Théorème de Thalès et sa réciproque

Analyser une figure

Sur la figure, les droites $(KQ)$ et $(LP)$ se coupent en $E$, et $(KL)$ est parallèle à $(PQ)$. Réponds sans faire de calcul.

1. 1.Quelle est la configuration ? Justifie.

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   Papillon : le sommet commun $E$ est entre les deux parallèles.

   $K$ et $Q$ sont de part et d’autre de $E$, comme $L$ et $P$. Le théorème s’applique comme dans un triangle, puisque les droites sont sécantes et $(KL)$ parallèle à $(PQ)$.

2. 2.Nomme les deux triangles, en écrivant leurs sommets dans l’ordre où ils se correspondent.

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   $EKL$ et $EQP$

   $E$ correspond à $E$ ; $K$ et $Q$ sont sur la même droite passant par $E$, comme $L$ et $P$. L’ordre des lettres dit quel segment répond à quel autre.

3. 3.Écris, dans l’ordre établi, les trois quotients que le théorème rend égaux.

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   $\frac{EK}{EQ}=\frac{EL}{EP}=\frac{KL}{QP}$

   Chaque colonne fait une fraction : petit triangle $EKL$ en haut, grand triangle $EQP$ en bas, dans l’ordre établi à la question précédente.

4. 4.Avec $EK$, $EQ$ et $EL$ seulement, quelle distance devient accessible ? Écris l’égalité qui la donne.

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   $EP$, avec $\frac{EK}{EQ}=\frac{EL}{EP}$.

   On ne garde que les deux rapports où figurent l’inconnue et des longueurs toutes connues ; le troisième rapport contient deux inconnues.

5. 5.Si l’on connaît plutôt $EK$, $EQ$ et $QP$, laquelle devient accessible ?

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   $KL$, avec $\frac{KL}{QP}=\frac{EK}{EQ}$.

   C’est le troisième rapport qui sert ici : il fait partie du théorème au même titre que les deux autres, et c’est souvent celui qu’on oublie.

6. 6.Une élève écrit $\frac{EK}{KQ}=\frac{EL}{LP}$. Pourquoi est-ce faux ?

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   $[KQ]$ n’est pas un côté du grand triangle : il fallait $EQ$ et $EP$.

   Dans un papillon, $[KQ]$ traverse le sommet commun et réunit un côté de chaque triangle. Le rapport se prend avec le côté du grand triangle issu de $E$.

Calculer

Sur la figure, $E$ est sur $[DF]$, $G$ est sur $[DH]$ et $(EG)$ est parallèle à $(FH)$. On donne $DE=6$ cm, $EF=4$ cm, $DG=7,5$ cm et $FH=9$ cm.

1. 1.Calcule $DF$.

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   $DF=6+4=10$ cm

   $E$ est sur le segment $[DF]$ : $DF=DE+EF$. C’est le segment entier dont le théorème a besoin.

2. 2.Calcule $DH$.

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   $DH=\frac{7,5\times 10}{6}=12,5$ cm

   Les droites $(EF)$ et $(GH)$ sont sécantes en $D$ et $(EG)$ est parallèle à $(FH)$ : d’après le théorème de Thalès, $\frac{DE}{DF}=\frac{DG}{DH}$, soit $\frac{6}{10}=\frac{7,5}{DH}$.

3. 3.Déduis-en $GH$.

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   $GH=12,5-7,5=5$ cm

   $G$ est sur $[DH]$ : le morceau $GH$ est ce qui reste du segment entier. Il ne figure dans aucun rapport.

4. 4.Calcule $EG$.

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   $EG=\frac{9\times 6}{10}=5,4$ cm

   Troisième rapport : $\frac{EG}{FH}=\frac{DE}{DF}$, avec le segment entier $DF=10$ cm et non le morceau $EF$.

Calculer

Sur la figure, les droites $(RT)$ et $(SU)$ se coupent en $O$, et $(RS)$ est parallèle à $(TU)$. On donne $OR=6$ cm, $OT=14$ cm, $OS=4,5$ cm et $RS=3,9$ cm.

1. 1.Écris $\frac{OR}{OT}$ sous forme de fraction irréductible.

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   $\frac{3}{7}$

   $\frac{6}{14}$ se simplifie par 2. Ce rapport n’a pas d’écriture décimale exacte : on le garde en fraction pour toute la suite.

2. 2.Calcule $OU$.

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   $OU=4,5\times \frac{7}{3}=10,5$ cm

   D’après le théorème de Thalès, $\frac{OR}{OT}=\frac{OS}{OU}=\frac{RS}{TU}$. Le petit vaut $\frac{3}{7}$ du grand, donc le grand vaut $\frac{7}{3}$ du petit : le résultat est exact.

3. 3.Calcule $TU$.

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   $TU=3,9\times \frac{7}{3}=9,1$ cm

   Troisième rapport, même coefficient : $\frac{RS}{TU}=\frac{3}{7}$. $3,9\times 7=27,3$, puis $27,3÷3=9,1$.

4. 4.Un élève remplace $\frac{3}{7}$ par 0,43. Quelle valeur obtient-il pour $OU$, au centième près ? Commente.

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   $4,5÷0,43\approx 10,47$ cm : faux dès le dixième, au lieu de 10,5 cm.

   0,43 est déjà un arrondi de $0,428\dots$ ; l’erreur se transmet au résultat et le barème la refuse. Avec la fraction, aucun arrondi n’intervient.

Calculer

Une brique de jus a la forme d’un pavé droit de 6 cm sur 10 cm sur 15 cm ; il faut 600 cm² de carton pour la fabriquer et elle contient 900 cm³. Le fabricant lance une mini-brique : une réduction de la grande, haute de 9 cm au lieu de 15 cm.

1. 1.Quel est le coefficient de réduction ?

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   $\frac{9}{15}=0,6$

   La hauteur est la seule longueur connue des deux briques : petite hauteur sur grande hauteur. Le coefficient est inférieur à 1, comme toute réduction.

2. 2.Quelle surface de carton faut-il pour la mini-brique ?

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   $600\times 0,6^2=600\times 0,36=216$ cm²

   Une surface suit le carré du coefficient. Contrôle : la mini-brique mesure 3,6 cm sur 6 cm sur 9 cm, et $2\times (21,6+32,4+54)=216$.

3. 3.Quel volume de jus contient la mini-brique ?

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   $900\times 0,6^3=900\times 0,216=194,4$ cm³

   Trois dimensions, chacune multipliée par 0,6 : le volume est multiplié par $0,6^3$. Contrôle : $3,6\times 6\times 9=194,4$.

4. 4.La publicité annonce : « la mini-brique contient 60 % du jus de la grande ». Est-ce exact ?

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   Non : $194,4÷900=0,216$, soit 21,6 % seulement.

   60 % correspond au coefficient des longueurs. Le volume suit le cube du coefficient : $0,6^3=0,216$, un peu plus d’un cinquième.

Résoudre un problème

Les pieds $[AC]$ et $[BD]$ d’une table pliante sont deux barres droites qui se croisent en $O$ (document 1). On a mesuré $OA=36$ cm, $OC=54$ cm, $OB=40$ cm et $OD=60$ cm. Le plateau est fixé en $A$ et $B$, avec $AB=50$ cm ; les pieds touchent le sol en $C$ et $D$.

1. 1.Où se trouve $O$ par rapport aux extrémités de chaque pied ? Qu’en déduis-tu pour la disposition des points ?

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   Entre elles : l’ordre est le même sur les deux barres.

   $O$ est entre $A$ et $C$ comme entre $B$ et $D$ : les points $A$, $O$, $C$ et $B$, $O$, $D$ sont alignés dans le même ordre, en configuration papillon.

2. 2.Les rapports $\frac{OA}{OC}$ et $\frac{OB}{OD}$ sont-ils égaux ? Réponds sans valeur approchée.

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   Oui : $36\times 60=54\times 40=2160$.

   $\frac{36}{54}$ ne tombe pas juste : on compare les produits en croix. On peut aussi simplifier : les deux rapports valent $\frac{2}{3}$. 0,5 point par produit, 0,5 pour la comparaison.

3. 3.Démontre que le plateau est parallèle au sol.

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   Le plateau $(AB)$ est parallèle au sol $(CD)$, par la réciproque.

   Les deux conditions sont réunies : rapports égaux (question b) et points alignés dans le même ordre (question a). Le sol passe par $C$ et $D$, le plateau par $A$ et $B$.

4. 4.Calcule l’écart $CD$ entre les pieds sur le sol.

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   $CD=\frac{50\times 54}{36}=75$ cm

   Le parallélisme est maintenant démontré : d’après le théorème de Thalès, $\frac{OA}{OC}=\frac{AB}{CD}$, soit $\frac{2}{3}=\frac{50}{CD}$, d’où $CD=50\times \frac{3}{2}$.

5. 5.On remplace le pied $[BD]$ par un pied plus long, avec $OD=63$ cm, sans rien changer d’autre. Le plateau reste-t-il parallèle au sol ?

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   Non : $36\times 63=2268$, alors que $54\times 40=2160$.

   Les rapports sont différents. Si le plateau restait parallèle au sol, le théorème donnerait des rapports égaux : il est donc incliné.