Ligne 1 — le carré d'une différence.

Le double produit manque : (2x - 3)² = 4x² - 12x + 9. — Un carré ne se distribue pas terme à terme ; 2 × 2x × 3 = 12x. Pour x = 0, on trouve 9 et non -9.

Ligne 2 — un produit oublié.

Le produit x × (-1) = -x manque : 3x² - x + 12x - 4 = 3x² + 11x - 4. — Quatre produits, toujours quatre : en n'en écrivant que trois, Jules perd le terme -x.

Ligne 3 — le signe moins devant le produit.

On développe d'abord : x² - 3x - 10 ; le moins change tous les signes : -x² + 3x + 10. — Jules n'a changé que le signe du premier terme, alors que le moins porte sur tout le produit.

Ligne 4 — une factorisation impossible.

x² + 64 est une somme de deux carrés : elle ne se factorise pas. — Redévelopper (x + 8)(x - 8) donne x² - 64 : seule une différence de deux carrés se factorise ainsi.

Ligne 5 — le facteur restant.

10x = 5x × 2, donc 5x² + 10x = 5x(x + 2). — Redévelopper 5x(x + 10) donne 5x² + 50x : le contrôle par redéveloppement aurait signalé l'erreur.

« Pour tout nombre x, (x + 1)² - (x - 1)² = 4x. »

Vrai : (x² + 2x + 1) - (x² - 2x + 1) = 4x. — Les x² et les constantes s'éliminent ; il reste la différence des deux doubles produits, 2x - (-2x).

« (x + 2)(x + 3) = x² + 6, puisque pour x = 0 les deux membres valent 6. »

Faux : pour x = 1, 3 × 4 = 12 alors que 1 + 6 = 7. — Un seul essai réussi ne prouve rien ; le développement juste est x² + 5x + 6, qui ne coïncide avec x² + 6 qu'en 0.

« x² + 6x + 4 est égal à (x + 2)². »

Faux : (x + 2)² = x² + 4x + 4. — Le terme du milieu, 6x, n'est pas le double produit 2 × x × 2 = 4x : on ne force pas une identité.

« Sans calculatrice, on peut affirmer que 53² - 47² = 600. »

Vrai : (53 - 47)(53 + 47) = 6 × 100 = 600. — La différence de deux carrés se factorise : le calcul mental devient immédiat.

E = (x - 2)(4x + 3) — x² - 4 = (x - 2)(x + 2) fait apparaître le facteur commun (x - 2) ; le crochet vaut (x + 2) + (3x + 1) = 4x + 3.

Résous l'équation E = 0.

x = 2 ou x = -3/4 — Un produit est nul si l'un de ses facteurs l'est : x - 2 = 0 ou 4x + 3 = 0.

Nora a préféré développer : elle obtient E = 4x² - 5x - 6 et ne parvient pas à résoudre 4x² - 5x - 6 = 0. Son développement est-il juste ? Pourquoi est-elle bloquée ?

Son développement est juste, mais x y figure au carré et au premier degré : impossible de l'isoler. Il fallait factoriser. — Redévelopper (x - 2)(4x + 3) redonne 4x² - 5x - 6. Seule la forme produit permet d'appliquer la propriété du produit nul.

Applique le programme aux entiers 4, 5, 6, puis à deux autres suites de trois entiers consécutifs. Quelle conjecture peux-tu faire ?

4 × 6 - 5² = 24 - 25 = -1 ; de même 9 × 11 - 10² = -1. Conjecture : le résultat vaut toujours -1. — Tous les essais donnent -1, y compris avec des entiers négatifs : (-3) × (-1) - (-2)² = 3 - 4 = -1.

On note n l'entier du milieu. Exprime les deux autres en fonction de n, puis écris le résultat du programme.

Les entiers sont n - 1, n et n + 1 ; le résultat est (n - 1)(n + 1) - n². — Le plus petit précède n d'une unité, le plus grand le suit d'une unité.

Démontre ta conjecture.

(n - 1)(n + 1) - n² = n² - 1 - n² = -1, pour tout entier n. — Le produit d'une somme par une différence donne n² - 1 ; les n² s'éliminent, quel que soit n.

Sans poser aucune multiplication, calcule 2027² - 2026 × 2028.

1 — Pour 2026, 2027, 2028, le programme donne 2026 × 2028 - 2027² = -1 ; la différence demandée est l'opposée.

On choisit maintenant trois entiers qui se suivent de 2 en 2, comme 3, 5, 7. Quel résultat le même programme donne-t-il toujours ? Démontre-le.

Toujours -4 : (n - 2)(n + 2) - n² = n² - 4 - n² = -4. — On note n celui du milieu ; les deux autres sont n - 2 et n + 2. Contrôle : 3 × 7 - 5² = 21 - 25 = -4.

Mathématiques · 4ème · Contrôle Approfondi

Niveau 3 sur 3 · Approfondi

Calcul littéral — Développement et factorisation

55 minutes noté sur 204 exercices

Le niveau Approfondi évalue le calcul littéral de quatrième sans aucune aide : corriger les erreurs d'une copie, trancher des affirmations par une démonstration ou un contre-exemple, factoriser une expression pour résoudre une équation en expliquant pourquoi le développement ne suffit pas, puis démontrer et généraliser une conjecture tirée d'un programme de calcul sur des entiers consécutifs.

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Première page du sujet : Calcul littéral — Développement et factorisation, contrôle Approfondi

Ce que ce niveau évalue

Repérer une erreur et la corriger
Justifier ou réfuter
Choisir la forme utile
Démontrer une propriété générale

Les erreurs d’une copie de calcul littéral, expliquées et corrigées
Des affirmations tranchées par une démonstration ou un contre-exemple
Le choix de la forme utile : factoriser pour résoudre, et dire pourquoi
Une conjecture tirée d’un programme de calcul, puis démontrée et généralisée

Avant de commencer

Une égalité « pour tout nombre » se démontre en développant ; un seul contre-exemple suffit à la réfuter.
Développer sert à comparer et à calculer ; factoriser sert à résoudre.
Une factorisation se contrôle en redéveloppant, en quelques secondes.
Une somme de deux carrés ne se factorise pas ; une différence de deux carrés, si.

Exercice 1 — La copie de Jules

5 pts · 12 min

Repérer une erreur de calcul et la corriger

Chaque ligne de la copie du document 1 contient une erreur. Pour chacune, explique ce qui est faux, puis écris le résultat juste.

Document 1La copie de Jules

$(2 x - 3)^{2} = 4 x^{2} - 9$
$(x + 4) (3 x - 1) = 3 x^{2} + 12 x - 4$
$- (x - 5) (x + 2) = - x^{2} - 3 x - 10$
$x^{2} + 64 = (x + 8) (x - 8)$
$5 x^{2} + 10 x = 5 x (x + 10)$

Source : Copie rédigée pour ce contrôle : chaque ligne contient une erreur volontaire.

Réponse rédigée. Ce que le correcteur attend, critère par critère :

1.Ligne 1 — le carré d’une différence.
1 pt
Voir la correction
Le double produit manque : $(2 x - 3)^{2} = 4 x^{2} - 12 x + 9$ .
Un carré ne se distribue pas terme à terme ; $2 \times 2 x \times 3 = 12 x$ . Pour $x = 0$ , on trouve $9$ et non $- 9$ .
2.Ligne 2 — un produit oublié.
1 pt
Voir la correction
Le produit $x \times (- 1) = - x$ manque : $3 x^{2} - x + 12 x - 4 = 3 x^{2} + 11 x - 4$ .
Quatre produits, toujours quatre : en n’en écrivant que trois, Jules perd le terme $- x$ .
3.Ligne 3 — le signe moins devant le produit.
1 pt
Voir la correction
On développe d’abord : $x^{2} - 3 x - 10$  ; le moins change tous les signes : $- x^{2} + 3 x + 10$ .
Jules n’a changé que le signe du premier terme, alors que le moins porte sur tout le produit.
4.Ligne 4 — une factorisation impossible.
1 pt
Voir la correction
$x^{2} + 64$ est une somme de deux carrés : elle ne se factorise pas.
Redévelopper $(x + 8) (x - 8)$ donne $x^{2} - 64$ : seule une différence de deux carrés se factorise ainsi.
5.Ligne 5 — le facteur restant.
1 pt
Voir la correction
$10 x = 5 x \times 2$ , donc $5 x^{2} + 10 x = 5 x (x + 2)$ .
Redévelopper $5 x (x + 10)$ donne $5 x^{2} + 50 x$ : le contrôle par redéveloppement aurait signalé l’erreur.

Les erreurs fréquentes sur cet exercice

Corriger la ligne 1 en $4 x^{2} + 12 x + 9$ : dans le carré d’une différence, le double produit est précédé d’un moins.
À la ligne 4, inventer une identité pour une somme : il faut écrire que l’expression n’est pas factorisable.
Repérer l’erreur sans écrire le résultat juste.

Exercice 2 — Trancher et justifier

4 pts · 10 min

Justifier ou réfuter une affirmation

Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse, puis justifie par un calcul, un contre-exemple ou une propriété du cours. Une réponse sans justification ne rapporte rien.

1.« Pour tout nombre $x$ , $(x + 1)^{2} - (x - 1)^{2} = 4 x$ . »
1 pt
Voir la correction
Vrai : $(x^{2} + 2 x + 1) - (x^{2} - 2 x + 1) = 4 x$ .
Les $x^{2}$ et les constantes s’éliminent ; il reste la différence des deux doubles produits, $2 x - (- 2 x)$ .
2.« $(x + 2) (x + 3) = x^{2} + 6$ , puisque pour $x = 0$ les deux membres valent $6$ . »
1 pt
Voir la correction
Faux : pour $x = 1$ , $3 \times 4 = 12$ alors que $1 + 6 = 7$ .
Un seul essai réussi ne prouve rien ; le développement juste est $x^{2} + 5 x + 6$ , qui ne coïncide avec $x^{2} + 6$ qu’en $0$ .
3.« $x^{2} + 6 x + 4$ est égal à $(x + 2)^{2}$ . »
1 pt
Voir la correction
Faux : $(x + 2)^{2} = x^{2} + 4 x + 4$ .
Le terme du milieu, $6 x$ , n’est pas le double produit $2 \times x \times 2 = 4 x$ : on ne force pas une identité.
4.« Sans calculatrice, on peut affirmer que $5 3^{2} - 4 7^{2} = 600$ . »
1 pt
Voir la correction
Vrai : $(53 - 47) (53 + 47) = 6 \times 100 = 600$ .
La différence de deux carrés se factorise : le calcul mental devient immédiat.

Les erreurs fréquentes sur cet exercice

Croire qu’une égalité vérifiée pour une valeur l’est pour toutes.
Au c, se contenter de dire que « ça ne marche pas » sans montrer le double produit attendu.
Au d, calculer $5 3^{2}$ et $4 7^{2}$ séparément : c’est juste mais long, et la consigne interdit la calculatrice.

Exercice 3 — Factoriser pour résoudre

4 pts · 13 min

Choisir la forme utile d'une expression

On considère l’expression $E = x^{2} - 4 + (x - 2) (3 x + 1)$ .

1.Factorise $E$ .
1.5 pt
Voir la correction
$E = (x - 2) (4 x + 3)$
$x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$ fait apparaître le facteur commun $(x - 2)$  ; le crochet vaut $(x + 2) + (3 x + 1) = 4 x + 3$ .
2.Résous l’équation $E = 0$ .
1 pt
Voir la correction
$x = 2$ ou $x = - \frac{3}{4}$
Un produit est nul si l’un de ses facteurs l’est : $x - 2 = 0$ ou $4 x + 3 = 0$ .
3.Nora a préféré développer : elle obtient $E = 4 x^{2} - 5 x - 6$ et ne parvient pas à résoudre $4 x^{2} - 5 x - 6 = 0$ . Son développement est-il juste ? Pourquoi est-elle bloquée ?
1.5 pt
Voir la correction
Son développement est juste, mais $x$ y figure au carré et au premier degré : impossible de l’isoler. Il fallait factoriser.
Redévelopper $(x - 2) (4 x + 3)$ redonne $4 x^{2} - 5 x - 6$ . Seule la forme produit permet d’appliquer la propriété du produit nul.

Les erreurs fréquentes sur cet exercice

Ne pas voir que $x^{2} - 4$ contient le facteur $(x - 2)$ .
Oublier la solution négative, ou écrire $\frac{4}{3}$ en inversant la fraction.
Répondre que Nora s’est trompée de calcul : son développement est juste, c’est la forme choisie qui ne sert pas.

Exercice 4 — Trois entiers consécutifs

7 pts · 18 min

Conjecturer, démontrer, généraliser

Le document 2 décrit un programme de calcul. Réponds aux questions ; chaque réponse se justifie.

Document 2Un programme sur trois entiers

Choisir trois nombres entiers consécutifs.
Calculer le produit du plus petit par le plus grand.
Calculer le carré du nombre du milieu.
Retrancher ce carré du produit obtenu.

Source : Programme de calcul rédigé pour ce contrôle.

1.Applique le programme aux entiers $4$ , $5$ , $6$ , puis à deux autres suites de trois entiers consécutifs. Quelle conjecture peux-tu faire ?
1.5 pt
Voir la correction
$4 \times 6 - 5^{2} = 24 - 25 = - 1$  ; de même $9 \times 11 - 1 0^{2} = - 1$ . Conjecture : le résultat vaut toujours $- 1$ .
Tous les essais donnent $- 1$ , y compris avec des entiers négatifs : $(- 3) \times (- 1) - (- 2)^{2} = 3 - 4 = - 1$ .
2.On note $n$ l’entier du milieu. Exprime les deux autres en fonction de $n$ , puis écris le résultat du programme.
1.5 pt
Voir la correction
Les entiers sont $n - 1$ , $n$ et $n + 1$  ; le résultat est $(n - 1) (n + 1) - n^{2}$ .
Le plus petit précède $n$ d’une unité, le plus grand le suit d’une unité.
3.Démontre ta conjecture.
1.5 pt
Voir la correction
$(n - 1) (n + 1) - n^{2} = n^{2} - 1 - n^{2} = - 1$ , pour tout entier $n$ .
Le produit d’une somme par une différence donne $n^{2} - 1$  ; les $n^{2}$ s’éliminent, quel que soit $n$ .
4.Sans poser aucune multiplication, calcule $202 7^{2} - 2026 \times 2028$ .
1 pt
Voir la correction
$1$
Pour $2026$ , $2027$ , $2028$ , le programme donne $2026 \times 2028 - 202 7^{2} = - 1$  ; la différence demandée est l’opposée.
5.On choisit maintenant trois entiers qui se suivent de 2 en 2, comme $3$ , $5$ , $7$ . Quel résultat le même programme donne-t-il toujours ? Démontre-le.
1.5 pt
Voir la correction
Toujours $- 4$ : $(n - 2) (n + 2) - n^{2} = n^{2} - 4 - n^{2} = - 4$ .
On note $n$ celui du milieu ; les deux autres sont $n - 2$ et $n + 2$ . Contrôle : $3 \times 7 - 5^{2} = 21 - 25 = - 4$ .

Les erreurs fréquentes sur cet exercice

S’arrêter aux essais : trois exemples ne démontrent pas la conjecture.
Écrire $(n - 1) (n + 1) = n^{2} - 2 n + 1$ , en confondant avec le carré d’une différence.
Au d, poser les multiplications : la question demande d’utiliser le résultat démontré.

Barème — ce que le correcteur regarde

Les lignes chiffrées couvrent les 4 exercices et totalisent 20 points.

Ex.1Les erreurs expliquées et corrigées

5 points — 1 par ligne : 0,5 pour l’erreur expliquée, 0,5 pour le résultat juste

Point perdu si : Une erreur repérée sans le résultat juste : 0,5 sur 1.

Ex.2Les affirmations tranchées et justifiées

4 points — 1 par affirmation

Point perdu si : « Vrai » ou « faux » sans calcul ni contre-exemple : 0.

Ex.3La forme utile choisie et expliquée

4 points — 1,5 + 1 + 1,5

Point perdu si : Au c, une explication qui ne dit pas que la forme produit est nécessaire : 0,5 sur 1,5.

Ex.4La conjecture formulée, démontrée et généralisée

7 points — 1,5 + 1,5 + 1,5 + 1 + 1,5

Point perdu si : Une démonstration remplacée par d’autres essais : 0 à la question c.

Et maintenant ?

16 à 20Niveau maîtrisé: C'est le niveau le plus élevé, et tu le maîtrises. Pour aller plus loin, invente toi-même un programme de calcul dont le résultat ne dépend pas du nombre choisi, et démontre-le.
10 à 15Refaire ce niveau: Relis la correction de l'exercice où tu as perdu le plus de points. Refais la démonstration de l'exercice 4 sans regarder le corrigé, puis refais le niveau 3 dans une semaine.
moins de 10Niveau inférieur: Repasse par le niveau 2 — Standard : il entraîne les développements avec signe moins, le choix de la factorisation et la preuve guidée, dont ce niveau a besoin.

Les autres contrôles de ce chapitre

Aucun ne repose une question d'un autre : chacun couvre le chapitre sous un autre angle. À passer quelques jours plus tard, une fois celui-ci corrigé.

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Programme du cycle 4 — BO spécial n°11 du 26 novembre 2015, ajusté au BO du 26 juillet 2018 · Contrôle rédigé pour ProgresSchool, version 2026.2.