Fonctions linéaires et affines

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Pour chaque question, coche la seule réponse juste.

1. 1.Laquelle de ces fonctions est linéaire ?

   0.5 pt
   • $k(x)=5-x$
   • $k(x)=-5x$
   • $k(x)=5x+1$
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   $k(x)=-5x$

   Elle s’écrit $ax$ avec $a=-5$ : pas de nombre ajouté. Les deux autres ont une constante ($5$ ou $1$), elles sont affines sans être linéaires.

2. 2.La droite qui représente $f(x)=2x-3$ coupe l’axe des ordonnées au point…

   0.5 pt
   • $(0;2)$
   • $(-3;0)$
   • $(0;-3)$
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   $(0;-3)$

   L’axe des ordonnées est la droite $x=0$, et $f(0)=-3$ : c’est l’ordonnée à l’origine $b$, pas le coefficient 2.

3. 3.La fonction $f(x)=-0,5x+4$ est…

   0.5 pt
   • croissante
   • décroissante
   • constante
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   décroissante

   Son coefficient directeur $-0,5$ est négatif : quand $x$ augmente de 1, $f(x)$ baisse de 0,5. Le nombre 4 ne joue aucun rôle dans le sens de variation.

4. 4.Quand $x$ prend les valeurs 1, 2 et 3, $y$ prend les valeurs 6, 10 et 14. Ce lien entre $x$ et $y$ est…

   0.5 pt
   • linéaire
   • affine non linéaire
   • ni linéaire ni affine
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   affine non linéaire

   Les $y$ augmentent de 4 à chaque fois que $x$ augmente de 1 : c’est la signature de l’affine. Mais $\frac{6}{1}$ et $\frac{10}{2}$ diffèrent : pas de proportionnalité, donc pas linéaire.

5. 5.Une baisse de 35 % revient à multiplier par…

   0.5 pt
   • 0,35
   • 1,35
   • 0,65
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   0,65

   On retire le taux à 1 : $1-0,35=0,65$. Multiplier par 0,35 donnerait le montant de la baisse, pas le prix qui reste.

6. 6.Le nombre $a$ de la droite $(AB)$, avec $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$, s’obtient par…

   0.5 pt
   • $\frac{x_B-x_A}{y_B-y_A}$
   • $\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$
   • $\frac{y_B+y_A}{x_B+x_A}$
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   $\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$

   La montée (différence des ordonnées) au numérateur, l’avance (différence des abscisses) au dénominateur. Le quotient inverse donne un autre nombre plausible, et faux.

7. 7.Pour trouver l’antécédent de 9 par $k(x)=4x+1$, on…

   0.5 pt
   • calcule $4\times 9+1$
   • résout $4x+1=9$
   • calcule $9÷4$
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   résout $4x+1=9$

   On connaît la valeur de sortie 9 et l’on cherche $x$ : c’est une équation. Calculer $4\times 9+1$ donnerait l’image de 9, une autre question.

8. 8.Deux hausses successives de 20 % reviennent à multiplier par…

   0.5 pt
   • 1,4
   • 1,44
   • 0,44
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   1,44

   Les coefficients se multiplient : $1,2\times 1,2=1,44$, soit une hausse de 44 % et non de 40 %. La seconde hausse porte sur un prix déjà augmenté.

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Complète le texte avec les mots de la banque. Quatre mots ne servent pas.

1. 1.Dans l’expression $f(x)=ax+b$, le nombre $a$ s’appelle le  ;

   0.5 pt
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   coefficient directeur

   $a$ dit de combien la droite monte, ou descend, quand on avance de 1 vers la droite : il « dirige » la droite.

2. 2.le nombre $b$ s’appelle l’ : c’est la valeur de $f$ pour $x=0$.

   0.5 pt
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   ordonnée à l’origine

   C’est l’ordonnée du point de la droite situé sur l’axe vertical, là où l’abscisse vaut 0.

3. 3.Lorsque $b=0$, l’expression devient $f(x)=ax$ : elle traduit une situation de .

   0.5 pt
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   proportionnalité

   Sans constante, l’image est toujours $a$ fois le nombre de départ : $a$ est le coefficient de proportionnalité.

4. 4.Si $f(3)=8$, alors 8 est de 3 par la fonction $f$.

   0.5 pt
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   l’image

   Le nombre qui entre est 3, celui qui sort est 8 : ce qui sort s’appelle l’image. Inversement, 3 est un antécédent de 8.

5. 5.Pour enchaîner deux évolutions en pourcentage, les coefficients multiplicateurs se .

   0.5 pt
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   multiplient

   La seconde évolution s’applique au résultat de la première : on multiplie les coefficients, on n’additionne pas les taux.

6. 6.Enfin, une lecture sur un graphique ne donne qu’une valeur .

   0.5 pt
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   approchée

   L’épaisseur du trait et l’œil empêchent une lecture parfaite : seule la résolution par le calcul donne une valeur exacte.

Calculer une image, un antécédent

On considère la fonction $h$ définie par $h(x)=-4x+6$.

1. 1.Calcule $h(-1)$.

   1 pt
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   $h(-1)=10$

   $h(-1)=-4\times (-1)+6=4+6$ : le produit de deux nombres négatifs est positif. 0,5 point pour le calcul posé avec les parenthèses, 0,5 pour le résultat.

2. 2.Calcule l’image de 2,5 par $h$.

   0.5 pt
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   $-4$

   $-4\times 2,5=-10$, puis $-10+6=-4$. On remplace et on calcule : il n’y a rien à résoudre.

3. 3.Détermine l’antécédent de $-14$ par $h$, puis vérifie ta réponse.

   1.5 pt
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   $x=5$

   On résout $-4x+6=-14$ : $-4x=-20$, donc $x=5$. Vérification : $h(5)=-20+6=-14$. 0,5 point pour l’équation, 0,5 pour la résolution, 0,5 pour la vérification.

4. 4.Pour quelle valeur de $x$ a-t-on $h(x)=0$ ?

   1 pt
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   $x=1,5$

   $-4x+6=0$ donne $4x=6$, donc $x=\frac{6}{4}$. Graphiquement, c’est l’abscisse du point où la droite coupe l’axe horizontal.

Lire un graphique

Dans le repère ci-dessous, la droite $(d)$ représente une fonction $f$ et la droite $(d^{\prime })$ une fonction $g$. Réponds par lecture graphique.

1. 1.Laquelle des deux droites traduit une situation de proportionnalité ?

   0.5 pt
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   $(d)$

   $(d)$ passe par l’origine du repère : la fonction $f$ est linéaire, $f(x)=2x$. $(d^{\prime })$ coupe l’axe vertical en 5, sa fonction a une constante.

2. 2.Quelle est la valeur de $g(0)$ sur le graphique ?

   0.5 pt
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   $5$

   $(d^{\prime })$ coupe l’axe des ordonnées au point $(0;5)$ : la valeur de $g$ en $x=0$ est 5.

3. 3.De combien $g(x)$ varie-t-il quand $x$ augmente de 1 ?

   1 pt
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   $-3$

   De $(0;5)$ à $(1;2)$, on avance de 1 et l’on descend de 3 : le coefficient est négatif puisque la droite descend.

4. 4.Déduis-en l’expression de $g(x)$.

   1 pt
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   $g(x)=-3x+5$

   On remplit les deux cases de $ax+b$ séparément : $a=-3$ (question c), $b=5$ (question b). Contrôle : $g(1)=2$, le point $(1;2)$ est bien sur $(d^{\prime })$.

5. 5.Lis graphiquement l’antécédent de $-1$ par $g$.

   1 pt
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   $2$

   On part de $-1$ sur l’axe vertical, on rejoint $(d^{\prime })$, on descend sur l’axe horizontal : on lit 2. Contrôle : $-3\times 2+5=-1$.

Résoudre un problème

Dans une ville, une course en taxi coûte 4 € de prise en charge, puis 1,50 € par kilomètre parcouru. On note $P(d)$ le prix, en euros, d’une course de $d$ kilomètres.

1. 1.Exprime $P(d)$ en fonction de $d$.

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   $P(d)=1,5d+4$

   Chaque kilomètre ajoute 1,50 € : c’est le coefficient directeur. Les 4 € sont dus pour 0 km : c’est l’ordonnée à l’origine.

2. 2.En quel point le graphique de $P$ croise-t-il l’axe vertical ? Que signifie ce nombre pour le client ?

   0.5 pt
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   En $(0;4)$ : la prise en charge.

   $P(0)=4$ : c’est l’ordonnée à l’origine, ce que le client paie avant même de rouler. Cette part fixe rend la fonction affine et non linéaire.

3. 3.Combien coûte une course de 12 km ?

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   22 €

   On calcule une image : $P(12)=1,5\times 12+4=18+4$. Conclusion : une course de 12 km coûte 22 €.

4. 4.Lina a payé 31 €. Quelle distance a-t-elle parcourue ?

   1.5 pt
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   18 km

   On cherche un antécédent : $1,5d+4=31$, donc $1,5d=27$ et $d=27÷1,5=18$. Vérification : $1,5\times 18+4=31$. 0,5 point pour l’équation, 0,5 pour la résolution, 0,5 pour la phrase.

5. 5.Le prix est-il proportionnel à la distance ? Compare le prix de 6 km et celui de 12 km.

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   Non : 13 € et 22 €.

   $P(6)=9+4=13$ : si le prix était proportionnel, 12 km coûteraient deux fois 13 €, soit 26 €, et non 22 €. La prise en charge n’est payée qu’une fois.