Statistiques — Moyenne, médiane, quartiles et dispersion

Calculer un indicateur

Au premier trimestre, Sami a obtenu en mathématiques : 13 au contrôle (coefficient 4), 18 au devoir maison (coefficient 1), 9 à l’oral (coefficient 2) et 11 à l’interrogation (coefficient 1). Arrondis les moyennes au dixième.

1. 1.Que vaut sa moyenne trimestrielle ?

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   $\frac{99}{8}\approx 12,4$

   Produits : $52+18+18+11=99$ ; on divise par la somme des coefficients, 8.

2. 2.Yanis a divisé par 4 et trouve 24,75. Sans refaire son calcul, explique pourquoi c’est forcément faux.

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   Une moyenne ne peut pas dépasser la plus haute note, 18 ; 24,75 dépasse même 20.

   La moyenne est le point d’équilibre des notes : si toutes étaient égales, ce serait celle-là, donc elle reste entre 9 et 18.

3. 3.Le professeur porte le coefficient du devoir maison à 3. La moyenne de Sami monte-t-elle ? Calcule-la.

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   Oui : $\frac{135}{10}=13,5$

   Le 18 pèse davantage et il est au-dessus de la moyenne : il la tire vers le haut. Nouveau total $99+36=135$, pour 10 coefficients.

Interpréter un résultat

Voici les salaires mensuels, en euros, des neuf personnes d’une petite entreprise ; le dernier est celui du gérant : 1 700 ; 2 100 ; 1 600 ; 1 800 ; 1 700 ; 2 000 ; 1 650 ; 1 900 ; 8 600.

1. 1.Calcule le salaire moyen, arrondi à l’euro.

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   Environ 2 561 €

   $23050÷9\approx 2561,1$ : on divise la somme des neuf salaires par 9.

2. 2.Quel est le salaire médian ?

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   1 800 €

   Série rangée : 1 600 ; 1 650 ; 1 700 ; 1 700 ; 1 800 ; 1 900 ; 2 000 ; 2 100 ; 8 600. La 5e valeur est au milieu.

3. 3.Combien de personnes gagnent plus que le salaire moyen ? Quel indicateur décrit le mieux les salaires de cette entreprise ?

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   Une seule, le gérant ; la médiane décrit mieux.

   Huit salariés sur neuf sont sous la moyenne : tirée par 8 600 €, elle ne ressemble à aucun salaire. La médiane, elle, est au cœur du groupe.

4. 4.Le gérant porte son salaire à 12 000 €. Que deviennent la moyenne et la médiane ?

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   $26450÷9\approx 2939$ € ; la médiane ne bouge pas, 1 800 €.

   Une seule valeur a bougé, et c’est la dernière du rang : la médiane ne la voit pas, la moyenne monte d’environ 378 €.

5. 5.Et que deviennent les deux mesures de dispersion ?

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   Étendue : de 7 000 € à 10 400 € ; $Q_3-Q_1$ reste à $2000-1700=300$ €.

   $Q_1$ (rang 3) et $Q_3$ (rang 7) ne bougent pas ; l’étendue, calculée sur le maximum, augmente de 3 400 €.

Lire un graphique

Le document 1 représente les temps des participants à la course d’orientation du collège. Réponds en justifiant.

1. 1.Combien de participants ont couru ?

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   40

   On additionne les hauteurs : $5+11+14+6+4=40$.

2. 2.Quel pourcentage des participants a mis moins de 30 minutes ?

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   40 %

   $5+11=16$ coureurs sur 40, et $\frac{16}{40}=0,4$.

3. 3.Dans quelle classe se trouve le temps médian ? Justifie.

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   Dans $[30;35[$

   Effectif pair : la médiane est entre le 20e et le 21e temps. Les deux premières classes en comptent 16, les trois premières 30 : ces deux rangs sont dans $[30;35[$.

4. 4.Estime le temps moyen, au dixième de minute.

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   $\frac{1265}{40}\approx 31,6$ min

   Produits des centres par les effectifs : $112,5+302,5+455+225+170=1265$, divisé par 40 ; c’est une estimation.

5. 5.Emma a couru en 30 minutes exactement. Dans quel rectangle est-elle comptée ?

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   Celui de la classe $[30;35[$

   La borne de gauche appartient à la classe, celle de droite non : 30 ouvre la classe $[30;35[$.

Comparer deux séries

Nadia relève pendant douze jours le retard, en minutes, de deux lignes de bus qui mènent au collège. Ligne A : 5 ; 2 ; 6 ; 4 ; 9 ; 5 ; 3 ; 6 ; 7 ; 4 ; 5 ; 6. Ligne B : 9 ; 0 ; 5 ; 12 ; 1 ; 7 ; 14 ; 3 ; 0 ; 10 ; 5 ; 2.

1. 1.Réécris chaque liste triée.

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   A : 2 ; 3 ; 4 ; 4 ; 5 ; 5 ; 5 ; 6 ; 6 ; 6 ; 7 ; 9. B : 0 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 5 ; 7 ; 9 ; 10 ; 12 ; 14.

   Ce rangement sert à toutes les questions suivantes : médiane et quartiles sont des positions dans la série rangée.

2. 2.Détermine la médiane de chaque ligne.

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   5 min pour A comme pour B

   Demi-somme des 6e et 7e valeurs : $\frac{5+5}{2}=5$ dans les deux cas.

3. 3.Détermine $Q_1$ et $Q_3$ de chaque ligne.

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   A : $Q_1=4$, $Q_3=6$. B : $Q_1=1$, $Q_3=9$.

   $12÷4=3$ et $3\times 12÷4=9$ : on lit les 3e et 9e valeurs de chaque série rangée.

4. 4.Calcule l’étendue de A et de B, puis la largeur de leurs boîtes.

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   A : 7 et 2. B : 14 et 8.

   $9-2=7$ et $6-4=2$ pour A ; $14-0=14$ et $9-1=8$ pour B.

5. 5.Trace les deux boîtes sur l’axe ci-dessus.

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   A : moustaches de 2 à 9, boîte de 4 à 6 coupée à 5. B : moustaches de 0 à 14, boîte de 1 à 9 coupée à 5.

   Chaque boîte repose sur les cinq nombres trouvés ; les deux médianes sont alignées, mais la boîte de B est quatre fois plus large.

6. 6.Nadia doit arriver à l’heure tous les jours. Quelle ligne lui conseilles-tu ? Justifie en comparant position et dispersion.

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   La ligne A : même retard médian, mais des retards beaucoup plus réguliers.

   Les positions sont égales (médianes de 5 min) ; la dispersion de A est bien plus faible (2 contre 8) : avec B, le retard atteint 9 min ou plus 4 jours sur 12.

Calculer un indicateur

Le document 2 donne, pour vingt-cinq jours de classe, le nombre d’élèves absents. Réponds en écrivant tes calculs.

1. 1.Calcule le rang de $Q_1$, puis sa valeur.

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   $25÷4=6,25$, donc rang 7 : $Q_1=1$

   6,25 n’est pas entier : on monte au 7e rang ; les rangs 5 à 10 correspondent à 1 absent.

2. 2.Même travail pour $Q_3$.

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   $3\times 25÷4=18,75$, donc rang 19 : $Q_3=3$

   On monte au rang 19 ; les rangs 18 à 22 correspondent à 3 absents.

3. 3.Combien de jours ont compté au plus $Q_1$ absents ? Est-ce exactement un quart des jours ?

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   10 jours, soit 40 % : plus d’un quart.

   $4+6=10$ jours sur 25. La définition dit « au moins un quart » : avec des valeurs répétées, la part réelle peut dépasser 25 %.