Calcul littéral — Développement et factorisation

Reconnaître une écriture littérale

Pour chaque question, coche la seule réponse juste.

1. 1.Le développement réduit de $(x+2)(x+5)$ est…

   0.5 pt
   • $x^2+10$
   • $x^2+7x+10$
   • $x^2+7x+7$
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   $x^2+7x+10$

   Quatre produits : $x^2+5x+2x+10$ ; les deux termes en $x$ se réduisent en $7x$.

2. 2.$(x+7{)}^2$ est égal à…

   0.5 pt
   • $x^2+49$
   • $x^2+7x+49$
   • $x^2+14x+49$
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   $x^2+14x+49$

   Le double produit vaut $2\times x\times 7=14x$ ; sans lui, on aurait distribué le carré.

3. 3.Laquelle de ces expressions est écrite sous forme factorisée ?

   0.5 pt
   • $3x^2-12x$
   • $3x(x-4)$
   • $x^2+2x^2-12x$
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   $3x(x-4)$

   Une forme factorisée est un produit : $3x$ multiplié par $(x-4)$. Les deux autres sont des sommes.

4. 4.Le plus grand facteur commun aux deux termes de $6x^2+4x$ est…

   0.5 pt
   • $2$
   • $x$
   • $2x$
   • $6x$
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   $2x$

   $2$ divise $6$ et $4$, et $x$ figure dans les deux termes : $6x^2+4x=2x(3x+2)$.

5. 5.Laquelle de ces expressions ne se factorise pas avec les outils de 4e ?

   0.5 pt
   • $x^2-25$
   • $x^2+25$
   • $x^2+10x+25$
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   $x^2+25$

   C’est une somme de deux carrés : aucune identité ne la factorise. Les deux autres donnent $(x-5)(x+5)$ et $(x+5{)}^2$.

6. 6.Dans quelle équation peut-on appliquer directement la propriété du produit nul ?

   0.5 pt
   • $(x-4)(x+1)=6$
   • $(x-4)(x+1)=0$
   • $(x-4)+(x+1)=0$
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   $(x-4)(x+1)=0$

   Il faut un produit d’un côté et zéro de l’autre ; avec $6$, ou avec une somme, la propriété ne dit rien.

Connaître le vocabulaire du chapitre

Complète les phrases avec les mots de la banque. Deux mots ne servent pas.

1. 1.Transformer un produit en une somme, c’est .

   0.5 pt
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   développer

   Développer fait passer d’un produit comme $(x+1)(x+2)$ à une somme de termes.

2. 2.Transformer une somme en un produit, c’est .

   0.5 pt
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   factoriser

   Factoriser fait le chemin inverse du développement : la somme devient un produit.

3. 3.Dans $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$, le terme $2ab$ s’appelle le .

   0.5 pt
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   double produit

   Il vaut deux fois le produit $ab$ ; c’est le terme que l’on oublie le plus souvent.

4. 4.Regrouper les termes en $x^2$, puis en $x$, puis les nombres seuls, c’est l’expression.

   0.5 pt
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   réduire

   Réduire, c’est rassembler les termes de même nature ; on le fait en dernier.

5. 5.Dans $3x(x-4)+5(x-4)$, la parenthèse $(x-4)$ est un .

   0.5 pt
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   facteur commun

   Elle multiplie chacun des deux termes : on peut la mettre en facteur, $(x-4)(3x+5)$.

6. 6.$4x^2-9$ est une différence de deux  : celui de $2x$ et celui de $3$.

   0.5 pt
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   carrés

   $4x^2=(2x{)}^2$ et $9=3^2$ : l’expression se factorise en $(2x-3)(2x+3)$.

7. 7.Un produit vaut zéro lorsque l’un au moins de ses facteurs est égal à .

   0.5 pt
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   zéro

   C’est la propriété du produit nul, qui permet de scinder une équation-produit.

Reconnaître les signes d'un développement

Relie chaque produit à sa forme développée et réduite, puis recopie la lettre dans la case. Une forme développée ne sert pas.

• A$x^2-5x-6$
• B$x^2+7x+6$
• C$x^2-36$
• D$x^2+5x-6$
• E$x^2-7x-6$
• F$x^2-7x+6$

1. 1.$(x+1)(x+6)$

   0.5 pt
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   B

   $x^2+6x+x+6$ : tous les produits sont positifs, $6x+x=7x$.

2. 2.$(x-1)(x-6)$

   0.5 pt
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   F

   $x^2-6x-x+6$ : le produit $(-1)\times (-6)$ est positif.

3. 3.$(x+1)(x-6)$

   0.5 pt
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   A

   $x^2-6x+x-6$ : la constante est négative et $-6x+x=-5x$.

4. 4.$(x-1)(x+6)$

   0.5 pt
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   D

   $x^2+6x-x-6$ : la constante est négative et $6x-x=5x$.

5. 5.$(x-6)(x+6)$

   0.5 pt
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   C

   Les termes $6x$ et $-6x$ s’annulent : c’est la troisième identité, $x^2-6^2$.

Développer et réduire une expression

Développe et réduis chaque expression, puis réponds au e.

1. 1.$(x+3)(x+8)$

   1 pt
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   $x^2+11x+24$

   Les quatre produits donnent $x^2+8x+3x+24$, et $8x+3x=11x$.

2. 2.$(2x+5)(x-4)$

   1 pt
   Voir la correction

   $2x^2-3x-20$

   $2x^2-8x+5x-20$ : les termes en $x$ se réduisent en $-3x$.

3. 3.$(x-9{)}^2$

   1 pt
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   $x^2-18x+81$

   Carré d’une différence : le double produit $2\times x\times 9=18x$ est précédé du signe moins.

4. 4.$(5x+2)(5x-2)$

   1 pt
   Voir la correction

   $25x^2-4$

   Somme par différence : $(5x{)}^2-2^2$, sans terme en $x$.

5. 5.Contrôle ton résultat du b : remplace $x$ par $1$ dans $(2x+5)(x-4)$, puis dans ta forme réduite.

   1 pt
   Voir la correction

   $7\times (-3)=-21$ et $2-3-20=-21$ : les deux valeurs concordent.

   Deux écritures d’une même expression prennent la même valeur pour tout nombre ; un écart signalerait une erreur.

Traduire un programme de calcul par une expression

Lis le programme de calcul du document 1, puis réponds aux questions dans l’ordre.

1. 1.Quel nombre obtient-on en partant de $5$ ?

   1 pt
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   $5+3=8$, $5-3=2$, puis $8\times 2=16$ : le résultat est $16$.

   On suit les étapes dans l’ordre : la somme, la différence, puis leur produit.

2. 2.Et en partant de $10$ ?

   1 pt
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   $13\times 7=91$ : le résultat est $91$.

   La somme vaut $10+3=13$ et la différence $10-3=7$.

3. 3.On note $x$ le nombre de départ. Traduis les étapes par une expression écrite comme un produit.

   1 pt
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   $(x+3)(x-3)$

   La somme s’écrit $x+3$, la différence $x-3$ ; chacune entre parenthèses, puisqu’on multiplie les résultats entiers.

4. 4.Écris cette expression sous forme développée.

   1 pt
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   $x^2-9$

   Produit d’une somme par une différence : $x^2-3^2$, les termes $3x$ et $-3x$ s’annulent.

5. 5.Léa affirme : « Le résultat est toujours le carré du nombre choisi, diminué de 9. » A-t-elle raison ? Contrôle avec le nombre du a.

   1 pt
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   Oui, car $(x+3)(x-3)=x^2-9$ quel que soit $x$ ; avec $5$ : $25-9=16$.

   Le développement vaut pour tous les nombres à la fois ; l’essai avec $5$ redonne bien le résultat du a.

6. 6.Quels nombres faut-il choisir pour obtenir $0$ ?

   1 pt
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   $3$ et $-3$

   $(x+3)(x-3)=0$ : un produit est nul si l’un de ses facteurs l’est, donc $x+3=0$ ou $x-3=0$.