x$ de la pièce 1 et la largeur 3 de la pièce 2 ; la largeur est la hauteur $x-3$ de la pièce 1.

3. 3.Écris l’aire du rectangle sous la forme d’un produit.

   1 pt
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   $(x+3)(x-3)$

   L’aire d’un rectangle est le produit de sa longueur par sa largeur : ici, les deux dimensions des cases A et B.

4. 4.Les deux aires sont égales. Écris l’égalité obtenue, puis nomme l’identité remarquable qu’elle illustre.

   1 pt
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   $x^2-9=(x-3)(x+3)$ : la différence de deux carrés.

   Le rectangle est fait des mêmes pièces que le L, donc il a la même aire. C’est $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ avec $a=x$ et $b=3$.

5. 5.Vérifie l’égalité pour $x=10$ : calcule l’aire du L, puis celle du rectangle.

   1 pt
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   $100-9=91$ et $13\times 7=91$ : les deux aires valent $91$ cm².

   Le même nombre des deux côtés : le contrôle confirme l’égalité, que la figure démontre pour tout $x$ plus grand que 3.

6. 6.Déduis-en, sans poser l’opération, le produit $23\times 17$.

   1 pt
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   $391$

   Avec $x=20$ : $23\times 17=(20+3)(20-3)=20^2-9$, soit $400-9=391$.