Quel côté garde le même nom quel que soit l'angle aigu choisi ?

L'hypoténuse — Elle se définit par rapport à l'angle droit, qui ne bouge pas.

Où se trouve le côté adjacent à un angle ?

Il touche l'angle. — C'est l'un des deux côtés qui le forment, l'autre étant l'hypoténuse.

Et le côté opposé ?

Il fait face à l'angle. — Il ne le touche pas : c'est le seul côté qui n'entre pas dans l'angle.

Que se passe-t-il si l'on choisit l'autre angle aigu ?

Adjacent et opposé s'échangent. — C'est le point à comprendre avant toute formule : ces noms appartiennent à l'angle, pas aux côtés.

Les deux côtés en jeu sont les deux côtés de l'angle droit.

La tangente — L'hypoténuse n'intervient pas : c'est le seul rapport qui l'ignore.

L'hypoténuse et le côté qui touche l'angle.

Le cosinus — Adjacent sur hypoténuse — le premier des trois.

L'hypoténuse et le côté qui fait face à l'angle.

Le sinus — Opposé sur hypoténuse ; le moyen mnémotechnique en donne l'ordre.

Aucun angle dans l'énoncé, seulement trois longueurs. Quel outil ?

Pythagore, et non la trigonométrie. — C'est le contre-signal à connaître : sans angle, aucun des trois rapports n'a d'emploi.

Quel rapport relie l'hypoténuse au côté opposé à l'angle en B ?

Le sinus — Le côté opposé à B est [AC], et l'hypoténuse est connue.

environ 9,6 cm — AC = 15 × sin(40°), et la calculatrice en mode degrés donne environ 9,64.

Quel rapport relie l'hypoténuse au côté adjacent à l'angle en B ?

Le cosinus — Le côté adjacent à B est [AB].

environ 11,5 cm — AB = 15 × cos(40°), soit environ 11,49.

Contrôle tes deux résultats par le théorème de Pythagore.

La somme des carrés donne 224,4, tout près de 15². — Elle ne tombe pas pile parce que les longueurs ont été arrondies ; c'est l'écart qui doit rester minime.

Le côté opposé mesure 4 et l'adjacent 3. Quel rapport, et quel angle ?

La tangente ; l'angle vaut environ 53°. — Le rapport vaut 4/3, et la touche inverse rend l'angle.

Quelle touche de la calculatrice emploie-t-on pour cela ?

La touche inverse, souvent en seconde fonction. — Elle rend un angle à partir d'un rapport ; elle ne se confond pas avec l'inverse d'un nombre.

L'opposé dépasse l'adjacent. Que peut-on dire de l'angle avant tout calcul ?

Qu'il dépasse 45°. — Le contrôle de bon sens se fait avant la calculatrice, et il attrape les erreurs de rapport.

Une échelle de 4 m a son pied à 1,2 m du mur. Quel angle fait-elle avec le sol ?

environ 73° — Hypoténuse et adjacent : c'est le cosinus, et 1,24 = 0,3.

« Ma calculatrice affiche sin(30°) = -0,988. »

Elle est en radians : en mode degrés, le sinus de 30° vaut 0,5. — Rien n'avertit : les résultats sortent, ils ont l'allure de longueurs, et ils sont tous faux.

« Avec un côté adjacent de 8 et un angle de 35°, l'hypoténuse vaut 8 × cos(35°) ≈ 6,55. »

Il fallait diviser : 8 ÷ cos(35°) ≈ 9,77. — L'hypoténuse est le plus grand côté : un résultat plus petit que le côté connu est faux d'avance.

« Ce triangle n'a pas d'angle droit, mais j'applique quand même le cosinus. »

Les trois rapports n'existent que dans un triangle rectangle. — Sans angle droit, les mots « adjacent » et « opposé » ne veulent rien dire.

Mathématiques · 3ème · Contrôle n°1

Trigonométrie dans le triangle rectangle

55 minutes noté sur 205 exercices

Un contrôle de mathématiques de 55 minutes sur la trigonométrie en troisième : nommer adjacent et opposé par rapport à l'angle choisi, choisir le rapport d'après les deux côtés en jeu, calculer une longueur puis un angle, et éviter les fautes qui coûtent le plus au brevet — la calculatrice en radians et la division prise pour une multiplication. Vingt points, barème détaillé, et une correction qui dit pourquoi à chaque question.

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Deux PDF à imprimer, sur papier A4. Gratuit, sans inscription.

Avant de commencer

L’hypoténuse ne change jamais : c’est le côté opposé à l’angle droit.
Adjacent et opposé ne sont pas attachés aux côtés, mais à l’angle choisi. Changer d’angle les échange.
Le rapport se choisit d’après les deux côtés en jeu : celui qu’on connaît et celui qu’on cherche.
Si l’hypoténuse n’intervient pas, c’est la tangente, et la question est réglée.
Un angle dans l’énoncé appelle la trigonométrie ; trois longueurs sans angle appellent Pythagore.
Le mode de la calculatrice se vérifie une fois, au début : cos(60°) doit afficher 0,5.

Exercice 1 — Adjacent, opposé, hypoténuse

4 pts · 10 min

Nommer les côtés d'un triangle rectangle par rapport à un angle

Réponds à chaque question.

1.Quel côté garde le même nom quel que soit l’angle aigu choisi ?
1 pt
Voir la correction
L’hypoténuse
Elle se définit par rapport à l’angle droit, qui ne bouge pas.
2.Où se trouve le côté adjacent à un angle ?
1 pt
Voir la correction
Il touche l’angle.
C’est l’un des deux côtés qui le forment, l’autre étant l’hypoténuse.
3.Et le côté opposé ?
1 pt
Voir la correction
Il fait face à l’angle.
Il ne le touche pas : c’est le seul côté qui n’entre pas dans l’angle.
4.Que se passe-t-il si l’on choisit l’autre angle aigu ?
1 pt
Voir la correction
Adjacent et opposé s’échangent.
C’est le point à comprendre avant toute formule : ces noms appartiennent à l’angle, pas aux côtés.

Exercice 2 — Choisir le bon rapport

4 pts · 11 min

Choisir le rapport trigonométrique adapté

Nomme le rapport à employer.

1.Les deux côtés en jeu sont les deux côtés de l’angle droit.
1 pt
Voir la correction
La tangente
L’hypoténuse n’intervient pas : c’est le seul rapport qui l’ignore.
2.L’hypoténuse et le côté qui touche l’angle.
1 pt
Voir la correction
Le cosinus
Adjacent sur hypoténuse — le premier des trois.
3.L’hypoténuse et le côté qui fait face à l’angle.
1 pt
Voir la correction
Le sinus
Opposé sur hypoténuse ; le moyen mnémotechnique en donne l’ordre.
4.Aucun angle dans l’énoncé, seulement trois longueurs. Quel outil ?
1 pt
Voir la correction
Pythagore, et non la trigonométrie.
C’est le contre-signal à connaître : sans angle, aucun des trois rapports n’a d’emploi.

Exercice 3 — Calculer une longueur

5 pts · 13 min

Calculer une longueur à partir d'un angle

$A B C$ est rectangle en $A$ . L’angle en $B$ mesure 40° et l’hypoténuse $B C$ mesure 15 cm. Arrondis chaque longueur au dixième.

1.Quel rapport relie l’hypoténuse au côté opposé à l’angle en $B$  ?
1 pt
Voir la correction
Le sinus
Le côté opposé à $B$ est $[A C]$ , et l’hypoténuse est connue.
2.Calcule $A C$ .
1 pt
Voir la correction
environ 9,6 cm
$A C = 15 \times sin (40°)$ , et la calculatrice en mode degrés donne environ 9,64.
3.Quel rapport relie l’hypoténuse au côté adjacent à l’angle en $B$  ?
1 pt
Voir la correction
Le cosinus
Le côté adjacent à $B$ est $[A B]$ .
4.Calcule $A B$ .
1 pt
Voir la correction
environ 11,5 cm
$A B = 15 \times cos (40°)$ , soit environ 11,49.
5.Contrôle tes deux résultats par le théorème de Pythagore.
1 pt
Voir la correction
La somme des carrés donne 224,4, tout près de $1 5^{2}$ .
Elle ne tombe pas pile parce que les longueurs ont été arrondies ; c’est l’écart qui doit rester minime.

Exercice 4 — Calculer un angle

4 pts · 12 min

Calculer un angle à partir de deux longueurs

Arrondis chaque angle au degré.

1.Le côté opposé mesure 4 et l’adjacent 3. Quel rapport, et quel angle ?
1 pt
Voir la correction
La tangente ; l’angle vaut environ 53°.
Le rapport vaut $\frac{4}{3}$ , et la touche inverse rend l’angle.
2.Quelle touche de la calculatrice emploie-t-on pour cela ?
1 pt
Voir la correction
La touche inverse, souvent en seconde fonction.
Elle rend un angle à partir d’un rapport ; elle ne se confond pas avec l’inverse d’un nombre.
3.L’opposé dépasse l’adjacent. Que peut-on dire de l’angle avant tout calcul ?
1 pt
Voir la correction
Qu’il dépasse 45°.
Le contrôle de bon sens se fait avant la calculatrice, et il attrape les erreurs de rapport.
4.Une échelle de 4 m a son pied à 1,2 m du mur. Quel angle fait-elle avec le sol ?
1 pt
Voir la correction
environ 73°
Hypoténuse et adjacent : c’est le cosinus, et $\frac{1 , 2}{4} = 0, 3$ .

Exercice 5 — Trouve l'erreur

3 pts · 9 min

Repérer une erreur de méthode et la corriger

Chaque affirmation est fausse. Écris la réponse juste.

1.« Ma calculatrice affiche $sin (30°) = - 0, 988$ . »
1 pt
Voir la correction
Elle est en radians : en mode degrés, le sinus de 30° vaut 0,5.
Rien n’avertit : les résultats sortent, ils ont l’allure de longueurs, et ils sont tous faux.
2.« Avec un côté adjacent de 8 et un angle de 35°, l’hypoténuse vaut $8 \times cos (35°) \approx 6, 55$ . »
1 pt
Voir la correction
Il fallait diviser : $8 \div cos (35°) \approx 9, 77$ .
L’hypoténuse est le plus grand côté : un résultat plus petit que le côté connu est faux d’avance.
3.« Ce triangle n’a pas d’angle droit, mais j’applique quand même le cosinus. »
1 pt
Voir la correction
Les trois rapports n’existent que dans un triangle rectangle.
Sans angle droit, les mots « adjacent » et « opposé » ne veulent rien dire.

Barème — ce que le correcteur regarde

Les lignes chiffrées couvrent les 5 exercices et totalisent 20 points.

Ex.1Les trois côtés nommés par rapport à l’angle

4 points — 1 par question

Point perdu si : Adjacent et opposé traités comme des noms fixes, indépendants de l’angle.

Ex.2Le rapport choisi d’après les deux côtés en jeu

4 points — 1 par question

Point perdu si : Le cosinus pris par habitude alors que l’énoncé donne le côté opposé.

Ex.3L’égalité posée dans le bon sens, puis isolée

5 points — 1 par question

Point perdu si : Une multiplication là où il fallait diviser : le résultat ressemble à une longueur.

Ex.4La touche inverse employée, et le résultat contrôlé

4 points — 1 par question

Point perdu si : L’inverse du cosinus confondu avec la touche qui rend un angle.

Ex.5L’erreur repérée, et la réponse juste donnée

3 points — 1 par ligne

Point perdu si : Le mode de la calculatrice laissé de côté alors que rien ne l’avertit.

Et maintenant ?

16 à 20: La trigonométrie est tenue. Entraîne-toi maintenant sur les problèmes d'angle d'élévation : le triangle rectangle utile n'a presque jamais le sol pour base, mais l'horizontale du regard.
10 à 15: Refais l'exercice 3 en te posant la question du sens : l'hypoténuse est le plus grand côté. Un résultat plus petit que le côté connu est faux avant d'être vérifié.
moins de 10: Reprends la fiche de cours et prends le réflexe de la première minute : taper cos(60°). Si l'écran n'affiche pas 0,5, tout le reste sera faux sans qu'un seul nombre le dénonce.

Refaire avec d'autres phrases

Mêmes notions, mêmes exigences, énoncés différents. À passer quelques jours plus tard, une fois celui-ci corrigé.

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