Trigonométrie dans le triangle rectangle

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Pour chaque question, coche la seule réponse juste.

1. 1.$KLM$ est rectangle en $L$. Vu de $\hat{K}$, l’opposé est…

   0.5 pt
   • $[KL]$
   • $[LM]$
   • $[KM]$
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   $[LM]$

   Vu de $K$, le seul côté qui ne touche pas l’angle est $[LM]$ ; $[KM]$, face à l’angle droit, est l’hypoténuse, et $[KL]$ est l’adjacent.

2. 2.Même triangle, vu de $\hat{M}$ : l’adjacent est…

   0.5 pt
   • $[KM]$
   • $[KL]$
   • $[LM]$
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   $[LM]$

   En changeant d’angle, $[LM]$ passe d’opposé à adjacent : il touche maintenant l’angle choisi. L’hypoténuse $[KM]$, elle, ne change pas.

3. 3.Toujours dans $KLM$, $\tan (\hat{K})$ est égal à…

   0.5 pt
   • $\frac{KL}{LM}$
   • $\frac{LM}{KM}$
   • $\frac{LM}{KL}$
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   $\frac{LM}{KL}$

   Tangente = opposé sur adjacent (TOA) : vu de $K$, l’opposé est $LM$ et l’adjacent $KL$. Le quotient $\frac{LM}{KM}$ serait le sinus.

4. 4.En début de contrôle, Inès tape $\cos (60^{\circ })$ et lit $-0,952$. Que doit-elle faire ?

   0.5 pt
   • utiliser la touche ${\cos }^{-1}$
   • régler sa calculatrice en degrés
   • arrondir le résultat au dixième
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   régler sa calculatrice en degrés

   En mode degrés, $\cos (60^{\circ })$ vaut 0,5. Un autre affichage signale le mauvais mode : tous les calculs suivants seraient faux sans que rien ne prévienne.

5. 5.Un élève trouve $\sin (\hat{A})=1,25$. On peut affirmer que…

   0.5 pt
   • l’angle mesure 125°
   • l’angle est presque droit
   • son calcul contient une erreur
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   son calcul contient une erreur

   Le sinus divise l’opposé par l’hypoténuse, le plus grand côté : il est toujours compris entre 0 et 1. Un sinus supérieur à 1 est impossible.

6. 6.On sait que $\cos (\alpha )=0,4$. Pour obtenir l’angle $\alpha$, on calcule…

   0.5 pt
   • $1÷0,4$
   • ${\cos }^{-1}(0,4)$
   • $\cos (0,4)$
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   ${\cos }^{-1}(0,4)$

   La touche ${\cos }^{-1}$ rend un angle à partir d’un rapport ; $1÷0,4=2,5$ est un nombre sans rapport avec l’angle.

7. 7.Aucun triangle rectangle sur la figure : avant tout rapport trigonométrique, il faut…

   0.5 pt
   • prendre le plus grand côté comme hypoténuse
   • faire apparaître un triangle rectangle, par exemple avec une hauteur
   • utiliser la touche ${\tan }^{-1}$
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   faire apparaître un triangle rectangle, par exemple avec une hauteur

   Adjacent, opposé et hypoténuse n’ont de sens que dans un triangle rectangle : sans angle droit, on en construit un, par une hauteur ou une décomposition.

8. 8.Un panneau routier annonce une pente de 10 %. Cela signifie que la route…

   0.5 pt
   • fait un angle de 10° avec l’horizontale
   • monte de 10 m pour 100 m parcourus à l’horizontale
   • monte de 10 m pour 100 m parcourus le long de la route
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   monte de 10 m pour 100 m parcourus à l’horizontale

   Une pente est le quotient du dénivelé par la distance horizontale, c’est-à-dire une tangente, et non un angle : 10 % correspondent à un angle d’environ 6°.

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Complète le texte avec les mots de la banque. Trois mots ne servent pas.

1. 1.Le cosinus est le quotient de l’ par l’hypoténuse.

   0.5 pt
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   adjacent

   C’est le « CAH » de CAH — SOH — TOA : Cosinus, Adjacent, Hypoténuse.

2. 2.La est le seul des trois rapports qui n’utilise pas l’hypoténuse.

   0.5 pt
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   tangente

   Tangente = opposé sur adjacent : quand l’hypoténuse n’est ni connue ni cherchée, c’est elle qu’il faut.

3. 3.Si la longueur cherchée est au dénominateur du rapport, on ne multiplie pas : on .

   0.5 pt
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   divise

   Avec $\cos (\alpha )=\frac{\text{adjacent}}{\text{hypoteˊnuse}}$, l’hypoténuse cherchée s’obtient en divisant l’adjacent par le cosinus.

4. 4.La valeur affichée par la machine se garde jusqu’au bout : on n’ qu’à la dernière ligne.

   0.5 pt
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   arrondit

   Un rapport arrondi en cours de route fausse le résultat final, et l’arrondi de la dernière ligne ne rattrape pas l’écart.

5. 5.L’angle entre l’horizontale et la direction du regard, quand on lève les yeux, est l’angle d’.

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   élévation

   Lever les yeux vers un point plus haut : c’est l’angle d’élévation, celui des calculs de hauteur d’un arbre ou d’un immeuble.

6. 6.Quand on baisse les yeux vers un point plus bas, on parle d’angle de .

   0.5 pt
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   dépression

   L’angle se mesure toujours depuis l’horizontale ; vers le bas, il prend le nom d’angle de dépression.

Lire une figure

Le triangle $EFG$ de la figure est rectangle en $F$, avec $EF=20$ cm, $FG=21$ cm et $EG=29$ cm. Écris les rapports a à d sous forme de fraction, puis réponds aux questions e et f.

1. 1.$\cos (\hat{E})$

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   $\cos (\hat{E})=\frac{EF}{EG}=\frac{20}{29}$

   Vu de $E$, l’adjacent est $[EF]$, qui touche l’angle, et l’hypoténuse est $[EG]$, face à l’angle droit en $F$.

2. 2.$\sin (\hat{E})$

   0.5 pt
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   $\sin (\hat{E})=\frac{FG}{EG}=\frac{21}{29}$

   L’opposé à l’angle en $E$ est $[FG]$, le seul côté qui ne touche pas $E$ ; le dénominateur reste l’hypoténuse.

3. 3.$\tan (\hat{E})$

   0.5 pt
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   $\tan (\hat{E})=\frac{FG}{EF}=\frac{21}{20}$

   Opposé sur adjacent, sans l’hypoténuse : c’est le seul des trois rapports qui peut dépasser 1, et il vaut ici 1,05.

4. 4.$\cos (\hat{G})$

   0.5 pt
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   $\cos (\hat{G})=\frac{FG}{EG}=\frac{21}{29}$

   Vu de $G$, $[FG]$ touche l’angle : il devient l’adjacent. On retrouve la fraction de $\sin (\hat{E})$, parce que adjacent et opposé se sont échangés.

5. 5.Donne $\hat{E}$ au degré près.

   1 pt
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   $\hat{E}={\tan }^{-1}\left(\frac{21}{20}\right)\approx 46^{\circ }$

   La touche inverse rend l’angle : ${\tan }^{-1}(1,05)\approx 46,4^{\circ }$, soit 46° au degré près. Le cosinus ou le sinus donnent le même angle.

6. 6.Sans calculatrice, pourquoi pouvait-on prévoir ce résultat ?

   0.5 pt
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   Car $FG=21$ dépasse un peu $EF=20$ : $\hat{E}$ est un peu au-dessus de 45°.

   Quand opposé et adjacent sont égaux, la tangente vaut 1 et l’angle 45° ; un opposé un peu plus long donne un angle un peu plus grand.

Calculer à la calculatrice

Les trois triangles de la figure sont rectangles. Calcule la grandeur marquée « ? » dans chacun : longueurs au dixième de centimètre, angle au degré. Rédige : rapport choisi, égalité, calcul, conclusion.

1. 1.Calcule $QR$.

   1.5 pt
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   $\sin (34^{\circ })=\frac{QR}{PR}$, donc $QR=9\times \sin (34^{\circ })\approx 5,0$ cm.

   Vu de $P$, $[QR]$ est l’opposé et $[PR]$ l’hypoténuse connue : c’est le sinus ; $9\times \sin (34^{\circ })\approx 5,03$. 0,5 point pour le rapport, 0,5 pour le calcul, 0,5 pour le résultat arrondi avec l’unité.

2. 2.Calcule $UW$.

   1.5 pt
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   $\cos (58^{\circ })=\frac{UV}{UW}$, donc $UW=4,5÷\cos (58^{\circ })\approx 8,5$ cm.

   Vu de $U$, $[UV]$ est l’adjacent connu et $[UW]$ l’hypoténuse cherchée : c’est le cosinus, avec l’inconnue au dénominateur, donc on divise. Contrôle : 8,5 cm dépasse 4,5 cm, comme toute hypoténuse.

3. 3.Calcule la mesure de l’angle $\widehat{YXZ}$.

   1.5 pt
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   $\tan (\widehat{YXZ})=\frac{YZ}{XY}=\frac{3}{7}$, donc $\widehat{YXZ}\approx 23^{\circ }$.

   Vu de $X$, les deux côtés connus sont l’opposé et l’adjacent : la tangente, puis la touche ${\tan }^{-1}$, qui donne environ 23,2°. L’opposé est bien plus court que l’adjacent : un angle nettement inférieur à 45° est cohérent.

Résoudre un problème

Léo tient le fil de son cerf-volant en $M$, à 1,2 m du sol. Le fil $[MC]$, tendu et rectiligne, mesure 30 m et fait un angle de 50° avec l’horizontale $[MH]$ ; le point $H$ est à la verticale du cerf-volant, à la hauteur de la main. Observe le document 1, puis réponds.

1. 1.Dans $MHC$, où se trouve l’angle droit ? Quel nom porte le fil $[MC]$ ?

   1 pt
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   L’angle droit est en $H$ ; le fil $[MC]$ est l’hypoténuse.

   Le fil est le côté face à l’angle droit en $H$ : c’est l’hypoténuse, le plus grand des trois côtés du triangle.

2. 2.Vu de $\hat{M}$, quel nom porte $[HC]$ ? Quel rapport faut-il pour passer de $[MC]$ à $[HC]$ ?

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   Opposé ; sinus.

   $[HC]$ ne touche pas l’angle en $M$ : il lui fait face. Opposé et hypoténuse : c’est le sinus, le « SOH » du moyen mnémotechnique.

3. 3.Donne $HC$ au dixième de mètre.

   1 pt
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   $HC=30\times \sin (50^{\circ })\approx 23,0$ m.

   $\sin (50^{\circ })=\frac{HC}{30}$ ; l’inconnue est au numérateur, on multiplie : $30\times \sin (50^{\circ })\approx 22,98$. On garde cette valeur pour la question suivante.

4. 4.À quelle hauteur au-dessus du sol vole le cerf-volant ? Arrondis au dixième de mètre.

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   $22,98+1,2=24,18$ : le cerf-volant vole à environ 24,2 m du sol.

   Le triangle part de la main, à 1,2 m du sol : il faut rendre au sol cette hauteur. L’oublier, c’est répondre 23,0 m, la hauteur au-dessus de la main et non celle demandée.

5. 5.Avec le même fil de 30 m, quel angle le fil devrait-il faire avec l’horizontale pour que le cerf-volant soit à 15 m au-dessus de la main ?

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   $\sin (\hat{M})=\frac{15}{30}=0,5$, donc l’angle vaut 30°.

   Opposé et hypoténuse sont connus : le sinus vaut 0,5, et la touche ${\sin }^{-1}$ donne exactement 30°. Un angle plus petit que 50° pour une hauteur plus petite : c’est cohérent.