Quelles deux conditions la configuration exige-t-elle ?

Deux droites sécantes, et deux droites parallèles. — Le théorème ne dit rien si l'une des deux manque.

D'où doit venir le parallélisme ?

De l'énoncé, d'un codage sur la figure, ou d'une démonstration antérieure. — « Ça se voit sur le dessin » n'existe pas en géométrie.

Le rapport AM/MB figure-t-il dans le théorème ?

Non : le rapport se prend avec le segment entier AB. — MB n'apparaît nulle part dans le théorème de Thalès.

Où doivent se trouver les deux petites longueurs, dans les rapports ?

Toutes les deux au-dessus des barres. — Si l'une est passée en dessous, le produit en croix a été fait sans regarder les triangles.

AM = 4, AB = 6, AC = 15. Calcule AN.

10 — 4/6 = 2/3, et 15 × 2/3 = 10. La fraction évite tout arrondi.

AM = 4, AB = 6, BC = 21. Calcule MN.

14 — Même rapport : 21 × 2/3 = 14.

Pourquoi garder 2/3 plutôt que 0,67 ?

Parce que 0,67 est déjà un arrondi, et l'erreur se propage. — La fraction donne le résultat exact ; l'arrondi ne se rattrape pas à la fin.

Combien de rapports le théorème donne-t-il en tout ?

Trois — Deux le long des sécantes, un entre les deux bases.

Peut-on écrire AM/AB = AC/AN ?

Non : les deux petites longueurs doivent rester au numérateur. — Les quatre lettres sont là, et c'est justement ce qui rend l'erreur facile.

Quelles deux conditions la réciproque exige-t-elle ?

L'égalité des rapports, et l'alignement des points dans le même ordre. — Votre démonstration doit contenir le mot « alignés » avant le mot « donc ».

AM = 3, AB = 8, AN = 4,5, AC = 12, points dans le même ordre. Conclusion ?

Les droites sont parallèles. — 3/8 = 0,375 et 4,512 = 0,375 : les deux rapports coïncident.

AM = 5, AB = 8, AN = 6, AC = 10. Conclusion ?

Les droites ne sont pas parallèles. — 5/8 = 0,625 et 6/10 = 0,6 : les rapports diffèrent.

« Les rapports sont égaux, donc les droites sont parallèles. » Que manque-t-il ?

La condition d'alignement dans le même ordre. — Le calcul est juste et la conclusion semble suivre toute seule : c'est ce qui rend l'oubli fréquent.

Un solide est agrandi d'un coefficient 3. Par combien son volume est-il multiplié ?

Par 27 — Trois dimensions interviennent, et chacune est multipliée par 3.

Par 9 — Deux dimensions seulement : c'est le carré du coefficient.

Une maquette est au 1/20. Quel volume réel représente 1 cm³ de maquette ?

8000 cm³ — Le coefficient passe au cube : vingt au cube vaut huit mille.

Pourquoi les trois grandeurs ne suivent-elles pas le même exposant ?

Parce qu'elles ne comptent pas le même nombre de dimensions. — Écrire les trois lignes avant de choisir évite l'erreur de rapport la plus coûteuse.

« J'écris AM/AB = AN/NC. »

Il fallait écrire AN/AC : le segment entier, pas le morceau. — AB contient AM et AC contient AN : ce sont les entiers qui se répondent.

« AM = 3 et AB = 12, donc le coefficient de réduction vaut 4. »

Il vaut 1/4 : le petit sur le grand. — Pris à l'envers, le coefficient annonce un agrandissement là où la figure rétrécit.

« 7/9 ≈ 0,78, donc la longueur vaut 18 × 0,78 = 14,04. »

En gardant la fraction : 18 × 7/9 = 14 exactement. — L'arrondi introduit une erreur que la fin du calcul ne rattrape pas.

Mathématiques · 3ème · Contrôle n°1

Théorème de Thalès et sa réciproque

55 minutes noté sur 205 exercices

Un contrôle de mathématiques de 55 minutes sur Thalès en troisième : écrire les trois rapports sans mélanger les colonnes, calculer sans arrondir en cours de route, démontrer un parallélisme par la réciproque — avec ses deux conditions —, et employer le coefficient sur les longueurs, les aires et les volumes. Vingt points, barème détaillé, et une correction qui dit pourquoi à chaque question.

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Deux PDF à imprimer, sur papier A4. Gratuit, sans inscription.

Avant de commencer

Deux droites sécantes coupées par deux parallèles : sans ces deux conditions, le théorème ne dit rien.
Le rapport se prend entre un petit segment et le grand segment entier, jamais entre les deux morceaux.
Les deux petits côtés sont tous les deux au-dessus des barres. Si l’un passe dessous, c’est faux.
La réciproque demande deux choses : l’égalité des rapports et l’alignement des points dans le même ordre.
Un coefficient multiplie les longueurs par lui-même, les aires par son carré, les volumes par son cube.
Si un rapport n’est pas décimal, on garde la fraction : on n’arrondit que la réponse finale.

Exercice 1 — Reconnaître la configuration

4 pts · 10 min

Reconnaître et valider une configuration de Thalès

Réponds à chaque question.

1.Quelles deux conditions la configuration exige-t-elle ?
1 pt
Voir la correction
Deux droites sécantes, et deux droites parallèles.
Le théorème ne dit rien si l’une des deux manque.
2.D’où doit venir le parallélisme ?
1 pt
Voir la correction
De l’énoncé, d’un codage sur la figure, ou d’une démonstration antérieure.
« Ça se voit sur le dessin » n’existe pas en géométrie.
3.Le rapport $\frac{A M}{M B}$ figure-t-il dans le théorème ?
1 pt
Voir la correction
Non : le rapport se prend avec le segment entier $A B$ .
$M B$ n’apparaît nulle part dans le théorème de Thalès.
4.Où doivent se trouver les deux petites longueurs, dans les rapports ?
1 pt
Voir la correction
Toutes les deux au-dessus des barres.
Si l’une est passée en dessous, le produit en croix a été fait sans regarder les triangles.

Exercice 2 — Calculer une longueur

5 pts · 13 min

Calculer une longueur par le théorème de Thalès

$M$ appartient à $(A B)$ , $N$ à $(A C)$ , et $(M N)$ est parallèle à $(B C)$ . Réponds à chaque question.

1. $A M = 4$ , $A B = 6$ , $A C = 15$ . Calcule $A N$ .
1 pt
Voir la correction
10
$\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ , et $15 \times \frac{2}{3} = 10$ . La fraction évite tout arrondi.
2. $A M = 4$ , $A B = 6$ , $B C = 21$ . Calcule $M N$ .
1 pt
Voir la correction
14
Même rapport : $21 \times \frac{2}{3} = 14$ .
3.Pourquoi garder $\frac{2}{3}$ plutôt que 0,67 ?
1 pt
Voir la correction
Parce que 0,67 est déjà un arrondi, et l’erreur se propage.
La fraction donne le résultat exact ; l’arrondi ne se rattrape pas à la fin.
4.Combien de rapports le théorème donne-t-il en tout ?
1 pt
Voir la correction
Trois
Deux le long des sécantes, un entre les deux bases.
5.Peut-on écrire $\frac{A M}{A B} = \frac{A C}{A N}$  ?
1 pt
Voir la correction
Non : les deux petites longueurs doivent rester au numérateur.
Les quatre lettres sont là, et c’est justement ce qui rend l’erreur facile.

Exercice 3 — La réciproque

4 pts · 11 min

Démontrer un parallélisme par la réciproque

Réponds en justifiant.

1.Quelles deux conditions la réciproque exige-t-elle ?
1 pt
Voir la correction
L’égalité des rapports, et l’alignement des points dans le même ordre.
Votre démonstration doit contenir le mot « alignés » avant le mot « donc ».
2. $A M = 3$ , $A B = 8$ , $A N = 4, 5$ , $A C = 12$ , points dans le même ordre. Conclusion ?
1 pt
Voir la correction
Les droites sont parallèles.
$\frac{3}{8} = 0, 375$ et $\frac{4 , 5}{12} = 0, 375$ : les deux rapports coïncident.
3. $A M = 5$ , $A B = 8$ , $A N = 6$ , $A C = 10$ . Conclusion ?
1 pt
Voir la correction
Les droites ne sont pas parallèles.
$\frac{5}{8} = 0, 625$ et $\frac{6}{10} = 0, 6$ : les rapports diffèrent.
4.« Les rapports sont égaux, donc les droites sont parallèles. » Que manque-t-il ?
1 pt
Voir la correction
La condition d’alignement dans le même ordre.
Le calcul est juste et la conclusion semble suivre toute seule : c’est ce qui rend l’oubli fréquent.

Exercice 4 — Longueurs, aires et volumes

4 pts · 12 min

Employer un coefficient sur les trois grandeurs

Réponds à chaque question.

1.Un solide est agrandi d’un coefficient 3. Par combien son volume est-il multiplié ?
1 pt
Voir la correction
Par 27
Trois dimensions interviennent, et chacune est multipliée par 3.
2.Et son aire ?
1 pt
Voir la correction
Par 9
Deux dimensions seulement : c’est le carré du coefficient.
3.Une maquette est au 1/20. Quel volume réel représente 1 cm³ de maquette ?
1 pt
Voir la correction
8000 cm³
Le coefficient passe au cube : vingt au cube vaut huit mille.
4.Pourquoi les trois grandeurs ne suivent-elles pas le même exposant ?
1 pt
Voir la correction
Parce qu’elles ne comptent pas le même nombre de dimensions.
Écrire les trois lignes avant de choisir évite l’erreur de rapport la plus coûteuse.

Exercice 5 — Trouve l'erreur

3 pts · 9 min

Repérer une erreur de raisonnement et la corriger

Chaque affirmation est fausse. Écris la réponse juste.

1.« J’écris $\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{N C}$ . »
1 pt
Voir la correction
Il fallait écrire $\frac{A N}{A C}$ : le segment entier, pas le morceau.
$A B$ contient $A M$ et $A C$ contient $A N$ : ce sont les entiers qui se répondent.
2.« $A M = 3$ et $A B = 12$ , donc le coefficient de réduction vaut 4. »
1 pt
Voir la correction
Il vaut $\frac{1}{4}$ : le petit sur le grand.
Pris à l’envers, le coefficient annonce un agrandissement là où la figure rétrécit.
3.« $\frac{7}{9} \approx 0, 78$ , donc la longueur vaut $18 \times 0, 78 = 14, 04$ . »
1 pt
Voir la correction
En gardant la fraction : $18 \times \frac{7}{9} = 14$ exactement.
L’arrondi introduit une erreur que la fin du calcul ne rattrape pas.

Barème — ce que le correcteur regarde

Les lignes chiffrées couvrent les 5 exercices et totalisent 20 points.

Ex.1La configuration reconnue, et le parallélisme établi

4 points — 1 par question

Point perdu si : Le théorème appliqué parce que la figure y ressemble.

Ex.2Les trois rapports écrits sans mélanger les colonnes

5 points — 1 par question

Point perdu si : Un rapport qui fait intervenir un morceau au lieu du segment entier.

Ex.3Les deux conditions de la réciproque réunies

4 points — 1 par question

Point perdu si : L’égalité des rapports invoquée sans le mot « alignés ».

Ex.4Le bon exposant selon la grandeur

4 points — 1 par question

Point perdu si : Un volume multiplié par le carré du coefficient au lieu de son cube.

Ex.5L’erreur repérée, et l’écriture juste donnée

3 points — 1 par ligne

Point perdu si : Un rapport arrondi en cours de route, puis employé tel quel.

Et maintenant ?

16 à 20: Thalès est solide. Entraîne-toi maintenant sur les configurations en papillon, où les deux parallèles encadrent le sommet : les rapports s'écrivent de la même façon, et c'est la figure qui déroute.
10 à 15: Refais l'exercice 2 en écrivant les trois rapports au brouillon avant de chercher l'inconnue. Une colonne mélangée se voit immédiatement quand les trois sont écrits.
moins de 10: Reprends la fiche de cours et retiens la règle des exposants : longueurs, aires, volumes — un, deux, trois. C'est la question la plus fréquente du brevet sur ce chapitre.

Refaire avec d'autres phrases

Mêmes notions, mêmes exigences, énoncés différents. À passer quelques jours plus tard, une fois celui-ci corrigé.

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