Généralités sur les fonctions

Définir une fonction et son domaine

Réponds à chaque question.

1. 1.Qu’est-ce qu’une fonction $f$ ?

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   Elle associe à un nombre $x$ un unique nombre noté $f(x)$.

   C’est le mot « unique » qui la distingue d’une correspondance quelconque.

2. 2.Pourquoi dit-on « l’image » mais « un antécédent » ?

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   Parce qu’un nombre n’a jamais deux images, mais peut avoir plusieurs antécédents.

   Pour $f(x)=x^2$, le nombre 9 a deux antécédents, 3 et $-3$.

3. 3.Qu’est-ce que le domaine de définition ?

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   L’ensemble des nombres qui ont une image.

   On le note $D_f$, et on le détermine avant tout calcul d’image.

4. 4.Cite les deux interdits qui le déterminent presque toujours.

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   On ne divise pas par zéro, et on ne prend pas la racine carrée d’un nombre négatif.

   Ce sont les deux cas à examiner avant toute autre chose.

5. 5.Sur quels ensembles $\frac{1}{x}$ et $\sqrt{x}$ sont-elles définies ?

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   $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ pour la première, $[0;+\infty [$ pour la seconde.

   Chacune illustre l’un des deux interdits.

Lire images et antécédents sur une courbe

Réponds à chaque question.

1. 1.Comment lit-on l’image de $x$ sur une courbe ?

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   On part de $x$ sur l’axe horizontal, on monte jusqu’à la courbe, on lit à gauche sur l’axe vertical.

   La lecture va de l’axe des abscisses vers l’axe des ordonnées.

2. 2.Comment lit-on les antécédents d’une valeur ?

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   On part de la valeur sur l’axe vertical, on avance horizontalement, et on lit sous chaque point de rencontre.

   Il peut y en avoir plusieurs, un seul, ou aucun.

3. 3.Pourquoi faut-il tracer la droite horizontale en entier ?

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   Parce que la courbe peut repasser à la même hauteur ailleurs.

   Oublier un antécédent coûte autant qu’une erreur.

4. 4.Pourquoi un graphique de fonction ne repasse-t-il jamais deux fois au-dessus du même point de l’axe horizontal ?

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   Parce qu’un nombre n’a qu’une seule image.

   C’est la définition même, lue sur le dessin.

Décrire variations et extremums

Réponds à chaque question.

1. 1.Que signifie « $f$ est croissante sur $I$ » ?

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   Lorsque $a<b$, on a $f(a)⩽f(b)$ : l’ordre des nombres est conservé.

   Graphiquement, la courbe monte quand on la parcourt de gauche à droite.

2. 2.Dans quel sens une courbe se lit-elle toujours ?

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   Dans le sens des $x$ croissants, donc de gauche à droite.

   Lue à l’envers, une fonction croissante paraît décroissante.

3. 3.Une fonction atteint 4 en $x=1$. Quel est son maximum, et où est-il atteint ?

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   Le maximum vaut 4, atteint en $x=1$.

   Le maximum est une valeur de la fonction, pas la valeur de $x$.

4. 4.Que contient un tableau de variations ?

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   Les valeurs de $x$ sur la première ligne, des flèches sur la seconde, et les extremums aux sommets et aux creux.

   Il résume les variations et permet de compter des solutions.

Établir la parité d'une fonction

Réponds à chaque question.

1. 1.Quelle égalité caractérise une fonction paire, et quelle symétrie en découle ?

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   $f(-x)=f(x)$ ; sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

   L’égalité doit valoir pour tout $x$ du domaine.

2. 2.Quelle égalité caractérise une fonction impaire, et quelle symétrie en découle ?

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   $f(-x)=-f(x)$ ; sa courbe est symétrique par rapport à l’origine.

   C’est l’autre des deux cas, et il n’y en a pas de troisième.

3. 3.La fonction $f(x)=x^2-3$ est-elle paire ? Justifie par le calcul.

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   Oui : $f(-x)=(-x{)}^2-3=x^2-3=f(x)$.

   Le terme constant ne gêne pas : il ne contient pas $x$.

4. 4.Toute fonction est-elle paire ou impaire ?

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   Non : la plupart ne sont ni l’une ni l’autre.

   Ce sont deux propriétés particulières, pas une alternative obligatoire.

Repérer une erreur et la corriger

Chaque affirmation est fausse. Écris ce qu’il fallait dire.

1. 1.« La fonction $f(x)=\frac{1}{x-3}$ est définie sur $\mathbb{R}$. »

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   Elle n’est pas définie en 3.

   Le dénominateur s’y annule, et on ne divise pas par zéro.

2. 2.« $f(2)=3$, donc l’antécédent de 3 est 2, et c’est fini. »

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   Il faut chercher tous les points où la courbe atteint la hauteur 3.

   La réponse peut être juste et incomplète : d’autres antécédents peuvent exister.

3. 3.« La courbe a l’air symétrique : la fonction est donc paire. »

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   Il faut calculer $f(-x)$ et le comparer à $f(x)$.

   Le dessin permet de deviner quel test tenter, jamais de conclure.