Généralités sur les fonctions

Reconnaître les notions du chapitre

Pour chaque question, coche la seule réponse juste. Les questions a et b portent sur le document 1.

1. 1.Dans le document 1, quel tracé ne correspond à aucune fonction ?

   0.5 pt
   • la courbe A
   • la courbe B
   • la courbe C
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   la courbe B

   Sur la courbe B, il y a deux points au-dessus de $x=1$, d’ordonnées environ $1,4$ et $-1,4$ : le nombre 1 aurait deux images, ce qu’une fonction interdit.

2. 2.La courbe C coupe l’axe des abscisses en trois points. Cela signifie que le nombre $0$ a…

   0.5 pt
   • trois images
   • trois antécédents
   • aucune image
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   trois antécédents

   Les points de l’axe des abscisses ont une ordonnée nulle : leurs trois abscisses ont toutes pour image $0$. Un nombre peut avoir plusieurs antécédents, jamais plusieurs images.

3. 3.Par la fonction $x⟼x^2$, le nombre $-4$ a…

   0.5 pt
   • aucun antécédent
   • un seul antécédent : $-2$
   • deux antécédents : $2$ et $-2$
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   aucun antécédent

   Un carré n’est jamais négatif : aucun nombre $x$ ne vérifie $x^2=-4$. Attention : $(-2{)}^2$ vaut $4$, et non $-4$.

4. 4.La fonction $x⟼\frac{1}{x+2}$ n’a pas d’image pour…

   0.5 pt
   • $x=2$
   • $x=-2$
   • $x=0$
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   $x=-2$

   Pour $x=-2$, le dénominateur vaut $-2+2=0$, et on ne divise pas par zéro. En $0$, l’image existe : elle vaut $\frac{1}{2}$.

5. 5.Le nombre $-9$ a-t-il une image par la fonction $x⟼\sqrt{x}$ ?

   0.5 pt
   • oui, c’est $-3$
   • oui, c’est $3$
   • non
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   non

   On ne prend pas la racine carrée d’un nombre négatif : $-9$ n’est pas dans le domaine $[0;+\infty [$. Ni $3$ ni $-3$ n’ont un carré égal à $-9$.

6. 6.Sur un intervalle où $f$ est décroissante, si $a<b$, alors…

   0.5 pt
   • $f(a)⩽f(b)$
   • $f(a)⩾f(b)$
   • $f(a)=f(b)$
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   $f(a)⩾f(b)$

   Une fonction décroissante inverse l’ordre : le plus petit des deux nombres a la plus grande image.

7. 7.Le graphique de $f$ ne change pas quand on le replie le long de l’axe vertical. La fonction $f$ est…

   0.5 pt
   • paire
   • impaire
   • croissante
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   paire

   Symétrie par rapport à l’axe des ordonnées : $f(-x)=f(x)$, c’est une fonction paire. L’impaire correspond à une symétrie par rapport à l’origine.

8. 8.Dans un tableau de variations, une flèche monte de $-1$, écrit sous $x=0$, jusqu’à $6$, écrit sous $x=3$. Le nombre $6$ est…

   0.5 pt
   • l’image de $3$ par $f$
   • un antécédent de $3$
   • l’abscisse d’un maximum
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   l’image de $3$ par $f$

   Dans un tableau de variations, la ligne de $f$ porte des valeurs de la fonction : sous $x=3$, on lit $f(3)=6$.

Reconnaître un domaine de définition

Relie chaque fonction à son domaine de définition, puis recopie la lettre dans la case. Un domaine ne sert pas.

• A$\mathbb{R}$
• B$[-3;+\infty [$
• C$\mathbb{R}\setminus \{4\}$
• D$]-\infty ;5]$
• E$[0;+\infty [$
• F$\mathbb{R}\setminus \{-1\}$
• G$[3;+\infty [$

1. 1.$x⟼\frac{2}{x-4}$

   0.5 pt
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   C

   Le dénominateur $x-4$ s’annule pour $x=4$ : seul ce nombre est exclu.

2. 2.$x⟼\sqrt{x+3}$

   0.5 pt
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   B

   Il faut $x+3⩾0$, soit $x⩾-3$ ; la borne $-3$ est incluse, car $\sqrt{0}=0$.

3. 3.$x⟼x^2-7x$

   0.5 pt
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   A

   Ni quotient ni racine : on peut calculer l’image de n’importe quel nombre réel.

4. 4.$x⟼\sqrt{5-x}$

   0.5 pt
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   D

   Il faut $5-x⩾0$, soit $x⩽5$ : l’intervalle part de $-\infty$ et s’arrête à $5$ inclus.

5. 5.$x⟼\frac{1}{x+1}$

   0.5 pt
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   F

   Le dénominateur $x+1$ s’annule pour $x=-1$, qu’on exclut ; tous les autres réels ont une image.

6. 6.$x⟼\sqrt{x}-3$

   0.5 pt
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   E

   La racine porte sur $x$ seul : il faut $x⩾0$. Le $-3$ est hors de la racine ; le domaine G est le piège.

Employer le vocabulaire du chapitre

Complète le texte avec les mots de la banque. Quatre mots ne servent pas.

1. 1.On sait que $f(5)=2$. Le nombre $2$ est donc l’ de $5$ par $f$,

   0.5 pt
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   image

   Dans $f(5)=2$, le nombre de départ est $5$ ; celui qu’on obtient, $2$, est son image.

2. 2.et le nombre $5$ est un de $2$.

   0.5 pt
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   antécédent

   On dit « un » antécédent : $2$ peut en avoir d’autres, alors que $5$ n’a qu’une image.

3. 3.Sur $[0;4]$, lorsque $x$ augmente, $f(x)$ augmente aussi : $f$ est sur cet intervalle.

   0.5 pt
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   croissante

   Quand $x$ et $f(x)$ varient dans le même sens, l’ordre est conservé : la fonction est croissante.

4. 4.Sur $[-2;6]$, aucune valeur de $f$ ne dépasse $7$, et $f(0)=7$ : on dit que $7$ est le de $f$ sur cet intervalle.

   0.5 pt
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   maximum

   Le maximum est la plus grande valeur de $f$, ici $7$ ; le nombre $0$ dit seulement où elle est atteinte.

5. 5.Pour tout $x$ du domaine, $g(-x)=-g(x)$ : la fonction $g$ est .

   0.5 pt
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   impaire

   L’égalité $g(-x)=-g(x)$ définit une fonction impaire ; sa courbe est symétrique par rapport à l’origine.

6. 6.Pour lire tous les antécédents de $3$ sur une courbe, on trace en entier la droite d’ordonnée $3$.

   0.5 pt
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   horizontale

   Les points d’ordonnée $3$ sont sur une droite horizontale ; tracée d’un bord à l’autre, elle montre tous les antécédents.

Lire un graphique

La courbe du document 2 représente une fonction $f$ définie sur $[-1;5]$. Réponds aux questions par lecture graphique.

1. 1.Lis l’image de $0$ par $f$.

   0.5 pt
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   $f(0)=1$

   On part de $0$ sur l’axe des abscisses et on monte jusqu’à la courbe : le point rencontré a pour ordonnée $1$.

2. 2.Lis $f(3)$.

   0.5 pt
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   $f(3)=-2$

   Au-dessus de $3$, la courbe passe par le point de coordonnées $(3;-2)$ : on lit son ordonnée sur l’axe vertical.

3. 3.Lis tous les antécédents de $1$ par $f$.

   1 pt
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   $0$ et $4$

   La droite horizontale d’ordonnée $1$ coupe la courbe en deux points, d’abscisses $0$ et $4$. Ne donner que $0$, lu à la question a, serait incomplet.

4. 4.Combien le nombre $-3$ a-t-il d’antécédents ? Et le nombre $-4$ ?

   1 pt
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   $-3$ a un seul antécédent, $2$ ; $-4$ n’en a aucun.

   La droite d’ordonnée $-3$ touche la courbe en un seul point, le plus bas ; celle d’ordonnée $-4$ passe sous la courbe sans la rencontrer.

5. 5.Sur quel intervalle $f$ est-elle décroissante ? Sur quel intervalle est-elle croissante ?

   1 pt
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   Décroissante sur $[-1;2]$, croissante sur $[2;5]$.

   En parcourant la courbe de gauche à droite, elle descend de $x=-1$ à $x=2$, puis remonte jusqu’à $x=5$.

6. 6.Complète la phrase : « Sur $[-1;5]$, le minimum de $f$ vaut … ; il est atteint en $x=$ … »

   1 pt
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   $-3$, pour $x=2$.

   Le minimum est une valeur de $f$, lue sur l’axe vertical : $-3$. Le nombre $2$ est l’endroit où elle est atteinte, pas le minimum.

7. 7.Complète la figure placée sous le document 2 : abscisse manquante, nombres de la ligne de $f$ et flèches.

   1 pt
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   $x$ : $-1$ ; $2$ ; $5$ et $f$ : $6\searrow -3\nearrow 6$

   L’abscisse manquante est celle où le sens de variation change ; aux bornes, on lit $f(-1)=6$ et $f(5)=6$.

Calculer des images

On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=x^2-2x$. Complète le tableau de valeurs, puis réponds aux questions.

1. 1.Calcule $g(-2)$ et $g(-1)$ ; reporte-les dans le tableau.

   1 pt
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   $g(-2)=8$ et $g(-1)=3$

   $g(-2)=(-2{)}^2-2\times (-2)=4+4=8$ et $g(-1)=(-1{)}^2-2\times (-1)=1+2=3$.

2. 2.Calcule $g(1)$ et $g(3)$ ; reporte-les dans le tableau.

   1 pt
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   $g(1)=-1$ et $g(3)=3$

   $g(1)=1^2-2\times 1=-1$ et $g(3)=3^2-2\times 3=9-6=3$.

3. 3.On sait que $p(-x)=p(x)$ pour tout réel $x$, et que $p(4)=-7$. Calcule $p(-4)$.

   0.5 pt
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   $p(-4)=-7$

   L’égalité $p(-x)=p(x)$ dit que $p$ est paire : un nombre et son opposé ont la même image.

4. 4.On sait que $q(-x)=-q(x)$ pour tout réel $x$, et que $q(2)=5$. Calcule $q(-2)$.

   0.5 pt
   Voir la correction

   $q(-2)=-5$

   L’égalité $q(-x)=-q(x)$ dit que $q$ est impaire : l’image de l’opposé est l’opposé de l’image.

5. 5.D’après le tableau, compare $g(-1)$ à $g(1)$, puis à $-g(1)$. Qu’en conclure pour $g$ ?

   1 pt
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   Ni l’une ni l’autre : $g(-1)=3$ et $g(1)=-1$, or $3\ne -1$ et $3\ne 1$.

   Comme $g(-1)\ne g(1)$, $g$ n’est pas paire ; comme $g(-1)\ne -g(1)$, elle n’est pas impaire. Un seul couple de valeurs suffit à l’établir.