Trigonométrie dans le triangle rectangle

Repérer et corriger une erreur

La copie du document 1 contient quatre erreurs de raisonnement. Pour chacune, indique les lignes, explique l’erreur et écris la réponse juste, calcul compris.

Réponse rédigée. Ce que le correcteur attend, critère par critère :

1. 1.Lignes 1 et 2 — un rapport choisi par habitude.

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   $\tan (\widehat{ABC})=\frac{7}{10}$, donc $\widehat{ABC}\approx 35,0^{\circ }$.

   Vu de $B$, 7 cm est l’opposé et 10 cm l’adjacent ; l’hypoténuse n’intervient pas : c’est la tangente. Le cosinus de la copie traite 10 cm comme l’hypoténuse, ce qui décale l’angle de plus de 10°. 0,5 point pour l’erreur repérée, 0,5 pour la correction calculée.

2. 2.Ligne 3 — la touche inverse confondue avec l’inverse.

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   $\alpha ={\cos }^{-1}(0,35)\approx 69,5^{\circ }$, et non $1÷0,35$.

   ${\cos }^{-1}$ rend un angle à partir d’un rapport ; $1÷0,35$ est un nombre sans signification ici. La notation est la même, la fonction ne l’est pas.

3. 3.Ligne 5 — une tangente tronquée trop tôt.

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   $NP=15\times \tan (52^{\circ })\approx 19,2$ cm.

   Arrondir la tangente à 1,3 ajoute 0,3 cm au résultat : l’écart dépasse la précision attendue, et l’arrondi final ne le rattrape pas. Le rapport choisi, lui, est juste.

4. 4.Ligne 6 — les noms de l’angle précédent gardés.

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   Vu de $T$, l’opposé est $[RS]$ : $\sin (\widehat{STR})=\frac{RS}{RT}$.

   En passant de $R$ à $T$, adjacent et opposé s’échangent ; seule l’hypoténuse $[RT]$ ne bouge pas. Le quotient $\frac{ST}{RT}$ est le cosinus de l’angle en $T$.

Argumenter et justifier

Chaque affirmation porte sur un triangle rectangle. Réponds « toujours vrai », « parfois vrai » ou « jamais vrai », puis justifie : par un argument général pour « toujours » ou « jamais », par un exemple et un contre-exemple pour « parfois ».

1. 1.« Dans $ABC$ rectangle en $A$, $\sin (\hat{B})$ peut valoir plus de 1. »

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   Jamais vrai : $\sin (\hat{B})=\frac{AC}{BC}$ et $BC$ est le plus grand côté, donc le quotient reste inférieur à 1.

   Un argument général est attendu, pas un exemple : c’est la place de l’hypoténuse au dénominateur qui borne le sinus, comme le cosinus.

2. 2.« Dans $ABC$ rectangle en $A$, $\tan (\hat{B})$ est plus grand que 1. »

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   Parfois vrai : $\tan (60^{\circ })\approx 1,73$, mais $\tan (30^{\circ })\approx 0,58$.

   La tangente dépasse 1 quand l’opposé est plus long que l’adjacent, au-delà de 45° ; elle ne divise pas par l’hypoténuse, rien ne la plafonne. Un exemple et un contre-exemple suffisent à établir « parfois ».

3. 3.« Dans $ABC$ rectangle en $A$, l’adjacent de $\hat{B}$ passe par $A$. »

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   Toujours vrai : l’adjacent touche $\hat{B}$ sans être l’hypoténuse $[BC]$ ; c’est donc $[AB]$, qui passe par $A$.

   L’hypoténuse est le seul côté qui ne passe pas par le sommet de l’angle droit ; les deux autres, adjacent et opposé, en sont les côtés.

4. 4.« $UVW$ est rectangle en $V$. Vu de $\hat{W}$, le segment $[VW]$, opposé à $\hat{U}$, prend le nom d’hypoténuse. »

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   Jamais vrai : vu de $W$, $[VW]$ devient l’adjacent ; l’hypoténuse reste $[UW]$, face à l’angle droit en $V$.

   L’hypoténuse se définit par l’angle droit, qui ne bouge pas ; adjacent et opposé se définissent par l’angle choisi, et ce sont eux qui s’échangent.

5. 5.« Pour calculer une longueur, on multiplie la longueur connue par le cosinus, le sinus ou la tangente de l’angle. »

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   Parfois vrai : si l’inconnue est au numérateur, on multiplie (opposé $=10\times \sin (40^{\circ })$ quand l’hypoténuse vaut 10) ; si elle est au dénominateur, on divise (hypoténuse $=10÷\cos (40^{\circ })$ quand l’adjacent vaut 10).

   Le sens se décide sur l’égalité écrite, pas par habitude : un produit là où il fallait un quotient ressemble tout autant à une longueur.

Résoudre un problème à étapes

Pour mesurer la largeur d’une rivière aux rives parallèles sans la traverser, une classe se place sur la rive sud et mesure des angles (document 2, vue de dessus). Les points $A$ et $B$ de la rive sud sont distants de 60 m. Rédige chaque réponse : triangle, rapport, calcul, conclusion.

1. 1.Figure 1 : pourquoi peut-on utiliser la trigonométrie dans le triangle $ABT$ ? Calcule la largeur $AT$ de la rivière, au décimètre près.

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   $ABT$ est rectangle en $A$, puisque $T$ est en face de $A$. Vu de $B$ : $\tan (38^{\circ })=\frac{AT}{60}$, donc $AT=60\times \tan (38^{\circ })\approx 46,9$ m.

   « En face de $A$ » signifie que $(AT)$ est perpendiculaire à la rive. Opposé cherché, adjacent connu : la tangente ; $60\times \tan (38^{\circ })\approx 46,88$.

2. 2.Calcule $BT$ au décimètre près, puis vérifie que ce résultat est vraisemblable.

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   $\cos (38^{\circ })=\frac{60}{BT}$, donc $BT=60÷\cos (38^{\circ })\approx 76,1$ m, plus long que $AB$ et que $AT$.

   $[BT]$ est l’hypoténuse : l’inconnue au dénominateur impose une division, et le résultat doit dépasser les deux autres côtés. Un produit, $60\times \cos (38^{\circ })\approx 47,3$ m, aurait été trop court.

3. 3.Figure 2 : pourquoi ne peut-on pas écrire directement un cosinus, un sinus ou une tangente dans le triangle $ARB$ ? Quel segment faut-il tracer ?

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   $ARB$ n’a pas d’angle droit : il faut tracer la perpendiculaire $[RH]$ à la rive, avec $H$ sur $[AB]$. Elle crée deux triangles rectangles en $H$, et sa longueur $h$ est la largeur de la rivière.

   Adjacent et opposé n’ont pas de sens sans angle droit. La hauteur issue de $R$ donne à la fois deux triangles rectangles et la largeur cherchée.

4. 4.Exprime $AH$ et $HB$ en fonction de $h$.

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   $AH=\frac{h}{\tan (60^{\circ })}$ et $HB=\frac{h}{\tan (55^{\circ })}$.

   Dans $AHR$, vu de $A$, $h$ est l’opposé et $AH$ l’adjacent : $\tan (60^{\circ })=\frac{h}{AH}$, et l’inconnue $AH$, au dénominateur, s’obtient par une division. Même raisonnement dans $BHR$, vu de $B$.

5. 5.Sachant que $AH+HB=60$, calcule $h$ au décimètre près.

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   $h\times \left(\frac{1}{\tan (60^{\circ })}+\frac{1}{\tan (55^{\circ })}\right)=60$, donc $h=60÷\left(\frac{1}{\tan (60^{\circ })}+\frac{1}{\tan (55^{\circ })}\right)\approx 47,0$ m.

   On factorise $h$ et l’on résout une équation du premier degré ; la somme entre parenthèses, environ 1,2776, se garde en mémoire. Arrondie à 1,3, elle donnerait 46,2 m.

6. 6.Les rives étant parallèles, les résultats des questions a et e sont-ils cohérents ? Explique le petit écart.

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   Oui : 46,9 m et 47,0 m ne diffèrent que d’un décimètre ; les angles, mesurés au degré près, suffisent à expliquer cet écart.

   Deux mesures de la même largeur doivent presque coïncider. Avec un angle en $B$ de 54,9° au lieu de 55°, on retrouverait 46,9 m : un dixième de degré sur un angle décale déjà le résultat.

Interpréter une pente

Sur une route ou une piste, la pente en pourcentage compare le dénivelé à la distance parcourue à l’horizontale : 12 % signifie 12 m de dénivelé pour 100 m à l’horizontale. Réponds en justifiant.

1. 1.Quels angles correspondent aux pentes de 10 %, 20 % et 50 % ? Donne-les au dixième.

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   Environ 5,7°, 11,3° et 26,6°.

   ${\tan }^{-1}(0,1)\approx 5,71^{\circ }$, ${\tan }^{-1}(0,2)\approx 11,31^{\circ }$, ${\tan }^{-1}(0,5)\approx 26,57^{\circ }$ : 0,5 point par angle.

2. 2.L’angle est-il proportionnel à la pente ? Justifie à l’aide de la pente de 100 %.

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   Non : 100 %, c’est dix fois 10 %, mais l’angle vaut 45°, et non dix fois 5,7°, soit 57°.

   Pour 100 %, le dénivelé égale la distance horizontale : $\tan (\alpha )=1$, donc $\alpha =45^{\circ }$. Les petites pentes donnent l’illusion de la proportionnalité, qui ne résiste pas aux grandes.

3. 3.Une piste de ski annonce un passage à 120 %. Un élève affirme que c’est impossible, puisqu’une pente ne peut pas dépasser 100 %. A-t-il raison ?

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   Non : la tangente n’a pas de plafond ; 120 % correspondent à ${\tan }^{-1}(1,2)\approx 50,2^{\circ }$, un angle aigu tout à fait possible.

   Au-delà de 100 %, le dénivelé dépasse la distance horizontale et l’angle dépasse 45°. C’est la tangente, et non le sinus ou le cosinus, qui peut dépasser 1.

4. 4.Quelle pente, en pourcentage arrondi au dixième, correspond à un angle de 30° ?

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   $\tan (30^{\circ })\approx 0,577$ : environ 57,7 %.

   Le passage de l’angle à la pente se fait par la touche tan, sans touche inverse : la pente est la tangente, multipliée par 100.