A = 6x² + 19x - 7 — 6x² + 21x - 2x - 7 : le troisième produit, -1 × 2x, est négatif.

B = 16x² - 24x + 9 — Le carré de 4x est 16x² ; le double produit 2 × 4x × 3 = 24x est précédé du signe moins.

C = (x + 5)(x - 2) - (x - 4)(x + 1)

C = 6x - 6 — (x² + 3x - 10) - (x² - 3x - 4) : le moins change le signe de chaque terme du second produit, et les x² s'éliminent.

D = 2(x - 1)² - (2x + 3)(2x - 3)

D = -2x² - 4x + 11 — 2(x² - 2x + 1) = 2x² - 4x + 2 et (2x + 3)(2x - 3) = 4x² - 9 ; on soustrait : 2x² - 4x + 2 - 4x² + 9.

6x(2x - 3) — Facteur commun : 6 divise 12 et 18, et x figure dans les deux termes. Contrôle : 6x × 2x - 6x × 3.

(2x + 1)(x + 4) - (2x + 1)(3x - 2)

(2x + 1)(-2x + 6) — Facteur commun (2x + 1) ; le crochet vaut x + 4 - 3x + 2 = -2x + 6. La forme 2(2x + 1)(3 - x) est acceptée.

(x - 7)² — Trois termes : 49 = 7² et 14x = 2 × x × 7 est bien le double produit, précédé d'un moins.

(5x - 1)(5x + 1) — Deux termes sans facteur commun : 25x² = (5x)² et 1 = 1², c'est une différence de deux carrés.

Exprime en fonction de x l'aire de chacune des quatre parties.

Partie 1 : 2x² ; partie 2 : 3x ; partie 3 : 10x ; partie 4 : 15. — Chaque partie est un rectangle : 2x × x, 3 × x, 2x × 5 et 3 × 5.

Écris l'aire du grand rectangle sous la forme d'un produit.

(2x + 3)(x + 5) — Sa largeur mesure 2x + 3 et sa hauteur x + 5 : l'aire est le produit des deux.

Développe ce produit, réduis-le, et montre que tu retrouves la somme des quatre aires.

(2x + 3)(x + 5) = 2x² + 10x + 3x + 15 = 2x² + 13x + 15 ; c'est la somme 2x² + 3x + 10x + 15. — Les quatre produits du développement sont exactement les quatre aires du a.

Calcule l'aire du grand rectangle pour x = 4, avec la forme produit puis avec la forme développée.

11 × 9 = 99 et 2 × 16 + 13 × 4 + 15 = 99 : l'aire vaut 99 cm². — Les deux écritures sont égales pour tout x : elles donnent la même aire, ce qui contrôle le développement.

x = 1/2 ou x = -9 — 4x - 2 = 0 donne x = 2/4 = 1/2 ; x + 9 = 0 donne x = -9.

x = 0 ou x = 10 — On ramène à zéro : x² - 10x = 0, puis on met x en facteur : x(x - 10) = 0.

x = 5/2 ou x = -5/2 — 4x² - 25 = (2x - 5)(2x + 5) : chaque facteur s'annule pour une valeur.

Teste A et B avec 2, puis avec -3.

Avec 2 : A donne 7² - 25 = 24 et B donne 2 × 12 = 24. Avec -3 : A donne 2² - 25 = -21 et B donne -3 × 7 = -21. — Avec -3 : -3 + 5 = 2, puis 2² = 4 et 4 - 25 = -21 ; de l'autre côté, -3 + 10 = 7.

Ces essais prouvent-ils que les deux programmes donnent toujours le même résultat ? Explique.

Non : des essais réussis ne disent rien des nombres non essayés. — Il y a une infinité de nombres : seul un calcul fait avec une lettre vaut pour tous à la fois.

Pour un nombre x quelconque, exprime le résultat de A, puis développe-le et réduis-le.

(x + 5)² - 25 = x² + 10x + 25 - 25 = x² + 10x — Le carré d'une somme garde son double produit 2 × x × 5 = 10x ; les constantes 25 et -25 s'éliminent.

Fais de même pour le programme B, puis conclus.

x(x + 10) = x² + 10x : les deux programmes donnent le même résultat pour tout nombre x ; Hugo a raison. — Les deux expressions réduites sont identiques : l'égalité est prouvée pour tous les nombres, pas seulement pour 2 et -3.

Mathématiques · 4ème · Contrôle Standard

Niveau 2 sur 3 · Standard

Calcul littéral — Développement et factorisation

55 minutes noté sur 205 exercices

Le niveau Standard est celui d'un contrôle de classe sur le calcul littéral en quatrième : développer des expressions où un signe moins précède un produit, factoriser en choisissant entre facteur commun et identité, lire la double distributivité sur un rectangle découpé, résoudre des équations-produits et prouver que deux programmes de calcul donnent toujours le même résultat.

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Deux PDF à imprimer, sur papier A4. Gratuit, sans inscription.

Première page du sujet : Calcul littéral — Développement et factorisation, contrôle Standard

Ce que ce niveau évalue

Développer et réduire
Factoriser une expression
Lire une figure
Résoudre une équation-produit
Prouver par le calcul littéral

Développer avec un moins devant un produit
Factoriser en choisissant la voie
Lire une aire ; résoudre une équation-produit
Prouver que deux programmes sont équivalents

Avant de commencer

Un moins devant un produit change le signe de tous les termes de son développement.
Deux termes : facteur commun ou différence de carrés. Trois termes : vérifier le double produit.
Une équation-produit se résout sous la forme « produit $= 0$ ».

Exercice 1 — Développer, signes compris

4 pts · 10 min

Développer et réduire une expression

Développe et réduis chaque expression. Pour le c et le d, développe chaque produit entre parenthèses avant de soustraire.

1. $A = (3 x - 1) (2 x + 7)$
1 pt
Voir la correction
$A = 6 x^{2} + 19 x - 7$
$6 x^{2} + 21 x - 2 x - 7$ : le troisième produit, $- 1 \times 2 x$ , est négatif.
2. $B = (4 x - 3)^{2}$
1 pt
Voir la correction
$B = 16 x^{2} - 24 x + 9$
Le carré de $4 x$ est $16 x^{2}$  ; le double produit $2 \times 4 x \times 3 = 24 x$ est précédé du signe moins.
3. $C = (x + 5) (x - 2) - (x - 4) (x + 1)$
1 pt
Voir la correction
$C = 6 x - 6$
$(x^{2} + 3 x - 10) - (x^{2} - 3 x - 4)$ : le moins change le signe de chaque terme du second produit, et les $x^{2}$ s’éliminent.
4. $D = 2 (x - 1)^{2} - (2 x + 3) (2 x - 3)$
1 pt
Voir la correction
$D = - 2 x^{2} - 4 x + 11$
$2 (x^{2} - 2 x + 1) = 2 x^{2} - 4 x + 2$ et $(2 x + 3) (2 x - 3) = 4 x^{2} - 9$  ; on soustrait : $2 x^{2} - 4 x + 2 - 4 x^{2} + 9$ .

Les erreurs fréquentes sur cet exercice

Écrire $- (x - 4) (x + 1) = - x^{2} - 3 x - 4$ : seul le premier terme a changé de signe.
Écrire $(4 x - 3)^{2} = 4 x^{2} - 24 x + 9$ : c’est $4 x$ tout entier qui est élevé au carré.
Au d, multiplier par $2$ le seul premier terme du développement de $(x - 1)^{2}$ .

Exercice 2 — Factoriser en choisissant la voie

4 pts · 10 min

Factoriser une expression

Factorise chaque expression. Écris d’abord la voie choisie (facteur commun ou identité), puis contrôle en redéveloppant.

1. $12 x^{2} - 18 x$
1 pt
Voir la correction
$6 x (2 x - 3)$
Facteur commun : $6$ divise $12$ et $18$ , et $x$ figure dans les deux termes. Contrôle : $6 x \times 2 x - 6 x \times 3$ .
2. $(2 x + 1) (x + 4) - (2 x + 1) (3 x - 2)$
1 pt
Voir la correction
$(2 x + 1) (- 2 x + 6)$
Facteur commun $(2 x + 1)$  ; le crochet vaut $x + 4 - 3 x + 2 = - 2 x + 6$ . La forme $2 (2 x + 1) (3 - x)$ est acceptée.
3. $x^{2} - 14 x + 49$
1 pt
Voir la correction
$(x - 7)^{2}$
Trois termes : $49 = 7^{2}$ et $14 x = 2 \times x \times 7$ est bien le double produit, précédé d’un moins.
4. $25 x^{2} - 1$
1 pt
Voir la correction
$(5 x - 1) (5 x + 1)$
Deux termes sans facteur commun : $25 x^{2} = (5 x)^{2}$ et $1 = 1^{2}$ , c’est une différence de deux carrés.

Les erreurs fréquentes sur cet exercice

Au b, écrire $(x + 4) - 3 x - 2$ dans le crochet : le moins porte sur toute la parenthèse $(3 x - 2)$ .
Au a, s’arrêter à $6 (2 x^{2} - 3 x)$ alors que $x$ reste commun aux deux termes.
Au d, écrire $(25 x - 1) (25 x + 1)$ : $25 x^{2}$ est le carré de $5 x$ .

Exercice 3 — Une aire, deux écritures

4 pts · 10 min

Lire une figure

Le rectangle du document 1 est découpé en quatre parties numérotées. Réponds aux questions.

Document 1Un rectangle découpé en quatre

Les dimensions sont données en fonction de $x$  ; la figure est dessinée pour $x = 4$ . Source : Figure dessinée pour ce contrôle d’après le cours.

1.Exprime en fonction de $x$ l’aire de chacune des quatre parties.
1 pt
Voir la correction
Partie 1 : $2 x^{2}$  ; partie 2 : $3 x$  ; partie 3 : $10 x$  ; partie 4 : $15$ .
Chaque partie est un rectangle : $2 x \times x$ , $3 \times x$ , $2 x \times 5$ et $3 \times 5$ .
2.Écris l’aire du grand rectangle sous la forme d’un produit.
1 pt
Voir la correction
$(2 x + 3) (x + 5)$
Sa largeur mesure $2 x + 3$ et sa hauteur $x + 5$ : l’aire est le produit des deux.
3.Développe ce produit, réduis-le, et montre que tu retrouves la somme des quatre aires.
1 pt
Voir la correction
$(2 x + 3) (x + 5) = 2 x^{2} + 10 x + 3 x + 15 = 2 x^{2} + 13 x + 15$  ; c’est la somme $2 x^{2} + 3 x + 10 x + 15$ .
Les quatre produits du développement sont exactement les quatre aires du a.
4.Calcule l’aire du grand rectangle pour $x = 4$ , avec la forme produit puis avec la forme développée.
1 pt
Voir la correction
$11 \times 9 = 99$ et $2 \times 16 + 13 \times 4 + 15 = 99$ : l’aire vaut $99$ cm².
Les deux écritures sont égales pour tout $x$ : elles donnent la même aire, ce qui contrôle le développement.

Les erreurs fréquentes sur cet exercice

Écrire $2 x$ pour l’aire de la partie 1 : c’est $2 x \times x = 2 x^{2}$ .
Additionner les côtés au lieu de les multiplier : $2 x + 3 + x + 5$ est un demi-périmètre, pas une aire.

Exercice 4 — Résoudre une équation-produit

3 pts · 8 min

Résoudre une équation-produit

Résous chaque équation. Pour le b et le c, ramène d’abord l’équation à la forme « produit $= 0$ ».

1. $(4 x - 2) (x + 9) = 0$
1 pt
Voir la correction
$x = \frac{1}{2}$ ou $x = - 9$
$4 x - 2 = 0$ donne $x = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$  ; $x + 9 = 0$ donne $x = - 9$ .
2. $x^{2} = 10 x$
1 pt
Voir la correction
$x = 0$ ou $x = 10$
On ramène à zéro : $x^{2} - 10 x = 0$ , puis on met $x$ en facteur : $x (x - 10) = 0$ .
3. $4 x^{2} - 25 = 0$
1 pt
Voir la correction
$x = \frac{5}{2}$ ou $x = - \frac{5}{2}$
$4 x^{2} - 25 = (2 x - 5) (2 x + 5)$ : chaque facteur s’annule pour une valeur.

Les erreurs fréquentes sur cet exercice

Au b, diviser les deux membres par $x$ et ne trouver que $10$ : la solution $0$ est perdue.
Au c, ne donner que $\frac{5}{2}$ : le facteur $2 x + 5$ donne une seconde solution.

Exercice 5 — Deux programmes de calcul

5 pts · 14 min

Prouver une égalité

Hugo a essayé les deux programmes du document 2 sur quelques nombres ; il pense qu’ils donnent toujours le même résultat. Réponds aux questions dans l’ordre.

Document 2Deux programmes de calcul

Programme A. Choisir un nombre. Lui ajouter 5. Élever le résultat au carré. Soustraire 25.
Programme B. Choisir un nombre. Le multiplier par la somme de ce nombre et de 10.

Source : Programmes de calcul rédigés pour ce contrôle.

1.Teste A et B avec $2$ , puis avec $- 3$ .
1 pt
Voir la correction
Avec $2$ : A donne $7^{2} - 25 = 24$ et B donne $2 \times 12 = 24$ . Avec $- 3$ : A donne $2^{2} - 25 = - 21$ et B donne $- 3 \times 7 = - 21$ .
Avec $- 3$ : $- 3 + 5 = 2$ , puis $2^{2} = 4$ et $4 - 25 = - 21$  ; de l’autre côté, $- 3 + 10 = 7$ .
2.Ces essais prouvent-ils que les deux programmes donnent toujours le même résultat ? Explique.
1 pt
Voir la correction
Non : des essais réussis ne disent rien des nombres non essayés.
Il y a une infinité de nombres : seul un calcul fait avec une lettre vaut pour tous à la fois.
3.Pour un nombre $x$ quelconque, exprime le résultat de A, puis développe-le et réduis-le.
1.5 pt
Voir la correction
$(x + 5)^{2} - 25 = x^{2} + 10 x + 25 - 25 = x^{2} + 10 x$
Le carré d’une somme garde son double produit $2 \times x \times 5 = 10 x$  ; les constantes $25$ et $- 25$ s’éliminent.
4.Fais de même pour le programme B, puis conclus.
1.5 pt
Voir la correction
$x (x + 10) = x^{2} + 10 x$ : les deux programmes donnent le même résultat pour tout nombre $x$  ; Hugo a raison.
Les deux expressions réduites sont identiques : l’égalité est prouvée pour tous les nombres, pas seulement pour $2$ et $- 3$ .

Les erreurs fréquentes sur cet exercice

Écrire $(x + 5)^{2} = x^{2} + 25$ , ce qui donne $x^{2}$ pour le programme A : le double produit $10 x$ manque.
Écrire $x \times x + 10$ pour le programme B : la multiplication porte sur la somme entière.
Conclure dès le a, sur deux essais.

Barème — ce que le correcteur regarde

Les lignes chiffrées couvrent les 5 exercices et totalisent 20 points.

Ex.1Les expressions développées et réduites

4 points — 1 par expression

Point perdu si : Un signe moins appliqué au seul premier terme d’un produit : 0 pour l’expression.

Ex.2La voie choisie et la factorisation juste

4 points — 1 par expression

Point perdu si : Une factorisation incomplète, où un facteur reste commun : 0,5 sur 1.

Ex.3La figure lue et les deux écritures reliées

4 points — 1 par question

Point perdu si : Une aire écrite comme une somme de côtés.

Ex.4Les équations ramenées à zéro, scindées, résolues

3 points — 1 par équation

Point perdu si : Une solution oubliée : 0,5 sur 1.

Ex.5Les programmes testés, traduits et comparés

5 points — 1 + 1 + 1,5 + 1,5

Point perdu si : Une conclusion tirée des seuls essais : 0 au b.

Et maintenant ?

16 à 20Niveau supérieur: C'est le niveau attendu en classe, et tu l'as. Passe au niveau 3 — Approfondi : une copie à corriger, des affirmations à trancher, une factorisation au service d'une résolution et une démonstration.
10 à 15Refaire ce niveau: Repère l'exercice où tu as perdu le plus de points et relis son rappel de cours. Refais le niveau 2 dans quelques jours ; vise 16 avant de passer au niveau 3.
moins de 10Niveau inférieur: Fais d'abord le niveau 1 — Essentiel : il vérifie les signes des quatre produits et les identités remarquables, dont ce contrôle a besoin.

Les autres contrôles de ce chapitre

Aucun ne repose une question d'un autre : chacun couvre le chapitre sous un autre angle. À passer quelques jours plus tard, une fois celui-ci corrigé.

Les autres contrôles de mathématiques 4ème

Toutes les évaluations de mathématiques 4ème

Programme du cycle 4 — BO spécial n°11 du 26 novembre 2015, ajusté au BO du 26 juillet 2018 · Contrôle rédigé pour ProgresSchool, version 2026.2.