Théorème de Thalès et sa réciproque

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Pour chaque question, coche la seule réponse juste.

1. 1.Dans une configuration papillon, le sommet commun des deux triangles se trouve…

   0.5 pt
   • en dehors des deux parallèles
   • entre les deux parallèles
   • sur l’une des deux parallèles
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   entre les deux parallèles

   Le papillon a son sommet commun entre les deux parallèles ; la configuration triangle l’a en dehors. Le théorème s’écrit de la même façon dans les deux cas.

2. 2.$U$ est sur $[RS]$, $V$ sur $[RT]$ et $(UV)$ est parallèle à $(ST)$. L’égalité juste est…

   0.5 pt
   • $\frac{RU}{US}=\frac{RV}{VT}=\frac{UV}{ST}$
   • $\frac{RU}{RS}=\frac{RV}{RT}=\frac{UV}{ST}$
   • $\frac{RU}{RS}=\frac{RT}{RV}=\frac{UV}{ST}$
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   $\frac{RU}{RS}=\frac{RV}{RT}=\frac{UV}{ST}$

   Le sommet commun est $R$. Le petit triangle $RUV$ est au-dessus des barres, le grand triangle $RST$ en dessous, dans le même ordre : $R$ avec $R$, $U$ avec $S$, $V$ avec $T$.

3. 3.Un triangle a un angle droit codé, aucune droite parallèle n’apparaît, et l’on cherche un côté à partir des deux autres. On utilise…

   0.5 pt
   • le théorème de Thalès
   • le théorème de Pythagore
   • la réciproque du théorème de Thalès
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   le théorème de Pythagore

   C’est le contre-signal du chapitre : un angle droit et pas de parallèles, ce n’est pas une configuration de Thalès, c’est un calcul de Pythagore.

4. 4.Sur une figure, $(EF)$ et $(GH)$ ont l’air parallèles, mais ni l’énoncé ni un codage ne l’indiquent. Avant d’appliquer le théorème de Thalès, il faut…

   0.5 pt
   • le vérifier à la règle
   • démontrer ce parallélisme
   • rien : le dessin suffit
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   démontrer ce parallélisme

   Un parallélisme lu sur un dessin n’est pas une donnée. Tant qu’il n’est pas démontré, le théorème ne s’applique pas, et le vérifier à la règle ne prouve rien.

5. 5.Les côtés d’un triangle mesurent 3 cm, 4 cm et 6 cm ; ceux de son agrandissement, 4,5 cm, 6 cm et 9 cm. Le coefficient est…

   0.5 pt
   • 1,5
   • $\frac{2}{3}$
   • 3
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   1,5

   $4,5÷3=6÷4=9÷6=1,5$ : chaque longueur de l’agrandissement vaut une fois et demie la longueur correspondante. Un agrandissement a un coefficient plus grand que 1.

6. 6.Pour comparer $\frac{5}{6}$ et $\frac{7}{8}$ sans arrondir, on calcule…

   0.5 pt
   • $5\times 6$ et $7\times 8$
   • $5\times 8$ et $6\times 7$
   • $5+8$ et $6+7$
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   $5\times 8$ et $6\times 7$

   Deux fractions sont égales si et seulement si leurs produits en croix le sont : numérateur de l’une par dénominateur de l’autre. Ici 40 et 42 diffèrent, donc les fractions aussi.

7. 7.$M$ est le milieu de $[AB]$, $N$ est sur $[AC]$ et $(MN)$ est parallèle à $(BC)$. Alors $MN$ vaut…

   0.5 pt
   • la moitié de $BC$
   • le double de $BC$
   • on ne peut pas savoir
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   la moitié de $BC$

   $\frac{AM}{AB}=\frac{1}{2}$, et le troisième rapport $\frac{MN}{BC}$ lui est égal : la base du petit triangle est la moitié de celle du grand.

8. 8.Pour calculer $MN$, on égale le rapport $\frac{MN}{BC}$ à…

   0.5 pt
   • $\frac{AM}{AB}$
   • $\frac{AM}{MB}$
   • $\frac{MB}{AB}$
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   $\frac{AM}{AB}$

   Sous $MN$ il y a $BC$, et à côté le rapport pris du sommet commun vers le segment entier. $MB$ n’apparaît nulle part dans le théorème.

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Complète le texte avec les mots de la banque. Cinq mots ne servent pas.

1. 1.Quand le sommet commun se trouve entre les deux droites parallèles, on parle de configuration .

   0.5 pt
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   papillon

   Le sommet commun entre les parallèles donne deux triangles opposés par le sommet : c’est la configuration papillon. En dehors, c’est la configuration triangle.

2. 2.Dans chaque rapport, la longueur prise sur le petit triangle se place au .

   0.5 pt
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   numérateur

   Le petit segment est en haut, le grand en bas : $\frac{AM}{AB}$. Si une petite longueur passe en dessous, l’égalité est fausse.

3. 3.Pour prouver que deux droites sont parallèles, on utilise la du théorème de Thalès.

   0.5 pt
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   réciproque

   Le théorème suppose le parallélisme et calcule des longueurs ; sa réciproque part des longueurs et démontre le parallélisme.

4. 4.Si un rapport ne tombe pas juste, on garde la jusqu’au bout du calcul.

   0.5 pt
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   fraction

   Un rapport comme $\frac{2}{3}$ n’a pas d’écriture décimale exacte : l’arrondir en chemin fausse le résultat, la fraction le donne exactement.

5. 5.Réduire une figure de moitié divise ses aires par 4, c’est-à-dire par le de 2.

   0.5 pt
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   carré

   Les longueurs sont divisées par 2, les aires par $2^2=4$, les volumes par $2^3=8$ : l’exposant suit le nombre de dimensions.

6. 6.Un parallélisme ne se lit jamais sur le  : il est donné, codé ou démontré.

   0.5 pt
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   dessin

   Deux traits peuvent avoir l’air parallèles sans l’être. En géométrie, « ça se voit » ne compte pas : seule une donnée ou une démonstration autorise le théorème.

Calculer une longueur

Sur la figure, $K$ est sur $[EF]$, $L$ est sur $[EG]$ et $(KL)$ est parallèle à $(FG)$. On donne $EK=6$ cm, $EF=8$ cm, $EG=10$ cm et $FG=7$ cm.

1. 1.Écris l’égalité des trois rapports.

   1 pt
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   $\frac{EK}{EF}=\frac{EL}{EG}=\frac{KL}{FG}$

   Les droites $(KF)$ et $(LG)$ sont sécantes en $E$ et $(KL)$ est parallèle à $(FG)$ : d’après le théorème de Thalès, les longueurs du petit triangle $EKL$ sont en haut, celles du grand $EFG$ en bas, dans le même ordre.

2. 2.Calcule $EL$.

   1.5 pt
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   $EL=\frac{10\times 6}{8}=7,5$ cm

   On garde $\frac{EK}{EF}=\frac{EL}{EG}$, soit $\frac{6}{8}=\frac{EL}{10}$, puis le produit en croix. 0,5 point pour l’égalité, 0,5 pour le calcul, 0,5 pour la conclusion avec l’unité.

3. 3.Calcule $KL$.

   1 pt
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   $KL=\frac{7\times 6}{8}=5,25$ cm

   C’est le troisième rapport qui sert : $\frac{KL}{FG}=\frac{EK}{EF}$, soit $\frac{KL}{7}=\frac{6}{8}$. Avec le coefficient 0,75 : $7\times 0,75=5,25$.

4. 4.Déduis-en $LG$.

   1 pt
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   $LG=10-7,5=2,5$ cm

   $L$ est sur le segment $[EG]$ : $LG=EG-EL$. Le morceau $LG$ n’apparaît dans aucun rapport du théorème, il se calcule après.

Démontrer un parallélisme

Les points $I$, $J$, $K$ sont alignés, ainsi que les points $I$, $L$, $M$ ; $J$ est sur $[IK]$ et $L$ sur $[IM]$. On donne $IJ=2,7$ cm, $IK=4,5$ cm, $IL=3,6$ cm et $IM=6$ cm. Réponds aux questions a à d, puis traite le cas de la question e.

1. 1.En partant de $I$, quel point rencontre-t-on en premier sur chacune des deux droites ?

   0.5 pt
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   $J$ sur $(IK)$ et $L$ sur $(IM)$ : la disposition est la même.

   $J$ est entre $I$ et $K$, $L$ est entre $I$ et $M$ : en partant de $I$, on rencontre d’abord le point intermédiaire, puis l’extrémité, sur les deux droites.

2. 2.Calcule $\frac{IJ}{IK}$.

   0.5 pt
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   $\frac{2,7}{4,5}=0,6$

   Le rapport se calcule seul, sans le relier à l’autre par un signe égal : c’est la comparaison qui viendra ensuite qui décidera.

3. 3.Calcule $\frac{IL}{IM}$.

   0.5 pt
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   $\frac{3,6}{6}=0,6$

   Même travail pour la seconde droite, du sommet commun $I$ vers le segment entier $[IM]$.

4. 4.Que peux-tu en déduire pour les droites $(JL)$ et $(KM)$ ? Cite la propriété.

   1 pt
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   $(JL)$ est parallèle à $(KM)$, d’après la réciproque du théorème de Thalès.

   Les rapports sont égaux et les points alignés dans le même ordre : les deux conditions sont écrites avant la conclusion. Sans le mot « alignés », la démonstration est incomplète : 0,5 sur 1.

5. 5.On reprend avec $IJ=4$ cm, $IK=7$ cm, $IL=6$ cm et $IM=10$ cm, disposés de la même façon. Que conclure pour $(JL)$ et $(KM)$ ?

   1 pt
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   Elles ne sont pas parallèles, car $40\ne 42$.

   $\frac{4}{7}$ n’est pas décimal : on compare les produits en croix, sans arrondir, $4\times 10=40$ et $7\times 6=42$. S’ils étaient parallèles, le théorème donnerait deux rapports égaux ; ce n’est pas le cas.

Résoudre un problème

Une charpente a la forme d’un triangle $ABC$ avec $AB=AC=5$ m et $BC=8$ m. Pour la renforcer, on fixe une poutre $[MN]$ parallèle à $[BC]$, avec $M$ sur $[AB]$, $N$ sur $[AC]$ et $AM=AN=2$ m. L’aire du triangle $ABC$ est de 12 m². Observe le document 1, puis réponds.

1. 1.Pourquoi peut-on appliquer le théorème de Thalès dans cette charpente ?

   1 pt
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   $(MB)$ et $(NC)$ sont sécantes en $A$, et $(MN)$ est parallèle à $(BC)$.

   Les deux conditions sont réunies, et la seconde vient de l’énoncé, pas du dessin. Le sommet commun $A$ est en dehors des parallèles : configuration triangle.

2. 2.Que vaut $\frac{AM}{AB}$ ?

   0.5 pt
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   $\frac{2}{5}=0,4$

   Petit segment en haut, segment entier en bas : $AB$ mesure 5 m, et non $MB$, qui vaut 3 m.

3. 3.Calcule la longueur de la poutre $MN$.

   1.5 pt
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   $MN=8\times 0,4=3,2$ m

   D’après le théorème de Thalès, $\frac{MN}{BC}=\frac{AM}{AB}$, soit $\frac{MN}{8}=0,4$. 0,5 point pour l’égalité, 0,5 pour le calcul, 0,5 pour la conclusion avec l’unité.

4. 4.Par quel nombre faut-il multiplier chaque longueur de $ABC$ pour obtenir celle de $AMN$ ?

   0.5 pt
   Voir la correction

   0,4

   Toutes les longueurs de $AMN$ valent 0,4 fois celles de $ABC$ : c’est la valeur commune des trois rapports, inférieure à 1 puisqu’il s’agit d’une réduction.

5. 5.Calcule l’aire du triangle $AMN$.

   1 pt
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   $12\times 0,4^2=12\times 0,16=1,92$ m²

   Une aire a deux dimensions : elle est multipliée par le carré du coefficient. Contrôle : base 3,2 m et hauteur $3\times 0,4=1,2$ m, d’où $3,2\times 1,2÷2=1,92$.

6. 6.Un camarade trouve 4,8 m² pour l’aire de $AMN$. Quelle erreur a-t-il commise ?

   0.5 pt
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   Il a multiplié l’aire par 0,4 au lieu de $0,4^2$.

   $12\times 0,4=4,8$ : il a traité l’aire comme une longueur. Une aire suit le carré du coefficient, pas le coefficient lui-même.