x = 4 — On retire 9 des deux côtés, ce qui donne 4x = 16, puis on divise par 4.

x = 3 — On retire 2x des deux côtés, puis on ajoute 3 : 5x = 15.

x = 9 — On divise d'abord par 3, ce qui évite de distribuer : x - 2 = 7.

x = 24 — Diviser par 4 se défait en multipliant les deux côtés par 4.

Pourquoi vérifier dans l'équation de départ et non dans une ligne intermédiaire ?

Parce qu'une erreur commise en chemin serait reproduite par la ligne qui la suit. — L'équation de départ est la seule que l'on n'a pas écrite soi-même.

x > 4 — On retire 5, puis on divise par 2 : le coefficient est positif, le sens ne bouge pas.

x ≤ -5 — Diviser par -4 renverse le sens de l'inégalité.

Dans quel cas renverse-t-on le sens d'une inégalité ?

Quand on multiplie ou divise les deux membres par un nombre négatif. — Ajouter ou retirer un nombre, même négatif, ne change jamais le sens.

x ≤ 5 — On ajoute 7 des deux côtés : une addition ne touche pas au sens.

Aucune solution — L'inconnue s'efface et il reste 1 = 5, faux quelle que soit la valeur de x.

Une infinité de solutions — L'inconnue s'efface et il reste 6 = 6, vrai pour toute valeur de x.

À quoi reconnaît-on ces deux cas ?

L'inconnue disparaît des deux membres. — Ce qui reste est alors une égalité entre deux nombres : soit vraie, soit fausse.

Combien de solutions une équation du premier degré a-t-elle en général ?

Une seule — Les deux cas précédents sont des exceptions, et elles se voient au dernier moment.

Nomme l'inconnue, avec son unité.

Soit x la largeur, en centimètres. — Une lettre sans phrase ne vaut rien : c'est elle qui donne son sens à tout ce qui suit.

Exprime la longueur en fonction de x.

x + 7 — La longueur dépasse la largeur de 7 : on ajoute, on ne multiplie pas.

Écris l'équation traduisant le périmètre.

2(x + x + 7) = 46 — Le périmètre d'un rectangle vaut deux fois la somme de ses deux dimensions.

Résous, puis réponds par une phrase.

La largeur mesure 8 cm et la longueur 15 cm. — 2(2x + 7) = 46 donne 4x + 14 = 46, puis x = 8. Contrôle : 2 × (8 + 15) = 46.

« 9x - 5 = 22, donc 9x = 17. »

9x = 27, donc x = 3. — On ajoute 5 des deux côtés : le terme qui change de côté change de signe.

« -2x < 8, donc x < -4. »

x > -4 — Diviser par -2 renverse le sens. Pour x = 0 : 0 < 8 est vrai, donc zéro est solution.

« Dans 5x = 0, on ne peut pas diviser par 5, donc il n'y a pas de solution. »

On divise sans difficulté : x = 0. — Diviser par 5 est toujours possible ; c'est diviser par zéro qui ne l'est pas.

Mathématiques · 4ème · Contrôle n°1

Équations et inéquations du premier degré

55 minutes noté sur 205 exercices

Un contrôle de mathématiques de 55 minutes sur les équations en quatrième : isoler l'inconnue en opérant des deux côtés, résoudre une inéquation sans oublier le renversement du sens, reconnaître une équation sans solution ou à une infinité de solutions, et mettre un problème en équation. Vingt points, barème détaillé, et une correction qui dit pourquoi à chaque question.

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Deux PDF à imprimer, sur papier A4. Gratuit, sans inscription.

Avant de commencer

Une équation est une balance : tout ce qu’on fait d’un côté, on le fait de l’autre.
« Faire passer de l’autre côté » n’est pas une opération : c’est un raccourci qui cache le signe.
On vérifie toujours dans l’équation de départ, jamais dans une ligne intermédiaire.
Une inéquation se résout comme une équation, à une exception près.
Quand l’inconnue disparaît, il reste soit une égalité fausse, soit une égalité toujours vraie.
Mettre en équation commence par nommer l’inconnue avec son unité, et finit par une phrase de réponse.

Exercice 1 — Résoudre une équation

5 pts · 13 min

Résoudre une équation du premier degré

Résous chaque équation en écrivant les opérations menées.

1. $4 x + 9 = 25$
1 pt
Voir la correction
$x = 4$
On retire 9 des deux côtés, ce qui donne $4 x = 16$ , puis on divise par 4.
2. $7 x - 3 = 2 x + 12$
1 pt
Voir la correction
$x = 3$
On retire $2 x$ des deux côtés, puis on ajoute 3 : $5 x = 15$ .
3. $3 (x - 2) = 21$
1 pt
Voir la correction
$x = 9$
On divise d’abord par 3, ce qui évite de distribuer : $x - 2 = 7$ .
4. $\frac{x}{4} = 6$
1 pt
Voir la correction
$x = 24$
Diviser par 4 se défait en multipliant les deux côtés par 4.
5.Pourquoi vérifier dans l’équation de départ et non dans une ligne intermédiaire ?
1 pt
Voir la correction
Parce qu’une erreur commise en chemin serait reproduite par la ligne qui la suit.
L’équation de départ est la seule que l’on n’a pas écrite soi-même.

Exercice 2 — Les inéquations

4 pts · 11 min

Résoudre une inéquation du premier degré

Résous chaque inéquation.

1. $2 x + 5 > 13$
1 pt
Voir la correction
$x > 4$
On retire 5, puis on divise par 2 : le coefficient est positif, le sens ne bouge pas.
2. $- 4 x \geq 20$
1 pt
Voir la correction
$x \leq - 5$
Diviser par $- 4$ renverse le sens de l’inégalité.
3.Dans quel cas renverse-t-on le sens d’une inégalité ?
1 pt
Voir la correction
Quand on multiplie ou divise les deux membres par un nombre négatif.
Ajouter ou retirer un nombre, même négatif, ne change jamais le sens.
4. $x - 7 \leq - 2$
1 pt
Voir la correction
$x \leq 5$
On ajoute 7 des deux côtés : une addition ne touche pas au sens.

Exercice 3 — Quand l'inconnue disparaît

4 pts · 11 min

Reconnaître une équation sans solution ou à une infinité de solutions

Résous, puis conclus sur le nombre de solutions.

1. $2 x + 1 = 2 x + 5$
1 pt
Voir la correction
Aucune solution
L’inconnue s’efface et il reste $1 = 5$ , faux quelle que soit la valeur de $x$ .
2. $3 (x + 2) = 3 x + 6$
1 pt
Voir la correction
Une infinité de solutions
L’inconnue s’efface et il reste $6 = 6$ , vrai pour toute valeur de $x$ .
3.À quoi reconnaît-on ces deux cas ?
1 pt
Voir la correction
L’inconnue disparaît des deux membres.
Ce qui reste est alors une égalité entre deux nombres : soit vraie, soit fausse.
4.Combien de solutions une équation du premier degré a-t-elle en général ?
1 pt
Voir la correction
Une seule
Les deux cas précédents sont des exceptions, et elles se voient au dernier moment.

Exercice 4 — Mettre un problème en équation

4 pts · 11 min

Traduire un problème par une équation et le résoudre

Un rectangle a une longueur qui dépasse sa largeur de 7 cm. Son périmètre vaut 46 cm. Réponds étape par étape.

1.Nomme l’inconnue, avec son unité.
1 pt
Voir la correction
Soit $x$ la largeur, en centimètres.
Une lettre sans phrase ne vaut rien : c’est elle qui donne son sens à tout ce qui suit.
2.Exprime la longueur en fonction de $x$ .
1 pt
Voir la correction
$x + 7$
La longueur dépasse la largeur de 7 : on ajoute, on ne multiplie pas.
3.Écris l’équation traduisant le périmètre.
1 pt
Voir la correction
$2 (x + x + 7) = 46$
Le périmètre d’un rectangle vaut deux fois la somme de ses deux dimensions.
4.Résous, puis réponds par une phrase.
1 pt
Voir la correction
La largeur mesure 8 cm et la longueur 15 cm.
$2 (2 x + 7) = 46$ donne $4 x + 14 = 46$ , puis $x = 8$ . Contrôle : $2 \times (8 + 15) = 46$ .

Exercice 5 — Trouve l'erreur

3 pts · 9 min

Repérer une résolution fausse et la corriger

Chaque résolution est fausse. Écris la bonne.

1.« $9 x - 5 = 22$ , donc $9 x = 17$ . »
1 pt
Voir la correction
$9 x = 27$ , donc $x = 3$ .
On ajoute 5 des deux côtés : le terme qui change de côté change de signe.
2.« $- 2 x < 8$ , donc $x < - 4$ . »
1 pt
Voir la correction
$x > - 4$
Diviser par $- 2$ renverse le sens. Pour $x = 0$ : $0 < 8$ est vrai, donc zéro est solution.
3.« Dans $5 x = 0$ , on ne peut pas diviser par 5, donc il n’y a pas de solution. »
1 pt
Voir la correction
On divise sans difficulté : $x = 0$ .
Diviser par 5 est toujours possible ; c’est diviser par zéro qui ne l’est pas.

Barème — ce que le correcteur regarde

Les lignes chiffrées couvrent les 5 exercices et totalisent 20 points.

Ex.1L’inconnue isolée par une opération faite des deux côtés

5 points — 1 par question

Point perdu si : Un signe perdu au moment où un terme change de côté.

Ex.2Le sens de l’inégalité renversé quand il le faut

4 points — 1 par question

Point perdu si : Un renversement oublié : la réponse est alors l’ensemble exactement opposé.

Ex.3Les deux cas limites reconnus quand l’inconnue disparaît

4 points — 1 par question

Point perdu si : Une égalité fausse prise pour une solution.

Ex.4L’inconnue nommée avec son unité, la réponse rédigée

4 points — 1 par étape

Point perdu si : Une valeur donnée sans phrase : « $x = 8$ » n’est pas une réponse.

Ex.5L’erreur repérée, et la résolution juste écrite

3 points — 1 par ligne

Point perdu si : La faute signalée sans que le calcul correct soit donné.

Et maintenant ?

16 à 20: Les équations sont tenues. Entraîne-toi maintenant sur les problèmes rédigés : c'est la mise en équation, et non la résolution, qui porte les points au brevet.
10 à 15: Refais l'exercice 2 en testant une valeur après coup. Pour une inéquation, un seul nombre suffit à voir si l'on s'est trompé de sens.
moins de 10: Reprends la fiche de cours et écris l'opération dans la marge — « moins 2x des deux côtés » — au lieu de « je fais passer ». Le signe cesse alors de se perdre.

Refaire avec d'autres phrases

Mêmes notions, mêmes exigences, énoncés différents. À passer quelques jours plus tard, une fois celui-ci corrigé.

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