x² + 11x + 28 — Les quatre produits donnent x² + 7x + 4x + 28, et 7 + 4 = 11.

3x² + 13x - 10 — 3x² + 15x - 2x - 10, et 15 - 2 = 13.

8x² - 2x - 3 — 8x² - 6x + 4x - 3, et -6 + 4 = -2.

x² - 8x + 12 — Deux signes négatifs multipliés donnent un produit positif : le terme constant vaut +12.

Combien de produits une double distributivité donne-t-elle ?

Quatre — Toujours quatre, même quand deux d'entre eux se ressemblent et se réduisent ensuite.

x² + 10x + 25 — Le double produit vaut 2 × x × 5 = 10x : c'est lui qu'on oublie.

x² - 8x + 16 — Le double produit est négatif, mais le carré du second terme reste positif.

x² - 81 — Les deux doubles produits s'annulent : c'est la différence de deux carrés.

Quelle identité fait disparaître le terme en x ?

Celle du produit d'une somme par la différence. — C'est ce qui la rend si utile en factorisation, et elle permet aussi des calculs mentaux.

5x(x + 3) — Le facteur commun porte à la fois le nombre et la lettre : 5 et x.

(x - 7)(x + 7) — Deux termes, et une différence de deux carrés : 49 = 7².

(x + 1)(x - 3) + (x + 1)(2x + 5)

(x + 1)(3x + 2) — Le facteur commun est une parenthèse entière ; le crochet se réduit en 3x + 2.

(x + 6)² — Trois termes, et 12x est bien le double produit de x par 6.

x = 2 ou x = -7 — Chaque facteur donne une équation du premier degré, et chacune une solution.

x = 4 ou x = -4 — On factorise d'abord : x² - 16 = (x - 4)(x + 4). La forme de départ ne laissait rien voir.

Pourquoi faut-il un zéro d'un côté avant de scinder ?

Parce que seul un produit nul force l'un de ses facteurs à l'être. — Avec un autre nombre, le produit ne dit rien sur chacun des facteurs.

x = 0 ou x = 5 — Le premier facteur est 3x, qui s'annule pour x = 0 : cette solution s'oublie souvent.

(x + 8)² = x² + 16x + 64 — Un carré n'est pas une distribution sur chaque terme : le double produit 16x manque.

« (x - 1)(x + 6) = 10, donc x - 1 = 10 ou x + 6 = 10. »

Il faut d'abord tout ramener à zéro, puis factoriser à nouveau. — La propriété du produit nul ne vaut que pour zéro, jamais pour dix.

« 7x² - 21x se factorise en 7(x² - 3x), c'est fini. »

On peut encore sortir x : 7x(x - 3). — Une factorisation s'arrête quand plus aucun facteur n'est commun, pas avant.

Mathématiques · 4ème · Contrôle n°1

Calcul littéral — Développement et factorisation

55 minutes noté sur 205 exercices

Un contrôle de mathématiques de 55 minutes sur le calcul littéral en quatrième : la double distributivité, les trois identités remarquables et leur double produit, la factorisation par facteur commun ou par identité, et l'équation-produit. Vingt points, barème détaillé, et une correction qui dit pourquoi à chaque question.

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Deux PDF à imprimer, sur papier A4. Gratuit, sans inscription.

Avant de commencer

Une double distributivité donne toujours quatre produits, même quand deux se ressemblent.
On écrit les quatre produits avant de calculer quoi que ce soit, puis on traite les signes, puis on réduit.
Dans le carré d’une somme, le terme du milieu est le double produit : c’est celui qu’on oublie.
Deux termes : chercher un facteur commun, puis une différence de carrés. Trois termes : chercher une identité.
Une factorisation se vérifie en la redéveloppant, et cela prend quinze secondes.
Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs l’est — et cette propriété ne vaut que pour zéro.

Exercice 1 — Développer

5 pts · 13 min

Développer un produit de deux sommes

Développe et réduis chaque expression.

1. $(x + 4) (x + 7)$
1 pt
Voir la correction
$x^{2} + 11 x + 28$
Les quatre produits donnent $x^{2} + 7 x + 4 x + 28$ , et $7 + 4 = 11$ .
2. $(3 x - 2) (x + 5)$
1 pt
Voir la correction
$3 x^{2} + 13 x - 10$
$3 x^{2} + 15 x - 2 x - 10$ , et $15 - 2 = 13$ .
3. $(2 x + 1) (4 x - 3)$
1 pt
Voir la correction
$8 x^{2} - 2 x - 3$
$8 x^{2} - 6 x + 4 x - 3$ , et $- 6 + 4 = - 2$ .
4. $(x - 6) (x - 2)$
1 pt
Voir la correction
$x^{2} - 8 x + 12$
Deux signes négatifs multipliés donnent un produit positif : le terme constant vaut $+ 12$ .
5.Combien de produits une double distributivité donne-t-elle ?
1 pt
Voir la correction
Quatre
Toujours quatre, même quand deux d’entre eux se ressemblent et se réduisent ensuite.

Exercice 2 — Les identités remarquables

4 pts · 11 min

Employer les identités remarquables

Développe en employant l’identité qui convient.

1. $(x + 5)^{2}$
1 pt
Voir la correction
$x^{2} + 10 x + 25$
Le double produit vaut $2 \times x \times 5 = 10 x$ : c’est lui qu’on oublie.
2. $(x - 4)^{2}$
1 pt
Voir la correction
$x^{2} - 8 x + 16$
Le double produit est négatif, mais le carré du second terme reste positif.
3. $(x + 9) (x - 9)$
1 pt
Voir la correction
$x^{2} - 81$
Les deux doubles produits s’annulent : c’est la différence de deux carrés.
4.Quelle identité fait disparaître le terme en $x$  ?
1 pt
Voir la correction
Celle du produit d’une somme par la différence.
C’est ce qui la rend si utile en factorisation, et elle permet aussi des calculs mentaux.

Exercice 3 — Factoriser

4 pts · 11 min

Factoriser une expression littérale

Factorise chaque expression, puis vérifie en redéveloppant.

1. $5 x^{2} + 15 x$
1 pt
Voir la correction
$5 x (x + 3)$
Le facteur commun porte à la fois le nombre et la lettre : $5$ et $x$ .
2. $x^{2} - 49$
1 pt
Voir la correction
$(x - 7) (x + 7)$
Deux termes, et une différence de deux carrés : $49 = 7^{2}$ .
3. $(x + 1) (x - 3) + (x + 1) (2 x + 5)$
1 pt
Voir la correction
$(x + 1) (3 x + 2)$
Le facteur commun est une parenthèse entière ; le crochet se réduit en $3 x + 2$ .
4. $x^{2} + 12 x + 36$
1 pt
Voir la correction
$(x + 6)^{2}$
Trois termes, et $12 x$ est bien le double produit de $x$ par $6$ .

Exercice 4 — L'équation-produit

4 pts · 11 min

Résoudre une équation-produit

Résous chaque équation en donnant toutes ses solutions.

1. $(x - 2) (x + 7) = 0$
1 pt
Voir la correction
$x = 2$ ou $x = - 7$
Chaque facteur donne une équation du premier degré, et chacune une solution.
2. $x^{2} - 16 = 0$
1 pt
Voir la correction
$x = 4$ ou $x = - 4$
On factorise d’abord : $x^{2} - 16 = (x - 4) (x + 4)$ . La forme de départ ne laissait rien voir.
3.Pourquoi faut-il un zéro d’un côté avant de scinder ?
1 pt
Voir la correction
Parce que seul un produit nul force l’un de ses facteurs à l’être.
Avec un autre nombre, le produit ne dit rien sur chacun des facteurs.
4. $3 x (x - 5) = 0$
1 pt
Voir la correction
$x = 0$ ou $x = 5$
Le premier facteur est $3 x$ , qui s’annule pour $x = 0$ : cette solution s’oublie souvent.

Exercice 5 — Trouve l'erreur

3 pts · 9 min

Repérer un calcul faux et le corriger

Chaque écriture est fausse. Écris la forme juste.

1. $(x + 8)^{2} = x^{2} + 64$
1 pt
Voir la correction
$(x + 8)^{2} = x^{2} + 16 x + 64$
Un carré n’est pas une distribution sur chaque terme : le double produit $16 x$ manque.
2.« $(x - 1) (x + 6) = 10$ , donc $x - 1 = 10$ ou $x + 6 = 10$ . »
1 pt
Voir la correction
Il faut d’abord tout ramener à zéro, puis factoriser à nouveau.
La propriété du produit nul ne vaut que pour zéro, jamais pour dix.
3.« $7 x^{2} - 21 x$ se factorise en $7 (x^{2} - 3 x)$ , c’est fini. »
1 pt
Voir la correction
On peut encore sortir $x$ : $7 x (x - 3)$ .
Une factorisation s’arrête quand plus aucun facteur n’est commun, pas avant.

Barème — ce que le correcteur regarde

Les lignes chiffrées couvrent les 5 exercices et totalisent 20 points.

Ex.1Les quatre produits écrits avant tout calcul

5 points — 1 par expression

Point perdu si : Un produit oublié, presque toujours celui qui porte les deux signes négatifs.

Ex.2Le double produit présent dans chaque carré

4 points — 1 par question

Point perdu si : Un carré distribué terme à terme : il manque alors tout le milieu.

Ex.3La bonne voie choisie selon le nombre de termes

4 points — 1 par expression

Point perdu si : Une factorisation arrêtée trop tôt, alors qu’un facteur reste à sortir.

Ex.4L’équation ramenée à zéro avant d’être scindée

4 points — 1 par question

Point perdu si : Les deux facteurs égalés à un nombre qui n’est pas zéro.

Ex.5L’erreur repérée, et l’expression juste écrite

3 points — 1 par ligne

Point perdu si : La faute signalée sans que la forme correcte soit donnée.

Et maintenant ?

16 à 20: Le calcul littéral est tenu. Entraîne-toi maintenant à choisir la voie avant de calculer : développer pour comparer, factoriser pour résoudre. C'est cette décision qui sera évaluée au brevet.
10 à 15: Refais l'exercice 2 en écrivant le double produit en premier. C'est le terme que les copies oublient, et il vaut autant que les deux autres.
moins de 10: Reprends la fiche de cours et prends l'habitude de vérifier avec un nombre : pour $x = 1$, les deux écritures doivent donner le même résultat.

Refaire avec d'autres phrases

Mêmes notions, mêmes exigences, énoncés différents. À passer quelques jours plus tard, une fois celui-ci corrigé.

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