Statistiques — Moyenne, médiane, quartiles et dispersion

Critiquer un raisonnement

La copie du document 1 contient quatre erreurs ; deux lignes sont justes. Pour chaque erreur, indique la ligne, explique ce qui est faux et écris le calcul ou la conclusion justes.

Réponse rédigée. Ce que le correcteur attend, critère par critère :

1. 1.Ligne 2 — le milieu de la liste.

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   Série rangée : 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12 ; 13 ; 14 ; 15 ; 16. Médiane : $(11+12)÷2=11,5$.

   Elsa a pris les 5e et 6e notes de la liste dans l’ordre du relevé : un nombre qui a l’air d’une réponse mais ne signifie rien.

2. 2.Ligne 3 — le rang arrondi vers le bas.

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   2,5 n’est pas entier : on prend le rang 3, donc $Q_1=9$.

   Au rang 2, seules 2 notes sur 10 sont atteintes, moins d’un quart : il faut monter au rang suivant.

3. 3.Ligne 5 — une moyenne non pondérée.

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   $\frac{5\times 6+8\times 12+7\times 18}{20}=\frac{252}{20}=12,6$

   Elsa a fait la moyenne des trois notes distinctes ; il faut diviser la somme des produits par l’effectif total, 20.

4. 4.Ligne 6 — la conclusion.

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   $Q_3-Q_1$ vaut 5 en 4e C et 12 en 4e D : la 4e D est bien plus hétérogène, malgré des moyennes voisines (11,5 et 12,6).

   4e C : $14-9=5$. 4e D : $Q_1=6$ (rang 5) et $Q_3=18$ (rang 15), soit 12. Comparer, c’est aussi comparer la dispersion.

Prouver ou réfuter

Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse, puis prouve-le : un contre-exemple pour une affirmation fausse, un raisonnement général pour une vraie.

1. 1.« Ajouter à une série une valeur plus grande que toutes les autres ne change jamais sa médiane. »

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   Faux : 3 ; 5 ; 9 a pour médiane 5 ; avec 40, la médiane devient $(5+9)÷2=7$.

   La valeur ajoutée change l’effectif, donc la position du milieu. La médiane résiste à la taille d’une valeur extrême, pas à l’ajout d’une valeur.

2. 2.« Si deux séries ont le même maximum et le même minimum, leurs boîtes ont la même largeur. »

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   Faux : 0 ; 5 ; 5 ; 5 ; 5 ; 10 et 0 ; 1 ; 2 ; 8 ; 9 ; 10 vont de 0 à 10, mais leurs boîtes mesurent 0 et 8.

   Rangs des quartiles pour 6 valeurs : 2 et 5. L’étendue ne regarde que les extrêmes, l’écart interquartile que la moitié centrale.

3. 3.« $Q_1$ figure forcément parmi les données ; la médiane, pas forcément. »

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   Vrai : $Q_1$ se lit à un rang entier ; mais 4 ; 7 ; 9 ; 12 a pour médiane 8, absent.

   Par la méthode du cours, on arrondit le rang de $Q_1$ à un entier : on lit donc une donnée. Avec un effectif pair, la médiane est une demi-somme.

4. 4.« La moyenne d’une série est toujours comprise entre sa plus petite et sa plus grande valeur. »

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   Vrai : chaque valeur est au plus égale au maximum, donc la somme est au plus égale à $N\times$ maximum, et la moyenne au plus égale au maximum ; de même pour le minimum.

   C’est le sens de « point d’équilibre » : la moyenne est la valeur commune qu’auraient les données si elles étaient égales, elle ne peut sortir de leur intervalle.

Argumenter un choix

Une entreprise remplit des paquets de 500 g avec deux machines. Le document 2 résume les masses de 40 paquets pour chacune ; la masse moyenne vaut 500,1 g pour A et 499,9 g pour B. Un paquet de moins de 495 g est refusé. Réponds en justifiant.

1. 1.Où chaque machine est-elle centrée ?

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   Au même endroit : 500 g de médiane pour les deux, 500,1 g et 499,9 g de moyenne.

   Les deux indicateurs de position sont pratiquement égaux : ils ne permettent pas de départager les machines.

2. 2.Laquelle est la plus régulière ? Chiffre-le de deux façons.

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   A : étendue $509-492=17$ g, écart interquartile $502-498=4$ g. B : étendue $503-496=7$ g, écart interquartile $501-499=2$ g. B est deux fois plus régulière.

   Les deux mesures vont dans le même sens : B est moins dispersée sur sa moitié centrale comme sur ses extrêmes.

3. 3.Au moins combien de paquets de la machine A pèsent 498 g ou moins ? Justifie.

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   Au moins 10

   $Q_1=498$ g : au moins un quart des 40 paquets, soit au moins 10, ont une masse inférieure ou égale à 498 g. Il peut y en avoir plus si plusieurs paquets pèsent 498 g.

4. 4.Que peut-on affirmer, pour chaque machine, sur les paquets refusés ?

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   A : au moins un paquet refusé (le minimum, 492 g), sans savoir combien. B : aucun, son minimum est 496 g.

   Le diagramme donne les extrêmes mais pas le nombre de paquets entre 492 et 495 g : le résumé a perdu cette information.

5. 5.Rédige, en quelques lignes, l’avis à remettre au responsable : quelle machine garder ?

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   La machine B : même position que A, dispersion deux fois plus faible, et aucun paquet sous 495 g.

   L’avis complet nomme la position (égale), la dispersion (en faveur de B, chiffrée) et la conséquence pratique (les refus). Comparer les seules moyennes ne suffit pas.

Critiquer un raisonnement

Le journal du collège a publié le document 3. Les effectifs sont justes : 6 élèves de 0 à 15 min, 12 de 15 à 30 min, 12 de 30 à 60 min. Réponds en justifiant.

1. 1.Pourquoi ce graphique est-il trompeur ?

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   Le dernier rectangle a la même hauteur que le deuxième mais une largeur double : son aire double laisse croire qu’il compte deux fois plus d’élèves, alors qu’ils sont 12 dans les deux.

   L’œil compare des surfaces : le rectangle de 30 à 60 min occupe la moitié de l’aire totale pour 12 élèves sur 30.

2. 2.En gardant les deux premiers rectangles, quelle hauteur fallait-il donner au troisième ?

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   6 graduations, la moitié de 12

   La classe est deux fois plus large que celle de 15 à 30 min, pour le même effectif : même aire, donc hauteur divisée par deux.

3. 3.Estime la durée moyenne de devoirs. Pourquoi n’est-ce qu’une estimation, et quel découpage l’aurait rendue plus fiable ?

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   $\frac{6\times 7,5+12\times 22,5+12\times 45}{30}=\frac{855}{30}=28,5$ min ; on a remplacé chaque durée par un centre ; des classes plus étroites que $[30;60[$.

   Les centres 7,5, 22,5 et 45 remplacent des durées inconnues. Dans la classe large, l’écart entre une durée réelle et le centre peut atteindre 15 min : resserrer les classes réduit l’erreur.

Transférer ses connaissances

On cherche une série de six notes entières, comprises entre 0 et 20, dont la médiane vaut 10, la moyenne 12 et l’étendue 15.

1. 1.Propose une telle série.

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   Par exemple : 5 ; 9 ; 10 ; 10 ; 18 ; 20

   Toute série qui vérifie les trois conditions est acceptée, par exemple aussi 5 ; 10 ; 10 ; 10 ; 17 ; 20. On peut partir de 10 et 10 au centre, puis de 5 et 20 aux extrémités.

2. 2.Vérifie, calculs à l’appui, les trois conditions pour ta série.

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   Médiane : $(10+10)÷2=10$ ; somme $5+9+10+10+18+20=72$ et $72÷6=12$ ; étendue : $20-5=15$.

   Une moyenne de 12 sur six notes exige une somme de 72 : c’est la condition qui guide la construction.

3. 3.Montre qu’aucune série de six notes sur 20 de médiane 10 ne peut avoir une moyenne de 16.

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   Les trois plus petites notes valent au plus 10 et les trois autres au plus 20 : la somme vaut au plus $30+60=90$, donc la moyenne au plus $90÷6=15$.

   La 3e note est au plus égale à la médiane, donc les trois premières aussi : la moyenne est bornée par 15, et 16 est impossible.