Proportionnalité — Coefficient, pourcentages et vitesse

Prouver ou réfuter une affirmation

Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse, et justifie : par un raisonnement si elle est vraie, par un contre-exemple ou un calcul si elle est fausse.

1. 1.« Deux hausses successives de 10 % font une hausse totale de 21 %. »

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   Vrai : $1,1\times 1,1=1,21$.

   Le coefficient global 1,21 traduit une hausse de 21 %. La seconde hausse porte sur un montant déjà augmenté, d’où 1 % de plus que 20 %.

2. 2.« Pour un même trajet, doubler la vitesse divise la durée par deux : la durée est donc proportionnelle à la vitesse. »

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   Faux : quand la vitesse double, la durée est divisée par deux au lieu de doubler.

   Proportionnel voudrait dire que la durée est multipliée par le même nombre que la vitesse. Exemple : 120 km à 60 km/h prennent 2 h, mais à 120 km/h 1 h, et non 4 h.

3. 3.« Un tarif monte de 40 € à 50 €, puis redescend à 40 € : ces deux variations ont le même pourcentage. »

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   Faux : +25 % à la montée, −20 % à la descente.

   L’écart vaut 10 € les deux fois, mais il se rapporte à la valeur de départ : $\frac{10}{40}=0,25$ puis $\frac{10}{50}=0,2$.

4. 4.« Quand un TGV file à allure régulière, la courbe qui donne le chemin effectué selon le temps écoulé est une droite issue de l’origine. »

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   Vrai : la distance est proportionnelle au temps, de coefficient la vitesse.

   À vitesse constante $v$, $d=v\times t$ : on multiplie toujours le temps par le même nombre. Pour $t=0$, $d=0$ : la droite passe par l’origine.

Repérer, expliquer et corriger des erreurs de raisonnement

La copie du document 1 contient quatre erreurs ; deux lignes sont justes. Pour chaque erreur, indique la ligne, explique ce qui est faux et écris ce qu’il fallait écrire.

Réponse rédigée. Ce que le correcteur attend, critère par critère :

1. 1.Ligne 1 — un test arrêté trop tôt.

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   La troisième colonne donne $26÷10=2,6$, et non 2,5 : le tableau n’est pas proportionnel.

   Le coefficient doit être le même dans toutes les colonnes ; une seule colonne différente suffit à conclure.

2. 2.Ligne 2 — des grandeurs mélangées dans les rapports.

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   $\frac{3}{7,20}=\frac{5}{x}$, donc $x=\frac{5\times 7,20}{3}=12$ €.

   Le contrôle d’ordre de grandeur suffisait : 5 kg ne peuvent pas coûter moins que 3 kg.

3. 3.Ligne 4 — un taux rapporté à la mauvaise valeur.

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   Le taux se calcule sur les 60 € initiaux : $\frac{15}{60}=0,25$, donc −25 %.

   Un taux d’évolution se rapporte toujours à la valeur initiale, ici 60 € et non 45 €.

4. 4.Ligne 6 — une durée mal convertie.

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   1 h 20 min vaut $1+\frac{20}{60}=\frac{4}{3}$ h ; $110÷\frac{4}{3}=82,5$ km/h.

   Vingt minutes font un tiers d’heure, pas 0,2 h. Les lignes 3 et 5 sont justes : × 1,03 pour +3 %, et 0,3 laisse 30 % du prix.

Calculer et interpréter une vitesse moyenne sur un trajet en deux parties

Mme Ferreira fait l’aller-retour entre son village et la ville voisine, distantes de 60 km. À l’aller, elle roule à 60 km/h de moyenne ; au retour, à 90 km/h. Réponds en justifiant chaque étape.

1. 1.Combien de temps durent l’aller, puis le retour ?

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   1 h à l’aller ; 40 min au retour.

   $t=\frac{d}{v}$ : $\frac{60}{60}=1$ h, puis $\frac{60}{90}=\frac{2}{3}$ h, soit 40 min.

2. 2.Quelle est sa vitesse moyenne sur la totalité du trajet aller-retour ?

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   72 km/h

   Distance totale 120 km, durée totale $1+\frac{2}{3}=\frac{5}{3}$ h : $120÷\frac{5}{3}=72$ km/h.

3. 3.Son fils Léo affirme : « La vitesse moyenne, c’est $(60+90)÷2=75$ km/h. » Explique pourquoi il se trompe.

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   Elle roule plus longtemps à 60 km/h (1 h) qu’à 90 km/h (40 min) : la moyenne réelle, 72 km/h, est plus proche de 60.

   La moyenne des deux vitesses donnerait le même poids aux deux parties ; or elles ont la même distance mais pas la même durée. Seul le quotient distance totale sur durée totale est la vitesse moyenne.

4. 4.À quelle vitesse aurait-elle dû rouler au retour pour obtenir une vitesse moyenne de 80 km/h sur l’aller-retour ?

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   120 km/h

   Pour 120 km à 80 km/h, il faut $\frac{120}{80}=1,5$ h au total ; l’aller en a pris 1 h, il reste 0,5 h pour 60 km : $60÷0,5=120$ km/h.

Comparer deux remises et en construire une

Une veste coûte 85 €. Le magasin A affiche « −20 %, puis −10 % supplémentaires en caisse » ; le magasin B affiche « −30 % ». Réponds en justifiant par des coefficients.

1. 1.Quel prix paie-t-on la veste dans chaque magasin ?

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   61,20 € chez A ; 59,50 € chez B.

   A : $85\times 0,8\times 0,9=61,20$. B : $85\times 0,7=59,50$. L’offre B est la plus avantageuse.

2. 2.Quel rabais total, exprimé en pourcentage, le client de A obtient-il vraiment ?

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   28 %

   $0,8\times 0,9=0,72$ : il reste 72 % du prix, donc 28 % de remise, et non 30 %.

3. 3.Après ses −20 %, quelle remise en caisse le magasin A devrait-il faire pour égaler exactement l’offre B ?

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   12,5 %

   Il faut $0,8\times c=0,7$, donc $c=\frac{0,7}{0,8}=0,875$, soit une remise de 12,5 %. Contrôle : $85\times 0,8\times 0,875=59,50$.

Relier échelle et pourcentage d'agrandissement

Une carte de randonnée est à l’échelle 1/50 000. On la photocopie en l’agrandissant de 100 % (réglage « 200 % » de la photocopieuse). Réponds en justifiant.

1. 1.Quelle est l’échelle de la photocopie ?

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   1/25 000

   Agrandir de 100 %, c’est multiplier les longueurs par 2 : 2 cm de la copie représentent 50 000 cm, donc 1 cm en représente 25 000.

2. 2.Un sentier occupe 7 cm sur la copie agrandie. Combien de kilomètres fait-on en le suivant ?

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   1,75 km

   $7\times 25000=175000$ cm, et 100 000 cm font 1 km : 1,75 km. Sur la carte d’origine, il mesurait 3,5 cm.

3. 3.On réduit ensuite la photocopie de 50 %. Retrouve-t-on une carte de la taille de l’originale ? Justifie par les coefficients.

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   Oui : $2\times 0,5=1$, les longueurs retrouvent leur taille d’origine.

   Réduire de 50 %, c’est multiplier par 0,5 : le coefficient global vaut 1, et l’échelle redevient 1/50 000. Une hausse de 100 % se compense par une baisse de 50 %, pas de 100 %.