13 - 8x — -2 multiplie les deux termes : -8x + 10, puis 3 + 10 = 13. Écrire -8x - 10 reviendrait à oublier le signe de -5.

2x² - 16x + 12 — (x - 4)(2x - 3) = 2x² - 3x - 8x + 12 = 2x² - 11x + 12, puis -11x - 5x = -16x.

20x + 25 — (2x + 5)² = 4x² + 20x + 25 : les termes en x² s'annulent, et il ne reste qu'une expression du premier degré.

(3x - 2)² - (3x + 2)(3x - 2)

-12x + 8 — (9x² - 12x + 4) - (9x² - 4) : le moins change -4 en +4, d'où 4 + 4 = 8 ; les 9x² s'éliminent.

(x + 3)(2x - 1) - (x + 3)(x + 4)

(x + 3)(x - 5) — Facteur commun (x + 3) : il reste (2x - 1) - (x + 4) = 2x - 1 - x - 4 = x - 5, le moins portant sur toute la seconde parenthèse.

(x + 4)(3x - 2) - (x + 4)

3(x + 4)(x - 1) — Le second terme vaut (x + 4) × 1 : il reste 3x - 2 - 1 = 3x - 3, et 3x - 3 = 3(x - 1) se factorise encore.

(4x + 5)² — 16x² = (4x)², 25 = 5², et le double produit 2 × 4x × 5 = 40x correspond : carré d'une somme.

3(x - 3)(x + 3) — Ni 3x² ni 27 ne sont des carrés parfaits, mais le facteur commun 3 laisse x² - 9, une différence de deux carrés.

3 721 — (60 + 1)² = 3 600 + 120 + 1 : le double produit vaut 2 × 60 × 1 = 120.

1 599 — (40 - 1)(40 + 1) = 40² - 1² = 1 600 - 1 : aucun terme du milieu, d'où un calcul de tête.

39 601 — (200 - 1)² = 40 000 - 400 + 1 : le double produit 400 se retranche, le carré de 1 s'ajoute.

x = -2 ou x = 5 — 3x + 6 = 0 donne x = -2 ; 5 - x = 0 donne x = 5. Le signe de x dans le second facteur ne change rien à la méthode.

x = 0 ou x = 4/9 — 9x² - 4x = 0, soit x(9x - 4) = 0. Diviser par x aurait effacé la solution 0.

x = 6 ou x = -8 — (x + 1)² - 7² = 0 donne (x + 1 - 7)(x + 1 + 7) = 0, soit (x - 6)(x + 8) = 0.

Écris E sous forme réduite, en traitant chacun des deux carrés à part avant la soustraction.

E = 3x² - 14x + 8 — (4x² - 12x + 9) - (x² + 2x + 1) : le moins change le signe des trois termes du second carré.

E est de la forme a² - b², avec a = 2x - 3 et b = x + 1. Factorise E.

E = (x - 4)(3x - 2) — (a - b)(a + b) donne (2x - 3 - x - 1)(2x - 3 + x + 1) : le moins devant b porte sur ses deux termes.

Vérifie, en la redéveloppant, que ta réponse au b redonne celle du a.

(x - 4)(3x - 2) = 3x² - 2x - 12x + 8 = 3x² - 14x + 8 : on retrouve la forme développée. — Redévelopper la forme factorisée et retomber sur la forme développée prouve que les deux écritures sont égales pour tout x.

Choisis la forme la plus adaptée pour calculer E quand x = 0, puis donne ce résultat.

La forme développée : E = 8. — Pour x = 0, les termes en x² et en x disparaissent : il ne reste que le terme constant, lu sans calcul.

Résous l'équation E = 0.

x = 4 ou x = 2/3 — Seule la forme factorisée permet de conclure : x - 4 = 0 ou 3x - 2 = 0, par la propriété du produit nul.

Résous l'équation E = 8.

x = 0 ou x = 14/3 — Avec la forme développée, 3x² - 14x + 8 = 8 devient 3x² - 14x = 0, puis x(3x - 14) = 0.

Mathématiques · 3ème · Contrôle Standard

Niveau 2 sur 3 · Standard

Calcul littéral — Développement et factorisation

55 minutes noté sur 205 exercices

Le niveau Standard est celui d'un contrôle de classe sur le calcul littéral en troisième : développer quand une parenthèse est précédée d'un moins, factoriser en choisissant entre facteur commun et identité, calculer de tête grâce aux identités, résoudre des équations ramenées à un produit nul, et choisir, pour une même expression, la forme qui répond à chaque question.

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Première page du sujet : Calcul littéral — Développement et factorisation, contrôle Standard

Ce que ce niveau évalue

Développer et réduire
Factoriser
Résoudre une équation
Choisir la forme adaptée

Des développements où le signe moins se distribue
Des factorisations où il faut choisir la voie
Le calcul mental par les identités
Des équations ramenées à un produit nul
Le choix de la forme adaptée d’une expression

Avant de commencer

Développe chaque produit entre parenthèses avant de soustraire.
Pour factoriser : facteur commun d’abord, identité ensuite.
Pour résoudre : tout ramener à zéro, factoriser, puis scinder.

Exercice 1 — Développer avant de soustraire

4 pts · 10 min

Développer et réduire

Développe puis réduis chaque expression. Écris le produit développé entre parenthèses avant de retirer une parenthèse précédée d’un moins.

1. $3 - 2 (4 x - 5)$
1 pt
Voir la correction
$13 - 8 x$
$- 2$ multiplie les deux termes : $- 8 x + 10$ , puis $3 + 10 = 13$ . Écrire $- 8 x - 10$ reviendrait à oublier le signe de $- 5$ .
2. $(x - 4) (2 x - 3) - 5 x$
1 pt
Voir la correction
$2 x^{2} - 16 x + 12$
$(x - 4) (2 x - 3) = 2 x^{2} - 3 x - 8 x + 12 = 2 x^{2} - 11 x + 12$ , puis $- 11 x - 5 x = - 16 x$ .
3. $(2 x + 5)^{2} - 4 x^{2}$
1 pt
Voir la correction
$20 x + 25$
$(2 x + 5)^{2} = 4 x^{2} + 20 x + 25$ : les termes en $x^{2}$ s’annulent, et il ne reste qu’une expression du premier degré.
4. $(3 x - 2)^{2} - (3 x + 2) (3 x - 2)$
1 pt
Voir la correction
$- 12 x + 8$
$(9 x^{2} - 12 x + 4) - (9 x^{2} - 4)$ : le moins change $- 4$ en $+ 4$ , d’où $4 + 4 = 8$  ; les $9 x^{2}$ s’éliminent.

Les erreurs fréquentes sur cet exercice

Retirer la parenthèse de $(9 x^{2} - 4)$ sans changer le signe de $- 4$ .
Écrire $(2 x + 5)^{2} = 4 x^{2} + 25$ : le double produit $20 x$ disparaît.
Distribuer $- 2$ sur le premier terme seulement et écrire $3 - 8 x - 10$ .

Exercice 2 — Facteur commun ou identité ?

4 pts · 11 min

Factoriser une expression

Factorise chaque expression le plus possible. Indique d’abord la voie choisie : facteur commun, identité, ou les deux.

1. $(x + 3) (2 x - 1) - (x + 3) (x + 4)$
1 pt
Voir la correction
$(x + 3) (x - 5)$
Facteur commun $(x + 3)$ : il reste $(2 x - 1) - (x + 4) = 2 x - 1 - x - 4 = x - 5$ , le moins portant sur toute la seconde parenthèse.
2. $(x + 4) (3 x - 2) - (x + 4)$
1 pt
Voir la correction
$3 (x + 4) (x - 1)$
Le second terme vaut $(x + 4) \times 1$ : il reste $3 x - 2 - 1 = 3 x - 3$ , et $3 x - 3 = 3 (x - 1)$ se factorise encore.
3. $16 x^{2} + 40 x + 25$
1 pt
Voir la correction
$(4 x + 5)^{2}$
$16 x^{2} = (4 x)^{2}$ , $25 = 5^{2}$ , et le double produit $2 \times 4 x \times 5 = 40 x$ correspond : carré d’une somme.
4. $3 x^{2} - 27$
1 pt
Voir la correction
$3 (x - 3) (x + 3)$
Ni $3 x^{2}$ ni $27$ ne sont des carrés parfaits, mais le facteur commun $3$ laisse $x^{2} - 9$ , une différence de deux carrés.

Les erreurs fréquentes sur cet exercice

Rayer le facteur commun qui apparaît seul au lieu d’écrire $(x + 4) \times 1$ .
S’arrêter à $(x + 4) (3 x - 3)$ alors que $3 x - 3$ contient encore le facteur 3.
Conclure que $3 x^{2} - 27$ ne se factorise pas, faute d’avoir sorti le 3 d’abord.

Exercice 3 — Sans poser l'opération

3 pts · 7 min

Calculer avec les identités

Calcule chaque nombre sans poser d’opération, en écrivant l’identité utilisée.

1. $6 1^{2}$
1 pt
Voir la correction
$3721$
$(60 + 1)^{2} = 3600 + 120 + 1$ : le double produit vaut $2 \times 60 \times 1 = 120$ .
2. $39 \times 41$
1 pt
Voir la correction
$1599$
$(40 - 1) (40 + 1) = 4 0^{2} - 1^{2} = 1600 - 1$ : aucun terme du milieu, d’où un calcul de tête.
3. $19 9^{2}$
1 pt
Voir la correction
$39601$
$(200 - 1)^{2} = 40000 - 400 + 1$ : le double produit $400$ se retranche, le carré de 1 s’ajoute.

Les erreurs fréquentes sur cet exercice

Écrire $6 1^{2} = 3600 + 1$ : le double produit est encore oublié.
Ajouter le double produit au lieu de le retrancher dans $(200 - 1)^{2}$ .
Traiter $39 \times 41$ comme un carré au lieu d’un produit $(a - b) (a + b)$ .

Exercice 4 — Ramener à un produit nul

3 pts · 9 min

Résoudre une équation-produit

Résous chaque équation. Ramène-la d’abord à la forme « produit $= 0$ », puis applique la propriété du produit nul.

1. $(3 x + 6) (5 - x) = 0$
1 pt
Voir la correction
$x = - 2$ ou $x = 5$
$3 x + 6 = 0$ donne $x = - 2$  ; $5 - x = 0$ donne $x = 5$ . Le signe de $x$ dans le second facteur ne change rien à la méthode.
2. $9 x^{2} = 4 x$
1 pt
Voir la correction
$x = 0$ ou $x = \frac{4}{9}$
$9 x^{2} - 4 x = 0$ , soit $x (9 x - 4) = 0$ . Diviser par $x$ aurait effacé la solution $0$ .
3. $(x + 1)^{2} = 49$
1 pt
Voir la correction
$x = 6$ ou $x = - 8$
$(x + 1)^{2} - 7^{2} = 0$ donne $(x + 1 - 7) (x + 1 + 7) = 0$ , soit $(x - 6) (x + 8) = 0$ .

Les erreurs fréquentes sur cet exercice

Diviser $9 x^{2} = 4 x$ par $x$ et ne trouver que $\frac{4}{9}$ .
Écrire $x + 1 = 7$ et oublier la solution pour laquelle $x + 1 = - 7$ .
Développer une équation déjà écrite sous forme de produit.

Exercice 5 — Choisir la bonne forme

6 pts · 18 min

Choisir la forme adaptée

On considère l’expression $E = (2 x - 3)^{2} - (x + 1)^{2}$ . Réponds aux questions dans l’ordre : chacune prépare la suivante.

1.Écris $E$ sous forme réduite, en traitant chacun des deux carrés à part avant la soustraction.
1.5 pt
Voir la correction
$E = 3 x^{2} - 14 x + 8$
$(4 x^{2} - 12 x + 9) - (x^{2} + 2 x + 1)$ : le moins change le signe des trois termes du second carré.
2. $E$ est de la forme $a^{2} - b^{2}$ , avec $a = 2 x - 3$ et $b = x + 1$ . Factorise $E$ .
1.5 pt
Voir la correction
$E = (x - 4) (3 x - 2)$
$(a - b) (a + b)$ donne $(2 x - 3 - x - 1) (2 x - 3 + x + 1)$ : le moins devant $b$ porte sur ses deux termes.
3.Vérifie, en la redéveloppant, que ta réponse au b redonne celle du a.
1 pt
Voir la correction
$(x - 4) (3 x - 2) = 3 x^{2} - 2 x - 12 x + 8 = 3 x^{2} - 14 x + 8$ : on retrouve la forme développée.
Redévelopper la forme factorisée et retomber sur la forme développée prouve que les deux écritures sont égales pour tout $x$ .
4.Choisis la forme la plus adaptée pour calculer $E$ quand $x = 0$ , puis donne ce résultat.
0.5 pt
Voir la correction
La forme développée : $E = 8$ .
Pour $x = 0$ , les termes en $x^{2}$ et en $x$ disparaissent : il ne reste que le terme constant, lu sans calcul.
5.Résous l’équation $E = 0$ .
1 pt
Voir la correction
$x = 4$ ou $x = \frac{2}{3}$
Seule la forme factorisée permet de conclure : $x - 4 = 0$ ou $3 x - 2 = 0$ , par la propriété du produit nul.
6.Résous l’équation $E = 8$ .
0.5 pt
Voir la correction
$x = 0$ ou $x = \frac{14}{3}$
Avec la forme développée, $3 x^{2} - 14 x + 8 = 8$ devient $3 x^{2} - 14 x = 0$ , puis $x (3 x - 14) = 0$ .

Les erreurs fréquentes sur cet exercice

Écrire $- (x + 1)^{2} = - x^{2} + 2 x + 1$ : le moins ne porte que sur le premier terme.
Factoriser en $(2 x - 3 - x + 1) (\dots)$ : le moins devant $b$ n’a pas été distribué.
Résoudre $E = 8$ en divisant par $x$ et perdre la solution $0$ .

Barème — ce que le correcteur regarde

Les lignes chiffrées couvrent les 5 exercices et totalisent 20 points.

Ex.1Le moins distribué sur tout le produit développé

4 points — 1 par expression

Point perdu si : Le signe d’un seul terme changé après un moins : 0,5 sur 1.

Ex.2La factorisation menée jusqu’au bout

4 points — 1 par expression

Point perdu si : Une factorisation juste mais incomplète, comme $(x + 4) (3 x - 3)$ : 0,5 sur 1.

Ex.3L’identité écrite, puis le calcul

3 points — 1 par calcul

Point perdu si : Le bon résultat sans l’identité écrite : 0,5 sur 1.

Ex.4Le produit nul, puis toutes les solutions

3 points — 1 par équation

Point perdu si : Une seule des deux solutions : 0,5 sur 1.

Ex.5La forme choisie et justifiée

6 points — 1,5 + 1,5 + 1 + 0,5 + 1 + 0,5

Point perdu si : Une forme choisie sans dire pourquoi elle convient : la moitié des points de la question.

Et maintenant ?

16 à 20Niveau supérieur: C'est le niveau attendu en classe, et tu l'as. Passe au niveau 3 — Approfondi : une copie à corriger, des affirmations à démontrer ou réfuter, des problèmes à mettre en équation et une règle de calcul à démontrer.
10 à 15Refaire ce niveau: Repère l'exercice où tu as perdu le plus de points et relis son rappel de cours. Refais le niveau 2 dans quelques jours ; vise 16 avant de passer au niveau 3.
moins de 10Niveau inférieur: Fais d'abord le niveau 1 — Essentiel : il vérifie les identités, le moins devant une parenthèse et la forme factorisée dont ce contrôle a besoin.

Les autres contrôles de ce chapitre

Aucun ne repose une question d'un autre : chacun couvre le chapitre sous un autre angle. À passer quelques jours plus tard, une fois celui-ci corrigé.

Les autres contrôles de mathématiques 3ème

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Programme du cycle 4 — BO spécial n°11 du 26 novembre 2015, ajusté au BO du 26 juillet 2018 · Contrôle rédigé pour ProgresSchool, version 2026.2.