Généralités sur les fonctions

Repérer une erreur et la corriger

La copie du document 1 contient quatre erreurs ; les autres lignes sont justes. Pour chacune, indique la ligne, explique ce qui est faux et écris ce qu’il fallait dire.

Réponse rédigée. Ce que le correcteur attend, critère par critère :

1. 1.Ligne 2 — le domaine de définition.

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   $x^2+4$ ne s’annule jamais : $x^2⩾0$, donc $x^2+4⩾4$. Aucune valeur n’est interdite : $D_f=\mathbb{R}$.

   L’élève a confondu avec $x^2-4$, qui s’annule bien en $2$ et en $-2$. On vérifie : $2^2+4$ vaut $8$, pas $0$.

2. 2.Ligne 4 — une conclusion tirée d’un seul exemple.

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   L’égalité $f(-1)=f(1)$ ne dit rien des autres nombres. Il faut montrer que, pour tout réel $x$, $f(-x)=\frac{3}{(-x{)}^2+4}=\frac{3}{x^2+4}=f(x)$ : $f$ est bien paire, mais pour cette raison.

   Un contre-exemple suffit à écarter la parité ; un exemple ne suffit jamais à l’établir : il faut l’égalité pour tout $x$ du domaine.

3. 3.Ligne 6 — une abscisse confondue avec une valeur de $f$.

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   La plus grande valeur de $f$ sur $[-3;3]$ est $f(0)=\frac{3}{4}$ ; le nombre $0$ indique seulement où elle se trouve.

   $0$ est l’abscisse du sommet, pas le maximum ; la phrase « le maximum vaut …, atteint en … » évite la confusion.

4. 4.Ligne 8 — un antécédent oublié.

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   $x^2=2$ a deux solutions : les antécédents de $\frac{1}{2}$ sont $\sqrt{2}$ et $-\sqrt{2}$.

   $(-\sqrt{2}{)}^2=2$ aussi. La parité de $f$ l’annonçait : $f(-\sqrt{2})=f(\sqrt{2})$.

Prouver ou réfuter une affirmation

Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse, puis justifie : une preuve si elle est vraie, un contre-exemple si elle est fausse.

1. 1.« Le cercle de centre $O$ et de rayon $2$ est le graphique d’une fonction. »

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   Faux : $(0;2)$ et $(0;-2)$ appartiennent tous deux au cercle ; l’abscisse $0$ correspondrait à deux ordonnées différentes.

   Une fonction associe à chaque nombre une seule image : son graphique ne passe jamais deux fois au-dessus d’un même point de l’axe horizontal.

2. 2.« Si $f(-x)=-f(x)$ pour tout réel $x$, alors $f(0)=0$. »

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   Vrai : avec $x=0$, l’égalité $f(-x)=-f(x)$ donne $f(0)=-f(0)$, donc $2f(0)=0$ et $f(0)=0$.

   $-0=0$ : on applique la définition au seul nombre qui est son propre opposé. La courbe d’une fonction impaire définie en $0$ passe donc par l’origine.

3. 3.« Si $f(1)<f(4)$, alors $f$ est croissante sur $[1;4]$. »

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   Faux. Contre-exemple : $f(x)=(x-2{)}^2$ vérifie $f(1)=1<f(4)=4$, mais $1<2$ et $f(1)>f(2)=0$.

   Être croissante, c’est conserver l’ordre pour tous les couples $a<b$ de l’intervalle, pas seulement pour ses extrémités : la courbe peut descendre puis remonter.

4. 4.« Sur $[-3;5]$, le maximum de $f$ vaut $4$ ; l’équation $f(x)=5$ n’a donc aucune solution sur cet intervalle. »

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   Vrai : pour tout $x$ de $[-3;5]$, $f(x)⩽4$, donc $f(x)\ne 5$.

   Aucune image ne dépasse le maximum : la droite d’ordonnée $5$ passe au-dessus de toute la courbe.

5. 5.« Si $f$ est croissante sur $[-2;0]$ et sur $[0;3]$, avec $f(-2)=1$, alors $f(x)=0$ n’a aucune solution sur $[-2;3]$. »

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   Vrai : pour $x$ dans $[-2;0]$, $f(x)⩾f(-2)=1$ ; pour $x$ dans $[0;3]$, $f(x)⩾f(0)⩾1$. La valeur $0$ n’est jamais atteinte.

   Une fonction qui ne fait que monter atteint sa plus petite valeur à la borne de gauche : ici $1$, qui est supérieur à $0$.

Modéliser une situation

Dans une feuille carrée de $12$ cm de côté, on découpe aux quatre coins un carré de côté $x$ cm, puis on relève les bords pour obtenir une boîte sans couvercle (document 2). Le document 3 représente le volume $V(x)$ de la boîte, en cm³. Réponds en rédigeant.

1. 1.Justifie que $V(x)=x(12-2x{)}^2$.

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   Le fond est un carré de côté $12-2x$, puisqu’on retire $x$ à chaque bout d’un côté ; son aire est $(12-2x{)}^2$. La hauteur vaut $x$, et le volume est l’aire du fond multipliée par la hauteur.

   Chaque côté de la feuille perd deux fois $x$, un carré à chaque coin : oublier ce facteur $2$ est l’erreur la plus fréquente.

2. 2.Quelles valeurs de $x$ ont un sens dans cette situation ? Déduis-en le domaine de $V$ pour le problème.

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   Il faut $x>0$ et $12-2x>0$, soit $x<6$ : le domaine est $]0;6[$.

   Le domaine est imposé par la situation et non par l’expression, qui se calcule pour tout réel : pour $x=0$ ou $x=6$, il n’y a plus de boîte.

3. 3.Calcule $V(1)$, $V(2)$ et $V(4)$.

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   $V(1)=100$, $V(2)=128$ et $V(4)=64$, en cm³.

   $V(1)=1\times 10^2$, $V(2)=2\times 8^2$, $V(4)=4\times 4^2$ : on calcule la parenthèse, puis le carré, puis le produit.

4. 4.D’après le document 3, dans quel sens varie $V$ entre $0$ et $2$, puis entre $2$ et $6$ ? Résume-le par un tableau.

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   $V$ augmente sur $[0;2]$, puis diminue sur $[2;6]$ : $0\nearrow 128\searrow 0$.

   La courbe monte de $x=0$ à $x=2$ puis descend jusqu’à $x=6$ ; on écrit $V(0)=0$, $V(2)=128$, calculé à la question c, et $V(6)=0$.

5. 5.Quelle conjecture peut-on faire sur le volume maximal ? Réponds par une phrase complète, avec les unités.

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   Le volume semble maximal pour $x=2$ cm ; ce volume maximal vaut alors $128$ cm³.

   Le maximum est une valeur de $V$, $128$ cm³ ; $2$ cm est la valeur de $x$ qui le donne. C’est une conjecture : le graphique ne le démontre pas.

6. 6.Pour quelles valeurs de $x$ le volume atteint-il au moins $100$ cm³ ? Lis la réponse sur le document 3.

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   Pour $x$ compris entre $1$ et environ $3,2$ : $S\approx [1;3,2]$.

   On garde les abscisses des points de la courbe situés sur la droite d’ordonnée $100$ ou au-dessus ; la borne $1$ est exacte, puisque $V(1)=100$, l’autre est une lecture approchée.

7. 7.Combien de valeurs de $x$ donnent une boîte de $64$ cm³ ? Justifie à partir des variations de $V$, puis donne ces valeurs.

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   Deux valeurs : l’une pendant la montée, entre $0$ et $2$, environ $0,5$ ; l’autre pendant la descente, $x=4$.

   $64$ est compris entre $0$ et $128$ sur $[0;2]$ comme sur $[2;6]$ : une solution sur chaque intervalle. On connaît l’une exactement, $V(4)=64$ ; l’autre se lit.

Démontrer et exploiter une parité

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\frac{4x}{x^2+1}$. La figure ne montre sa courbe que pour $x$ compris entre $0$ et $4$.

1. 1.Démontre que $f$ est impaire.

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   $x^2+1$ ne s’annule jamais : $D_f=\mathbb{R}$, symétrique par rapport à $0$. Pour tout réel $x$, $f(-x)=\frac{4\times (-x)}{(-x{)}^2+1}=-\frac{4x}{x^2+1}=-f(x)$.

   On remplace $x$ par $-x$ partout : le numérateur change de signe, le dénominateur non, car $(-x{)}^2=x^2$.

2. 2.Complète la courbe de $f$ sur $[-4;0]$.

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   On reporte, pour chaque point $(x;y)$ tracé, le point $(-x;-y)$ : $(1;2)$ donne $(-1;-2)$, et le tracé repasse par $O$.

   Une fonction impaire a une courbe symétrique par rapport à l’origine : chaque point $(x;y)$ a pour symétrique le point $(-x;-y)$.

3. 3.On admet que, sur $[0;4]$, $f$ prend des valeurs comprises entre $0$ et $2$, et que $2$ est son maximum, atteint en $x=1$. Déduis-en, sans calcul, le minimum de $f$ sur $[-4;4]$.

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   $-2$, obtenu pour $x=-1$.

   Par imparité, les valeurs prises sur $[-4;0]$ sont les opposées de celles prises sur $[0;4]$ : elles vont de $-2$ à $0$. La plus petite est $f(-1)=-f(1)=-2$.

4. 4.Sur l’intervalle $[-2;3]$, peut-on avoir $h(-x)=h(x)$ pour tout $x$ ? Justifie.

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   Non : $3$ est dans l’intervalle, mais pas $-3$ ; l’égalité $h(-3)=h(3)$ n’a pas de sens, et $h$ ne peut pas être paire.

   La parité exige que $f(-x)$ existe pour tout $x$ du domaine : le domaine doit être symétrique par rapport à $0$.