Généralités sur les fonctions

Calculer images et antécédents

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-3x+4$ et $g(x)=x^2-5$. Réponds en posant le calcul ou l’équation.

1. 1.Calcule l’image de $-2$ par $f$.

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   $f(-2)=10$

   $f(-2)=-3\times (-2)+4=6+4=10$ : le produit de deux nombres négatifs est positif.

2. 2.Détermine l’antécédent de $-11$ par $f$.

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   $5$

   On résout $-3x+4=-11$ : $-3x=-15$, donc $x=5$. Contrôle : $f(5)=-15+4=-11$.

3. 3.Détermine les antécédents de $4$ par $g$.

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   $-3$ et $3$

   On résout $x^2-5=4$, soit $x^2=9$ : deux solutions, $3$ et $-3$, car $(-3{)}^2=9$ aussi.

4. 4.Le nombre $-6$ a-t-il des antécédents par $g$ ? Justifie.

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   Non : $x^2-5=-6$ donne $x^2=-1$, ce qui est impossible.

   Un carré est toujours positif ou nul : aucun réel n’a pour carré $-1$. D’ailleurs $g(x)⩾-5$ pour tout réel $x$.

Déterminer un domaine de définition

Détermine le domaine de définition de chaque fonction : écris la ou les conditions à respecter, puis donne le domaine sous forme d’intervalle ou d’ensemble.

1. 1.$u(x)=\sqrt{6-2x}$

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   $D_u=]-\infty ;3]$

   La racine exige $6-2x⩾0$, c’est-à-dire $6⩾2x$, soit $x⩽3$ ; la borne $3$ est incluse car $\sqrt{0}=0$.

2. 2.$v(x)=\frac{5}{x^2-9}$

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   $D_v=\mathbb{R}\setminus \{-3;3\}$

   Le dénominateur s’annule quand $x^2=9$, soit pour $x=3$ et pour $x=-3$ : deux valeurs à exclure, pas une seule.

3. 3.$w(x)=\sqrt{x-2}+\frac{1}{x}$

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   $D_w=[2;+\infty [$

   Deux conditions : $x-2⩾0$, soit $x⩾2$, et $x\ne 0$. Tout nombre supérieur ou égal à $2$ est déjà non nul : la seconde condition n’exclut rien de plus.

Résoudre graphiquement

Le document 1 représente la fonction $f$ définie sur $[-1;3]$ par $f(x)=x^3-3x^2+2$. Réponds aux questions ; une lecture graphique qui ne tombe pas sur le quadrillage se donne comme une valeur approchée.

1. 1.Calcule $f(1)$ et $f(3)$ à partir de l’expression, puis vérifie que les points obtenus sont sur la courbe.

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   $f(1)=0$ et $f(3)=2$ : les points $(1;0)$ et $(3;2)$ sont sur la courbe.

   $f(1)=1-3+2=0$ et $f(3)=27-27+2=2$. Le calcul donne des valeurs exactes ; le graphique les confirme.

2. 2.Résous graphiquement l’équation $f(x)=2$.

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   Deux solutions : $x=0$ et $x=3$.

   La droite d’ordonnée $2$ touche la courbe en son sommet, au-dessus de $0$, et à son extrémité droite, au-dessus de $3$. Le calcul le confirme : $f(0)=2$.

3. 3.Combien l’équation $f(x)=1$ a-t-elle de solutions sur $[-1;3]$ ? Encadre chacune entre deux entiers consécutifs.

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   Trois solutions : une entre $-1$ et $0$, une entre $0$ et $1$, une entre $2$ et $3$.

   La droite d’ordonnée $1$ coupe la courbe pendant la première montée, pendant la descente et pendant la dernière montée. Valeurs approchées : environ $-0,5$ ; $0,7$ ; $2,9$.

4. 4.Dresse le bilan des variations de $f$ sur $[-1;3]$, présenté comme dans le cours.

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   $x$ : $-1$ ; $0$ ; $2$ ; $3$. $f$ croît de $-2$ à $2$, décroît jusqu’à $-2$, puis croît jusqu’à $2$.

   Le sens de variation change en $0$ et en $2$ ; on écrit aux extrémités des flèches $f(-1)=-2$, $f(0)=2$, $f(2)=-2$ et $f(3)=2$.

5. 5.Résous graphiquement l’inéquation $f(x)⩾0$. Donne l’ensemble des solutions comme une réunion d’intervalles.

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   $S\approx [-0,7;1]\cup [2,7;3]$

   On garde les abscisses des points de la courbe situés sur l’axe des abscisses ou au-dessus. La courbe coupe l’axe exactement en $1$, et vers $-0,7$ et $2,7$ : ces deux bornes sont des lectures approchées.

Exploiter un tableau de variations

Le document 2 est le tableau de variations d’une fonction $g$ définie sur $[-4;6]$. Réponds en justifiant par les variations de $g$.

1. 1.Compare $g(-3)$ et $g(-2)$.

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   $g(-3)⩽g(-2)$

   $-3$ et $-2$ sont dans $[-4;-1]$, où $g$ est croissante : l’ordre est conservé, et $-3<-2$ donne $g(-3)⩽g(-2)$.

2. 2.Compare $g(0)$ et $g(2)$.

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   $g(0)⩾g(2)$

   $0$ et $2$ sont dans $[-1;3]$, où $g$ est décroissante : l’ordre est inversé, et $0<2$ donne $g(0)⩾g(2)$.

3. 3.Combien l’équation $g(x)=2$ a-t-elle de solutions sur $[-4;6]$ ?

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   Trois solutions.

   $2$ est compris entre $1$ et $5$ (montée sur $[-4;-1]$), entre $5$ et $-2$ (descente sur $[-1;3]$), entre $-2$ et $3$ (montée sur $[3;6]$) : une solution sur chaque intervalle.

4. 4.Quelle est la plus grande valeur prise par $g$ sur $[-4;6]$, et pour quel $x$ ? Même question pour la plus petite.

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   $5$, atteinte pour $x=-1$ ; $-2$, atteinte pour $x=3$.

   On compare les valeurs écrites dans le tableau : $1$, $5$, $-2$ et $3$. La plus grande est $5$, la plus petite $-2$ ; les abscisses $-1$ et $3$ disent où elles sont atteintes.

Étudier la parité

Chaque fonction est définie sur $\mathbb{R}$. Étudie sa parité : calcule l’image de $-x$ et compare-la à l’image de $x$ et à son opposé, ou donne un contre-exemple.

1. 1.$p(x)=2x^3+x$

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   $p$ est impaire.

   $p(-x)=2(-x{)}^3+(-x)=-2x^3-x=-(2x^3+x)=-p(x)$ pour tout réel $x$.

2. 2.$q(x)=x^4-3x^2$

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   $q$ est paire.

   $(-x{)}^4=x^4$ et $(-x{)}^2=x^2$ : $q(-x)=x^4-3x^2=q(x)$ pour tout réel $x$.

3. 3.$h(x)=(x+1{)}^2$

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   $h$ n’est ni paire ni impaire.

   Contre-exemple : $h(1)=4$ et $h(-1)=0$. Comme $0\ne 4$, $h$ n’est pas paire ; comme $0\ne -4$, elle n’est pas impaire.