Trigonométrie dans le triangle rectangle

Analyser une figure

Sur la figure, $DEF$ est rectangle en $E$ et $H$ est le pied de la hauteur issue de $E$. On donne $DE=6$ cm et $\widehat{EDF}=37^{\circ }$. Réponds aux questions a à c sans calculer, puis traite d et e.

1. 1.Dans $DHE$, vu de $D$ : donne, dans cet ordre, l’hypoténuse, l’adjacent et l’opposé.

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   $[DE]$, $[DH]$, $[EH]$.

   $DHE$ est rectangle en $H$ : son hypoténuse est $[DE]$, face à cet angle droit ; $[DH]$ touche l’angle en $D$, $[EH]$ lui fait face.

2. 2.Même question dans $DEF$, toujours vu de $D$.

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   $[DF]$, $[DE]$, $[EF]$.

   $DEF$ est rectangle en $E$ : l’hypoténuse est maintenant $[DF]$. Le segment $[DE]$, hypoténuse de $DHE$, devient ici un côté de l’angle droit.

3. 3.Écris $\cos (\widehat{EDF})$ de deux façons différentes, une dans chaque triangle.

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   $\cos (\widehat{EDF})=\frac{DH}{DE}=\frac{DE}{DF}$

   L’angle en $D$ appartient aux deux triangles : dans $DHE$, adjacent $DH$ sur hypoténuse $DE$ ; dans $DEF$, adjacent $DE$ sur hypoténuse $DF$.

4. 4.Quel triangle et quel rapport permettent de calculer $DF$ ? Calcule $DF$ au dixième.

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   Dans $DEF$, le cosinus : $DF=6÷\cos (37^{\circ })\approx 7,5$ cm.

   $DE$ est l’adjacent connu, $DF$ l’hypoténuse cherchée, au dénominateur : on divise. Contrôle : $DF$ dépasse $DE$, comme toute hypoténuse.

5. 5.Calcule $EH$ au dixième.

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   Dans $DHE$ : $\sin (37^{\circ })=\frac{EH}{6}$, donc $EH=6\times \sin (37^{\circ })\approx 3,6$ cm.

   Dans $DHE$, $[DE]$ est l’hypoténuse connue et $[EH]$ l’opposé à l’angle en $D$ : c’est le sinus, et l’inconnue au numérateur se multiplie.

Calculer une longueur, puis un angle

$JKL$ est un triangle rectangle en $K$ tel que $JK=7$ cm et $JL=9$ cm. Aucune figure n’est fournie : fais un schéma à main levée et code l’angle droit.

1. 1.Calcule $KL$ : valeur exacte, puis arrondi au dixième.

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   $K{L}^2=J{L}^2-J{K}^2=81-49=32$, donc $KL=\sqrt{32}\approx 5,7$ cm.

   Aucun angle n’est donné et l’on cherche une longueur à partir de deux autres : c’est Pythagore, pas la trigonométrie. L’hypoténuse $[JL]$ est connue, on soustrait.

2. 2.Quel rapport de l’angle $\widehat{KJL}$ utilise uniquement les longueurs données par l’énoncé ? Écris-le.

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   Le cosinus : $\cos (\widehat{KJL})=\frac{JK}{JL}=\frac{7}{9}$.

   Vu de $J$, $[JK]$ est l’adjacent et $[JL]$ l’hypoténuse, deux longueurs exactes de l’énoncé ; le sinus ou la tangente demanderaient $KL$, connu seulement en valeur approchée.

3. 3.Calcule $\widehat{KJL}$ au dixième de degré.

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   $\widehat{KJL}={\cos }^{-1}\left(\frac{7}{9}\right)\approx 38,9^{\circ }$

   La touche ${\cos }^{-1}$ rend l’angle : environ 38,94°. Contrôle : l’adjacent (7 cm) dépasse l’opposé ($\approx 5,7$ cm), l’angle est bien inférieur à 45°.

4. 4.Tom calcule le même angle avec $\tan (\widehat{KJL})=\frac{5,7}{7}$. Quel résultat obtient-il au dixième de degré ? D’où vient l’écart ?

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   Environ 39,2° au lieu de 38,9° : Tom a utilisé l’arrondi 5,7 au lieu de $\sqrt{32}$.

   ${\tan }^{-1}\left(\frac{5,7}{7}\right)\approx 39,16^{\circ }$. Avec la valeur gardée en mémoire, $\sqrt{32}$, la tangente redonne 38,9° : seul l’arrondi précoce crée l’écart.

Modéliser une situation

Du haut d’une falaise, Maëlle observe un bateau $B$. Ses yeux, au point $O$, sont à 52 m au-dessus de la mer. Elle vise le bateau sous un angle de dépression de 14°. Le point $P$ est sur l’horizontale de ses yeux, à la verticale du bateau (document 1).

1. 1.Entre quelles directions l’angle de dépression est-il mesuré ? Nomme-le avec trois lettres.

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   Entre l’horizontale $[OP]$ et la visée $[OB]$ : c’est l’angle $\widehat{POB}$.

   L’angle de dépression part toujours de l’horizontale du regard, jamais de la falaise verticale ; son sommet est l’œil de l’observatrice.

2. 2.Dans $OPB$, rectangle en $P$, quel rapport lie $PB$ à $OP$ ? Justifie.

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   La tangente.

   Vu de $O$, $[PB]$ est l’opposé et $[OP]$ l’adjacent ; l’hypoténuse $[OB]$ n’est ni connue ni cherchée : c’est la tangente, le « TOA » du moyen mnémotechnique.

3. 3.Calcule la distance horizontale $OP$ entre Maëlle et le bateau, au mètre près.

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   $\tan (14^{\circ })=\frac{52}{OP}$, donc $OP=52÷\tan (14^{\circ })\approx 209$ m.

   $PB=52$ m, puisque $P$ est à la hauteur des yeux et $B$ au niveau de la mer. L’inconnue est au dénominateur : on divise ; $52÷\tan (14^{\circ })\approx 208,6$.

4. 4.Un camarade trouve $OP\approx 13$ m. Quelle erreur a-t-il faite, et comment pouvait-il la voir sans refaire le calcul ?

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   Il a multiplié au lieu de diviser ; sous 45°, $OP$ devait dépasser 52 m.

   Son calcul est $52\times \tan (14^{\circ })\approx 13$. Avec un angle de 14°, bien inférieur à 45°, l’opposé est plus court que l’adjacent : un $OP$ plus petit que 52 m contredit la figure avant tout calcul. Le produit et le quotient ressemblent tous deux à une distance.

5. 5.Le bateau s’approche jusqu’à 100 m à l’horizontale de Maëlle. Sous quel angle de dépression le voit-elle alors, au degré près ?

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   $\tan (\widehat{POB})=0,52$, d’où $\widehat{POB}\approx 27^{\circ }$.

   Opposé et adjacent connus : $\frac{52}{100}=0,52$, puis la touche ${\tan }^{-1}$, qui donne environ 27,5°, soit 27° au degré près. Plus proche, le bateau se voit sous un angle plus grand : c’est cohérent.

Modéliser une situation

Pour rendre accessible l’entrée d’une salle, surélevée de 0,48 m, le collège fait construire une rampe rectiligne (document 2). Le cahier des charges impose une pente d’au plus 5 %.

1. 1.Traduis « pente de 5 % » par une égalité sur $\tan (\alpha )$.

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   $\tan (\alpha )=\frac{5}{100}=0,05$ : 5 m de dénivelé pour 100 m à l’horizontale.

   Le dénivelé est l’opposé à l’angle α, la distance horizontale l’adjacent : leur quotient est la tangente, et le pourcentage n’est qu’une autre écriture de ce quotient.

2. 2.Quelle distance horizontale minimale faut-il prévoir ?

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   $0,48÷0,05=9,6$ : au moins 9,6 m.

   Avec la pente maximale, $\tan (\alpha )=\frac{0,48}{d}=0,05$ ; l’inconnue est au dénominateur, on divise. Une pente plus douce demanderait une distance encore plus longue.

3. 3.Calcule l’angle α de cette rampe avec l’horizontale, au dixième de degré.

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   $\alpha ={\tan }^{-1}(0,05)\approx 2,9^{\circ }$

   La touche ${\tan }^{-1}$ rend l’angle : environ 2,86°. Une pente de 5 % est donc un angle de moins de 3°, et non de 5°.

4. 4.Calcule la longueur de la rampe elle-même, au centimètre près.

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   $\sin (\alpha )=\frac{0,48}{\ell }$, donc $\ell =0,48÷\sin (\alpha )\approx 9,61$ m.

   La rampe est l’hypoténuse, face à l’angle droit ; avec α gardé en mémoire, $0,48÷\sin (\alpha )\approx 9,612$. Pythagore avec 9,6 m et 0,48 m donne le même résultat ; α arrondi à 2,9° donnerait 9,49 m.

5. 5.Pour gagner de la place, le directeur propose une rampe de 6 m de long. Respecte-t-elle le cahier des charges ? Justifie par un calcul.

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   $\sin (\alpha )=\frac{0,48}{6}=0,08$, d’où $\alpha \approx 4,6^{\circ }$ ; distance horizontale $6\times \cos (\alpha )\approx 5,98$ m ; pente $0,48÷5,98\approx 0,08$, soit environ 8 % : plus de 5 %, la rampe est refusée.

   Avec 6 m de rampe, la distance horizontale n’atteint pas les 9,6 m nécessaires : la pente dépasse forcément 5 %. On peut aussi comparer les angles : 4,6° contre 2,9°.

6. 6.Selon un élève, « 5 % de pente, c’est 5 % de 90°, soit 4,5° ». Pourquoi a-t-il tort ?

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   Une pente n’est pas une fraction de l’angle droit : c’est une tangente, et ${\tan }^{-1}(0,05)\approx 2,9^{\circ }$.

   Le pourcentage compare le dénivelé à la distance horizontale ; il ne se convertit pas en degrés par une proportion : 100 % de pente correspondent à 45°, pas à 90°.