Théorème de Thalès et sa réciproque

Repérer et corriger une erreur

La copie du document 1 (figure de la question 1 : document 2) contient quatre erreurs de raisonnement. Pour chacune, indique les lignes, explique l’erreur et écris la réponse juste, calcul compris.

Réponse rédigée. Ce que le correcteur attend, critère par critère :

1. 1.Ligne 1 — un parallélisme lu sur le dessin, et le théorème employé à la place de la réciproque.

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   On ne peut pas partir du parallélisme ; on compare : $4\times 12=48$ et $10\times 5=50$, donc $(EF)$ et $(GH)$ ne sont pas parallèles.

   Le théorème suppose le parallélisme : il ne peut pas servir à le prouver. La réciproque, menée sans arrondi, conclut l’inverse de ce que le dessin suggère. 0,5 point pour l’erreur repérée, 0,5 pour la correction calculée.

2. 2.Lignes 2 et 3 — des points qui ne sont pas dans le même ordre.

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   L’ordre est $A$, $M$, $B$ d’un côté et $N$, $A$, $C$ de l’autre : la réciproque ne s’applique pas, et $(MN)$ n’est pas parallèle à $(BC)$.

   Les calculs sont justes, mais l’égalité des rapports ne suffit pas : $M$ est du côté de $B$, $N$ de l’autre côté de $A$. La seconde condition de la réciproque manque.

3. 3.Ligne 4 — deux arrondis égaux pris pour deux rapports égaux.

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   Produits en croix : $5\times 17=85$ et $7\times 12=84$ ; les rapports diffèrent, $(KL)$ n’est pas parallèle à $(PQ)$.

   $\frac{5}{7}\approx 0,714$ et $\frac{12}{17}\approx 0,706$ : l’arrondi au centième efface la différence. Un rapport non décimal se compare par les produits en croix, jamais par des arrondis.

4. 4.Lignes 5 et 6 — le résultat annoncé pour l’affiche agrandie.

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   Il faut le carré, $1,5^2=2,25$ : $2400\times 2,25=5400$ cm².

   L’élève a multiplié l’aire par le coefficient lui-même. Une aire a deux dimensions, chacune multipliée par 1,5. Contrôle : l’affiche agrandie mesure 60 cm sur 90 cm, et $60\times 90=5400$.

Argumenter et justifier

Pour chaque affirmation, réponds par vrai ou faux, puis justifie : par une démonstration si elle est vraie, par un contre-exemple ou un argument si elle est fausse.

1. 1.« Le théorème de Thalès permet de calculer la mesure d’un angle. »

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   Faux. Il ne relie que des longueurs, par des rapports ; un angle se calcule par la trigonométrie.

   Thalès ne calcule jamais avec un angle : c’est le contre-signal du chapitre. Un angle donné en degrés et une longueur demandée appellent le cosinus, le sinus ou la tangente.

2. 2.« Quand $\frac{AM}{AB}\ne \frac{AN}{AC}$, il est impossible que $(MN)$ et $(BC)$ soient parallèles. »

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   Vrai. Si elles étaient parallèles, le théorème de Thalès imposerait $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$ ; ce n’est pas le cas.

   C’est ce raisonnement qui autorise à conclure « pas parallèles » quand la comparaison échoue : on ne passe pas par la réciproque, mais par le théorème lui-même.

3. 3.« Dans une configuration papillon, chaque rapport s’écrit avec un segment qui contient l’autre. »

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   Faux. Dans un papillon, $[AB]$ ne contient pas $[AM]$ : $M$ et $B$ sont de part et d’autre de $A$. Le rapport $\frac{AM}{AB}$ s’écrit pourtant de la même façon.

   Ce qui compte, c’est la correspondance des sommets : $A$ avec $A$, $M$ avec $B$, $N$ avec $C$. Dans la configuration triangle, le grand segment contient le petit ; dans le papillon, non.

4. 4.« Si l’on double toutes les longueurs d’une figure, son aire double aussi. »

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   Faux. Contre-exemple : un carré de 1 cm de côté a une aire de 1 cm² ; avec 2 cm de côté, son aire vaut 4 cm².

   L’aire est multipliée par le carré du coefficient : $2^2=4$. Un seul contre-exemple suffit à réfuter une affirmation générale.

5. 5.« Dans un triangle $ABC$, si $M$ est sur $[AB]$ avec $AM=\frac{1}{3}AB$ et $N$ sur $[AC]$ avec $AN=\frac{1}{3}AC$, alors $MN=\frac{1}{3}BC$. »

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   Vrai. $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{1}{3}$, points alignés dans le même ordre : $(MN)$ est parallèle à $(BC)$ par la réciproque ; puis $\frac{MN}{BC}=\frac{1}{3}$ par le théorème.

   Deux étapes enchaînées : la réciproque établit le parallélisme, le théorème donne alors le troisième rapport. Sans la première, la seconde n’a pas le droit de s’appliquer.

Résoudre un problème à étapes

Une commune partage un terrain triangulaire $ABC$ en deux parcelles par une clôture $[MN]$ (document 3). On donne $AB=52$ m, $AC=60$ m, $BC=56$ m, $AM=39$ m et $AN=45$ m ; $M$ est sur $[AB]$ et $N$ sur $[AC]$. L’aire du terrain $ABC$ est de 1 344 m². Rédige chaque réponse : propriété utilisée, calcul, conclusion.

1. 1.La clôture $[MN]$ suit-elle la direction du côté $[BC]$ ? Démontre-le.

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   Oui : $\frac{39}{52}=\frac{45}{60}=0,75$.

   Les rapports, décimaux, se comparent directement, et les points sont alignés dans le même ordre : d’après la réciproque du théorème de Thalès, $(MN)$ est parallèle à $(BC)$. $M$ est sur $[AB]$ et $N$ sur $[AC]$ : l’ordre est $A$, $M$, $B$ et $A$, $N$, $C$. Sans cette étape, rien n’autorise la suite.

2. 2.Quelle longueur de clôture faut-il ?

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   $MN=56\times 0,75=42$ m

   D’après la question a, $(MN)$ est parallèle à $(BC)$ : le théorème de Thalès donne $\frac{MN}{BC}=\frac{AM}{AB}=0,75$.

3. 3.Quelle est la surface de la parcelle 1 ?

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   $1344\times 0,75^2=1344\times 0,5625=756$ m²

   $AMN$ est une réduction de $ABC$ de coefficient 0,75 : son aire est multipliée par le carré du coefficient.

4. 4.Déduis-en l’aire de la parcelle 2.

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   $1344-756=588$ m²

   La parcelle 2 est le reste du terrain une fois la parcelle 1 retirée : une différence, et non un nouveau coefficient.

5. 5.Pour obtenir deux parcelles de même aire, Léa propose de placer $M$ et $N$ aux milieux de $[AB]$ et $[AC]$. A-t-elle raison ?

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   Non : le coefficient serait 0,5, et l’aire de $AMN$ vaudrait $1344\times 0,25=336$ m², le quart du terrain et non la moitié.

   Diviser les longueurs par 2 divise l’aire par $2^2=4$. Pour partager l’aire en deux, il faudrait un coefficient plus grand que 0,5.

6. 6.Deux allées $[MC]$ et $[NB]$ se croisent en $O$. Démontre que $\frac{OM}{OC}=\frac{3}{4}$, puis indique quelle fraction de l’allée $[MC]$ sépare $M$ de $O$.

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   $\frac{OM}{OC}=\frac{MN}{BC}=\frac{42}{56}=\frac{3}{4}$, donc $OM=\frac{3}{7}MC$.

   $(MC)$ et $(NB)$ sont sécantes en $O$, et $(MN)$ est parallèle à $(BC)$ d’après la question a : c’est un papillon de sommet $O$, situé entre les deux parallèles. Sur $[MC]$, $OM$ compte 3 parts quand $OC$ en compte 4 : 7 parts en tout.

Transférer à une situation nouvelle

Un artisan fabrique trois bougies de même forme : chacune est un agrandissement de la petite. La grande contient 8 fois plus de cire que la petite.

1. 1.Quel est le coefficient d’agrandissement de la petite à la grande bougie ?

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   2, car $2^3=8$.

   Le volume de cire est multiplié par $k^3$ : on cherche le nombre dont le cube vaut 8. Ce n’est pas 8, qui est le rapport des volumes.

2. 2.Par combien est multipliée la surface de papier qui entoure la grande bougie ?

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   Par $2^2=4$.

   Une surface suit le carré du coefficient : deux dimensions, chacune doublée. Elle n’est multipliée ni par 2 ni par 8.

3. 3.La petite bougie coûte 6 € et la grande 30 €. Laquelle est la plus avantageuse pour la quantité de cire ? Justifie.

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   La grande : 8 petites contiennent autant de cire et coûtent $8\times 6=48$ €, plus que 30 €.

   On compare à quantité de cire égale. Le prix de la grande ne vaut pas 5 fois la petite parce qu’elle est « 2 fois plus grande » : elle contient 8 fois plus.

4. 4.La moyenne bougie demande 9 fois plus de papier que la petite. Combien de fois plus de cire contient-elle ?

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   27 fois plus : $k^2=9$ donne $k=3$, puis $k^3=27$.

   On remonte de la surface au coefficient, puis on redescend vers le volume. Répondre 9 confondrait le rapport des aires avec celui des volumes.