Équations et inéquations du premier degré

Résoudre une équation à développer

Résous chaque équation : développe et réduis d’abord chaque membre, puis isole $x$. Donne la solution sous forme exacte.

1. 1.$3(2x-1)=4x+9$

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   $x=6$

   $6x-3=4x+9$ ; on retire $4x$ : $2x-3=9$ ; on ajoute $3$ : $2x=12$. Contrôle : $3\times 11=33$ et $4\times 6+9=33$.

2. 2.$5-2(x+3)=7$

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   $x=-4$

   $5-2x-6=7$, soit $-2x-1=7$ ; on ajoute $1$ : $-2x=8$ ; on divise par $-2$. Contrôle : $5-2\times (-1)=7$.

3. 3.$4(x-2)-(x+1)=2x-3$

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   $x=6$

   Le moins devant la parenthèse change les deux signes : $4x-8-x-1=3x-9$. Puis $3x-9=2x-3$ donne $x=6$. Contrôle : $4\times 4-7=9$ et $2\times 6-3=9$.

4. 4.$7x-4=3x-2$

   1 pt
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   $x=\frac{1}{2}$

   On retire $3x$ puis on ajoute $4$ : $4x=2$, donc $x=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$. Contrôle : les deux membres valent $-\frac{1}{2}$.

Résoudre une inéquation et représenter ses solutions

Résous chaque inéquation en écrivant les étapes, puis représente ses solutions sur la droite graduée correspondante.

1. 1.a. $7-3x>1$

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   $x<2$ : cercle ouvert en $2$, partie épaisse vers la gauche.

   On retire $7$ : $-3x>-6$ ; on divise par $-3$, négatif, donc on renverse : $x<2$. L’inégalité est stricte, $2$ est exclu.

2. 2.b. $2(x+4)⩽5x-1$

   1.5 pt
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   $x⩾3$ : cercle plein en $3$, partie épaisse vers la droite.

   $2x+8⩽5x-1$ ; on retire $2x$ et on ajoute $1$ : $9⩽3x$, donc $3⩽x$. On a divisé par $3$, positif : le sens reste.

3. 3.c. Contrôle ton résultat du a en testant $x=0$ dans l’inéquation de départ.

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   $7-3\times 0=7$ et $7>1$ est vrai : $0$ est solution, ce qui concorde avec $x<2$.

   Un seul test suffit à détecter un sens renversé à tort : avec $x>2$, le nombre $0$ aurait été exclu.

Résoudre graphiquement puis par le calcul

Observe le document 1, puis réponds aux questions.

1. 1.Laquelle des deux droites représente le membre de gauche $2x-1$ ? Justifie avec le point d’abscisse $0$.

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   La droite $d_2$ : pour $x=0$, $2x-1$ vaut $-1$, et $d_2$ passe par le point de coordonnées $(0;-1)$.

   La droite $d_1$ passe par $(0;3)$, ce qui correspond à $-x+3$ pour $x=0$.

2. 2.Lis une valeur approchée de l’abscisse du point d’intersection des deux droites.

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   Environ $1,3$ (entre $1$ et $1,5$).

   Au point d’intersection, les deux membres ont la même valeur : son abscisse est la solution, lue ici à peu près.

3. 3.Trouve par le calcul la valeur exacte qui rend vraie l’égalité $2x-1=-x+3$.

   1.5 pt
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   $x=\frac{4}{3}$

   On ajoute $x$ des deux côtés : $3x-1=3$ ; on ajoute $1$ : $3x=4$ ; on divise par $3$. Et $\frac{4}{3}$ vaut environ $1,33$ : la lecture est confirmée.

4. 4.Remplace $x$ par $1,3$ dans les deux membres. Que t’apprend ce test sur la lecture graphique ?

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   Non : $2\times 1,3-1=1,6$ alors que $-1,3+3=1,7$. La lecture graphique ne donne qu’une valeur approchée.

   Tester $1,3$ montre que l’égalité n’est pas vraie : seule la valeur exacte $\frac{4}{3}$ convient.

Mettre un problème en équation et le résoudre

Au cinéma, un billet adulte coûte 4 € de plus qu’un billet enfant. Une famille achète deux billets adulte et trois billets enfant ; elle paie 43 € en tout. On cherche le prix de chaque billet : réponds aux questions dans l’ordre.

1. 1.Que désigne ta lettre ? Écris-le avec l’unité choisie.

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   Soit $x$ le prix d’un billet enfant, en euros.

   Choisir le prix enfant, le plus petit, donne un prix adulte qui s’écrit par une addition : $x+4$.

2. 2.Écris en fonction de $x$ le prix d’un billet adulte, puis le prix des deux billets adulte.

   1 pt
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   $x+4$ ; $2(x+4)$

   Chaque billet adulte coûte $4$ € de plus qu’un billet enfant ; pour deux billets, on multiplie toute la somme par $2$.

3. 3.Quelle égalité relie $x$ à la somme de 43 € payée par la famille ?

   1.5 pt
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   $2(x+4)+3x=43$

   Le prix des deux billets adulte plus celui des trois billets enfant fait $43$ € : c’est la phrase qui porte l’égalité.

4. 4.Résous-la en détaillant chaque étape.

   1.5 pt
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   $2x+8+3x=43$, donc $5x+8=43$, $5x=35$ et $x=7$.

   On développe, on réduit, on retire $8$ des deux côtés, puis on divise par $5$.

5. 5.Contrôle ce résultat sur le prix total, puis donne le prix de chaque billet.

   1.5 pt
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   Un billet enfant coûte 7 € et un billet adulte 11 € ; contrôle : $2\times 11+3\times 7=43$.

   On contrôle dans l’énoncé, pas dans une ligne de calcul ; la phrase donne les deux prix, avec l’unité.