Équations et inéquations du premier degré

Repérer une erreur et la corriger

Chaque ligne de la copie du document 1 contient une erreur. Pour chacune, explique ce qui est faux, puis écris la résolution juste, jusqu’à la solution.

Réponse rédigée. Ce que le correcteur attend, critère par critère :

1. 1.Ligne 1 — le développement.

   1 pt
   Voir la correction

   Le $2$ multiplie aussi le $-4$ : $6x-8=9x+1$. On retire $9x$ et on ajoute $8$ : $-3x=9$, donc $x=-3$.

   Contrôle dans l’équation de départ : $2\times (-13)=-26$ et $9\times (-3)+1=-26$.

2. 2.Ligne 2 — la division par le coefficient.

   1 pt
   Voir la correction

   On divise par $-7$, avec son signe : $x=\frac{28}{-7}=-4$.

   Un quotient de deux nombres de signes contraires est négatif ; contrôle : $(-7)\times (-4)=28$.

3. 3.Ligne 3 — le sens de l’inégalité.

   1 pt
   Voir la correction

   On divise par $3$, qui est positif : le sens ne change pas, donc $x>-4$.

   Seul compte le signe du nombre par lequel on divise. Test avec $x=0$ : $0>-12$ est vrai, alors que $x<-4$ excluait $0$.

4. 4.Ligne 4 — la conclusion.

   1 pt
   Voir la correction

   $0=-4$ est faux quelle que soit la valeur de $x$ : l’équation n’a aucune solution.

   $x=0$ n’est pas solution : à gauche on obtient $3$, à droite $-1$.

5. 5.Ligne 5 — la vérification.

   1 pt
   Voir la correction

   On ajoute $3$ des deux côtés : $3x=12$, donc $x=4$. Vérifiée dans l’équation de départ : $5\times 4-3=17$ et $2\times 4+9=17$.

   La vérification sur la ligne fautive reproduit l’erreur ; dans l’équation de départ, $x=2$ aurait donné $7$ d’un côté et $13$ de l’autre.

Justifier ou réfuter une affirmation

Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse, puis justifie par un calcul, un contre-exemple ou une règle du cours. Une réponse sans justification ne rapporte rien.

1. 1.« $x=\frac{1}{3}$ vérifie l’égalité $6x-1=1$. »

   1 pt
   Voir la correction

   Vrai : six tiers valent $2$, puis $2-1=1$.

   $6\times \frac{1}{3}=2$ : le membre de gauche vaut $1$, comme celui de droite, donc $\frac{1}{3}$ est solution.

2. 2.« Tout nombre $x$ vérifie $3(x+2)-x=2(x+3)$. »

   1 pt
   Voir la correction

   Vrai : chaque membre se réduit à $2x+6$.

   À gauche $3x+6-x=2x+6$, à droite $2x+6$ ; en retirant $2x$, il reste $6=6$ : l’équation a une infinité de solutions.

3. 3.« Si l’on divise les deux membres d’une équation par $-4$, il faut changer le signe $=$. »

   1 pt
   Voir la correction

   Faux : une égalité reste une égalité ; par exemple $-4x=8$ donne $x=-2$.

   Le renversement concerne le sens d’une inégalité, quand on multiplie ou divise par un négatif ; le signe $=$ n’a pas de sens à renverser.

4. 4.« Les inéquations $-5x⩽10$ et $x⩽-2$ ont les mêmes solutions. »

   1 pt
   Voir la correction

   Faux : $0$ vérifie la première ($0⩽10$) mais pas la seconde ($0⩽-2$ est faux).

   En divisant par $-5$, il fallait renverser : $-5x⩽10$ équivaut à $x⩾-2$.

5. 5.« En traçant les droites qui représentent $5x-2$ et $2x+5$, Zoé lit que leur intersection a pour abscisse $2,3$. La solution de $5x-2=2x+5$ est donc $2,3$. »

   1 pt
   Voir la correction

   Faux : le calcul donne $3x=7$, soit $x=\frac{7}{3}$ ; et $2,3$ ne convient pas, car $5\times 2,3-2=9,5$ alors que $2\times 2,3+5=9,6$.

   Une lecture graphique ne donne qu’une valeur approchée ; seule la résolution algébrique donne la valeur exacte.

Choisir l'inconnue et comparer deux mises en équation

Un triangle isocèle a un périmètre de 50 cm. Chacun de ses deux côtés égaux mesure 7 cm de plus que sa base. Lina prend pour inconnue la longueur de la base ; Sam prend la longueur d’un des côtés égaux.

1. 1.Écris l’équation de Lina, en précisant ce que représente son inconnue.

   1.5 pt
   Voir la correction

   Soit $x$ la longueur de la base, en cm ; chaque côté égal mesure $x+7$ ; $x+2(x+7)=50$.

   Le périmètre est la somme des trois côtés : la base et deux côtés égaux.

2. 2.Écris l’équation de Sam, en précisant ce que représente son inconnue.

   1.5 pt
   Voir la correction

   Soit $y$ la longueur d’un côté égal, en cm ; la base mesure $y-7$ ; $(y-7)+2y=50$.

   Si les côtés égaux mesurent 7 cm de plus que la base, la base mesure 7 cm de moins qu’eux : une soustraction apparaît.

3. 3.Résous les deux équations et montre qu’elles décrivent le même triangle.

   1.5 pt
   Voir la correction

   Lina : $3x+14=50$, $3x=36$, $x=12$, côtés $19$ cm. Sam : $3y-7=50$, $3y=57$, $y=19$, base $12$ cm.

   Les deux choix conduisent aux mêmes dimensions : une base de 12 cm et deux côtés de 19 cm.

4. 4.Quel choix était le plus commode ? Justifie, puis donne les trois longueurs en contrôlant le périmètre.

   1.5 pt
   Voir la correction

   Celui de Lina : la base, plus petite grandeur, évite la soustraction. La base mesure 12 cm et chaque côté égal 19 cm ; $12+19+19=50$.

   Le cours conseille de prendre la plus petite grandeur ; la phrase de réponse donne les trois côtés et l’unité, contrôlés sur le périmètre.

Modéliser une situation par une inéquation

À midi, la cuve A contient 500 L d’eau et se vide de 12 L par heure. Au même moment, la cuve B contient 140 L et se remplit de 18 L par heure. À partir de quand la cuve B contient-elle plus d’eau que la cuve A ?

1. 1.Nomme une inconnue, puis exprime avec elle le volume de chaque cuve.

   1 pt
   Voir la correction

   Soit $t$ le nombre d’heures écoulées depuis midi : la cuve A contient $500-12t$ litres, la cuve B $140+18t$ litres.

   Chaque heure retire $12$ L à la cuve A et ajoute $18$ L à la cuve B.

2. 2.Traduis la question par une inéquation et résous-la.

   1.5 pt
   Voir la correction

   $140+18t>500-12t$ ; on ajoute $12t$ et on retire $140$ : $30t>360$, donc $t>12$.

   On divise par $30$, positif : le sens ne change pas.

3. 3.Contrôle à la valeur charnière, puis réponds par une phrase.

   1.5 pt
   Voir la correction

   Pour $t=12$, les deux cuves contiennent $356$ L. La cuve B contient plus d’eau que la cuve A dès que l’on dépasse minuit, douze heures après midi.

   À $t=12$ : $500-12\times 12=356$ et $140+18\times 12=356$. L’égalité à la charnière confirme le basculement juste après.