8 - 2x — Le moins porte sur les deux termes : 5 - 2x + 3. Le terme constant change du tout au tout.

6x² + 7x - 20 — 6x² + 15x - 8x - 20, et 15 - 8 = 7.

2x + 7 — Les termes en x entre eux, les constantes entre elles, et jamais les uns avec les autres.

3x + 5 se réduit-il en 8x ?

Non : les deux termes ne sont pas semblables. — Avec x = 2, la première écriture vaut 11 et la seconde 16.

-2x + 14 — Le facteur négatif multiplie les deux termes, y compris celui qui portait déjà un moins.

4x² + 12x + 9 — Le double produit vaut 2 × 2x × 3 = 12x.

9x² - 6x + 1 — Le double produit est négatif ; le carré du second terme reste positif.

16x² - 25 — Les deux doubles produits s'annulent : il ne reste que deux termes.

Combien de termes un carré développé donne-t-il ?

Trois — Une différence de deux carrés en donne deux : compter les termes départage les deux identités.

(x - 8)(x + 8) — Deux termes, et une différence de deux carrés : 64 = 8².

(x + 2)(x - 3) + (x + 2)

(x + 2)(x - 2) — Le second terme vaut (x+2) × 1 : le crochet donne x - 3 + 1.

(3x - 5)² — Trois termes, et 30x est bien le double produit de 3x par 5.

6x(2x + 3) — Le facteur commun porte le plus grand diviseur des coefficients, et la lettre.

x = 1/2 ou x = -4 — Chaque facteur donne une équation du premier degré.

x = 0 ou x = 5 — On ramène à zéro : x² - 5x = 0, donc x(x - 5) = 0.

Pourquoi ne divise-t-on pas les deux membres par x ?

Parce que zéro est une solution, et la division l'efface. — Diviser suppose que le diviseur n'est pas nul — or c'est précisément la valeur qu'on cherche.

x = 6 ou x = -6 — La différence de deux carrés se factorise, et la forme de départ ne laissait rien voir.

9 - (4x - 6) = 9 - 4x - 6

9 - 4x + 6 = 15 - 4x — Le moins porte sur toute la parenthèse, donc sur chacun de ses termes.

(a - b)² = a² - b²

(a - b)² = a² - 2ab + b² — Ce sont deux identités différentes : un carré développé donne trois termes.

(x + 7)² = x² + 14x + 49 — Une somme de deux carrés ne se factorise pas : il manque ici tout le double produit.

Mathématiques · 3ème · Contrôle n°1

Calcul littéral — Développement et factorisation

55 minutes noté sur 205 exercices

Un contrôle de mathématiques de 55 minutes sur le calcul littéral en troisième : le signe moins devant une parenthèse, les termes semblables, les trois identités remarquables, la factorisation quand le facteur commun apparaît seul, et l'équation qu'on ne résout pas en divisant par l'inconnue. Vingt points, barème détaillé, et une correction qui dit pourquoi à chaque question.

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Deux PDF à imprimer, sur papier A4. Gratuit, sans inscription.

Avant de commencer

Un moins devant une parenthèse porte sur chacun de ses termes, sans exception.
On n’additionne que des termes ayant exactement la même partie littérale.
Un carré développé donne trois termes ; une différence de deux carrés en donne deux.
Quand le facteur commun apparaît seul, il vaut ce facteur multiplié par un — et ce un reste.
Un produit est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul.
On ne divise jamais les deux membres par l’inconnue : cela efface une solution sans laisser de trace.

Exercice 1 — Développer et réduire

5 pts · 13 min

Développer et réduire une expression littérale

Développe puis réduis.

1. $5 - (2 x - 3)$
1 pt
Voir la correction
$8 - 2 x$
Le moins porte sur les deux termes : $5 - 2 x + 3$ . Le terme constant change du tout au tout.
2. $(3 x - 4) (2 x + 5)$
1 pt
Voir la correction
$6 x^{2} + 7 x - 20$
$6 x^{2} + 15 x - 8 x - 20$ , et $15 - 8 = 7$ .
3. $3 x + 5 - x + 2$
1 pt
Voir la correction
$2 x + 7$
Les termes en $x$ entre eux, les constantes entre elles, et jamais les uns avec les autres.
4. $3 x + 5$ se réduit-il en $8 x$  ?
1 pt
Voir la correction
Non : les deux termes ne sont pas semblables.
Avec $x = 2$ , la première écriture vaut 11 et la seconde 16.
5. $- 2 (x - 7)$
1 pt
Voir la correction
$- 2 x + 14$
Le facteur négatif multiplie les deux termes, y compris celui qui portait déjà un moins.

Exercice 2 — Les identités remarquables

4 pts · 11 min

Employer les identités remarquables

Développe en employant l’identité qui convient.

1. $(2 x + 3)^{2}$
1 pt
Voir la correction
$4 x^{2} + 12 x + 9$
Le double produit vaut $2 \times 2 x \times 3 = 12 x$ .
2. $(3 x - 1)^{2}$
1 pt
Voir la correction
$9 x^{2} - 6 x + 1$
Le double produit est négatif ; le carré du second terme reste positif.
3. $(4 x + 5) (4 x - 5)$
1 pt
Voir la correction
$16 x^{2} - 25$
Les deux doubles produits s’annulent : il ne reste que deux termes.
4.Combien de termes un carré développé donne-t-il ?
1 pt
Voir la correction
Trois
Une différence de deux carrés en donne deux : compter les termes départage les deux identités.

Exercice 3 — Factoriser

4 pts · 11 min

Factoriser une expression littérale

Factorise, puis vérifie en redéveloppant.

1. $x^{2} - 64$
1 pt
Voir la correction
$(x - 8) (x + 8)$
Deux termes, et une différence de deux carrés : $64 = 8^{2}$ .
2. $(x + 2) (x - 3) + (x + 2)$
1 pt
Voir la correction
$(x + 2) (x - 2)$
Le second terme vaut $(x + 2) \times 1$ : le crochet donne $x - 3 + 1$ .
3. $9 x^{2} - 30 x + 25$
1 pt
Voir la correction
$(3 x - 5)^{2}$
Trois termes, et $30 x$ est bien le double produit de $3 x$ par $5$ .
4. $12 x^{2} + 18 x$
1 pt
Voir la correction
$6 x (2 x + 3)$
Le facteur commun porte le plus grand diviseur des coefficients, et la lettre.

Exercice 4 — Résoudre une équation-produit

4 pts · 11 min

Résoudre une équation-produit

Résous en donnant toutes les solutions.

1. $(2 x - 1) (x + 4) = 0$
1 pt
Voir la correction
$x = \frac{1}{2}$ ou $x = - 4$
Chaque facteur donne une équation du premier degré.
2. $x^{2} = 5 x$
1 pt
Voir la correction
$x = 0$ ou $x = 5$
On ramène à zéro : $x^{2} - 5 x = 0$ , donc $x (x - 5) = 0$ .
3.Pourquoi ne divise-t-on pas les deux membres par $x$  ?
1 pt
Voir la correction
Parce que zéro est une solution, et la division l’efface.
Diviser suppose que le diviseur n’est pas nul — or c’est précisément la valeur qu’on cherche.
4. $x^{2} - 36 = 0$
1 pt
Voir la correction
$x = 6$ ou $x = - 6$
La différence de deux carrés se factorise, et la forme de départ ne laissait rien voir.

Exercice 5 — Trouve l'erreur

3 pts · 9 min

Repérer un calcul faux et le corriger

Chaque écriture est fausse. Écris la bonne.

1. $9 - (4 x - 6) = 9 - 4 x - 6$
1 pt
Voir la correction
$9 - 4 x + 6 = 15 - 4 x$
Le moins porte sur toute la parenthèse, donc sur chacun de ses termes.
2. $(a - b)^{2} = a^{2} - b^{2}$
1 pt
Voir la correction
$(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$
Ce sont deux identités différentes : un carré développé donne trois termes.
3. $x^{2} + 49 = (x + 7)^{2}$
1 pt
Voir la correction
$(x + 7)^{2} = x^{2} + 14 x + 49$
Une somme de deux carrés ne se factorise pas : il manque ici tout le double produit.

Barème — ce que le correcteur regarde

Les lignes chiffrées couvrent les 5 exercices et totalisent 20 points.

Ex.1Le signe distribué sur toute la parenthèse

5 points — 1 par expression

Point perdu si : Un terme constant qui change du tout au tout, faute d’avoir distribué le moins.

Ex.2Le double produit présent dans chaque carré

4 points — 1 par question

Point perdu si : Le carré d’une différence confondu avec une différence de carrés.

Ex.3La factorisation menée jusqu’au bout

4 points — 1 par expression

Point perdu si : Le facteur commun apparu seul et rayé au lieu d’être mis en facteur.

Ex.4L’équation ramenée à zéro, puis scindée

4 points — 1 par question

Point perdu si : Les deux membres divisés par l’inconnue : une solution disparaît en silence.

Ex.5L’erreur repérée, et l’écriture juste donnée

3 points — 1 par ligne

Point perdu si : La faute signalée sans que la forme correcte soit donnée.

Et maintenant ?

16 à 20: Le calcul littéral est solide. Entraîne-toi maintenant à choisir la voie avant de calculer : on développe pour comparer, on factorise pour résoudre. Au brevet, c'est cette décision qui est évaluée.
10 à 15: Refais l'exercice 1 en réécrivant le moins comme une multiplication par moins un. Le signe cesse alors de se perdre.
moins de 10: Reprends la fiche de cours et prends le réflexe du contre-exemple : avec $x = 2$, les deux écritures doivent donner le même nombre. Un seul essai tranche.

Refaire avec d'autres phrases

Mêmes notions, mêmes exigences, énoncés différents. À passer quelques jours plus tard, une fois celui-ci corrigé.

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