Équations et inéquations — Premier et second degré

Résoudre une équation du premier degré

Réponds à chaque question.

1. 1.Quel est le premier geste pour résoudre $ax+b=c$ ?

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   Rassembler les $x$ d’un côté et les nombres de l’autre.

   Tout terme qui traverse le signe égal change de signe.

2. 2.Quel est le deuxième ?

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   Diviser les deux membres par le coefficient de $x$.

   C’est l’étape où un coefficient négatif demandera de la vigilance dans une inéquation.

3. 3.Dans quelle équation faut-il vérifier la solution, et pourquoi ?

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   Dans l’équation de départ, parce qu’une ligne intermédiaire pourrait déjà contenir l’erreur.

   Vérifier dans une ligne fausse confirme une réponse fausse.

4. 4.Résoudre une équation, qu’est-ce que c’est ?

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   Trouver les nombres qui la rendent vraie.

   Pour une inéquation, il y en a en général une infinité.

Résoudre une inéquation

Réponds à chaque question.

1. 1.Quelle opération inverse le sens d’une inégalité ?

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   Multiplier ou diviser les deux membres par un nombre négatif.

   Ajouter ou soustraire ne change jamais rien.

2. 2.Résous $-3x>12$.

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   $x<-4$

   On divise par $-3$, donc on retourne le symbole.

3. 3.Vérifie ta réponse en testant $x=-5$.

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   $-3\times (-5)=15$, et $15>12$ : l’inégalité est vraie.

   Le test d’une valeur tranche en quelques secondes.

4. 4.Sous quelle forme la solution d’une inéquation s’écrit-elle ?

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   Sous forme d’intervalle.

   $[-4;+\infty [$ inclut $-4$, $]-4;+\infty [$ ne l’inclut pas : la notation compte.

Calculer un discriminant

Réponds à chaque question.

1. 1.Écris la forme générale d’une équation du second degré et la formule du discriminant.

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   $a{x}^2+bx+c=0$ avec $a\ne 0$, et $\Delta =b^2-4ac$.

   La condition sur $a$ fait partie de la définition.

2. 2.Que conclut-on selon le signe de $\Delta$ ?

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   Deux racines si $\Delta >0$, une racine double si $\Delta =0$, aucune racine réelle si $\Delta <0$.

   Un discriminant négatif clôt la question : on ne force aucun calcul.

3. 3.Calcule le discriminant de $x^2-5x+6=0$.

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   $\Delta =(-5{)}^2-4\times 1\times 6=25-24=1$

   Le signe de $b$ fait partie du coefficient : $b=-5$.

4. 4.Calcule le discriminant de $2x^2+3x-2=0$.

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   $\Delta =3^2-4\times 2\times (-2)=9+16=25$

   Deux facteurs négatifs donnent un produit positif : $-4ac$ vaut ici $+16$.

5. 5.Quel geste évite cette erreur de signe ?

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   Calculer $4ac$ à part, avec son signe, puis le soustraire.

   Ici $4ac=-16$, donc $\Delta =9-(-16)=25$.

Trouver les racines d'un trinôme

Réponds à chaque question.

1. 1.Résous $x^2-5x+6=0$.

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   $S=\{2;3\}$

   Avec $\Delta =1$, les racines valent $\frac{5+1}{2}=3$ et $\frac{5-1}{2}=2$.

2. 2.Vérifie la racine 3 dans l’équation de départ.

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   $3^2-5\times 3+6=9-15+6=0$

   La vérification se fait toujours dans l’équation de départ.

3. 3.Résous $2x^2+3x-2=0$.

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   $S=\{-2;0,5\}$

   Avec $\Delta =25$, les racines valent $\frac{-3+5}{4}=0,5$ et $\frac{-3-5}{4}=-2$.

4. 4.Sous quelle forme un trinôme se factorise-t-il quand $\Delta >0$ ?

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   $a(x-x_1)(x-x_2)$, où $x_1$ et $x_2$ sont les racines.

   C’est cette forme qui permet ensuite d’étudier le signe du trinôme.

Repérer une erreur et la corriger

Chaque calcul est faux. Écris le calcul juste et son résultat.

1. 1.« Pour $x^2-6x+9=0$ : $\Delta =0$, donc l’équation n’a pas de solution. »

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   Elle a une solution, dite double : $x=3$.

   C’est $\Delta <0$ qui signifie « aucune racine réelle », jamais $\Delta =0$.

2. 2.« Pour $2x^2+3x-2$ : $\Delta =9-16=-7$, donc aucune solution. »

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   $\Delta =9+16=25$, et l’équation a deux solutions.

   Le produit $-4\times 2\times (-2)$ vaut $+16$.

3. 3.« La solution de $x⩾-4$ est $[-4;+\infty ]$. »

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   C’est $[-4;+\infty [$.

   L’infini n’est pas un nombre : son crochet reste ouvert.