Fonctions linéaires et affines

Repérer et corriger une erreur

La copie du document 1 contient quatre erreurs ; une seule ligne est juste. Pour chaque erreur, indique la ligne, explique ce qui est faux et écris la réponse juste, calcul compris.

Réponse rédigée. Ce que le correcteur attend, critère par critère :

1. 1.Ligne 1 — le calcul de $a$ à partir de $C$ et $D$.

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   $a=\frac{13-1}{6-2}=\frac{12}{4}=3$

   L’élève a mis les abscisses au numérateur et obtenu l’inverse du coefficient. La montée, 12, se place en haut, l’avance, 4, en bas. 0,5 point pour l’erreur expliquée, 0,5 pour la correction.

2. 2.Ligne 2 — la valeur de $b$ lue au bord du repère.

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   $b=4-1,5\times 2=1$

   Le bord gauche est à l’abscisse 2, pas 0 : la hauteur 4 est $f(2)$. On calcule $b$ avec le point $(2;4)$ : $4=1,5\times 2+b$.

3. 3.Ligne 3 — l’expression du nouveau salaire.

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   $s(x)=1,06x$

   $0,06x$ est le montant de la prime, pas le salaire après la prime. Le nouveau salaire vaut $x+0,06x$, et son coefficient est proche de 1.

4. 4.Ligne 5 — image et antécédent confondus.

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   On résout $5x-3=2$ : $x=1$.

   L’élève a calculé l’image de 2. L’antécédent de 2 est le nombre dont l’image vaut 2 : $5x=5$, donc $x=1$, et $m(1)=2$ le confirme.

Argumenter et justifier

Pour chaque affirmation, réponds par vrai ou faux, puis justifie : par une démonstration si elle est vraie, par un contre-exemple ou un calcul si elle est fausse.

1. 1.« Dès que $f(x)=ax+b$ vérifie $f(0)=0$, il y a proportionnalité entre $x$ et $f(x)$. »

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   Vrai

   Pour $f(x)=ax+b$, on a $f(0)=b$. Si $f(0)=0$, alors $b=0$ et $f(x)=ax$ : la fonction est linéaire. 0,5 point pour la réponse, 0,5 pour la démonstration.

2. 2.« Pour toute fonction affine $f$, la différence $f(5)-f(2)$ vaut trois fois son coefficient directeur. »

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   Vrai

   $f(5)-f(2)=(5a+b)-(2a+b)=3a$ : $b$ s’élimine. Passer de 2 à 5, c’est avancer de 3, et chaque unité ajoute $a$.

3. 3.« Deux hausses successives de 50 % font doubler un prix. »

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   Faux

   $1,5\times 1,5=2,25$ : le prix est multiplié par 2,25, soit une hausse de 125 %. La seconde hausse porte sur le prix déjà augmenté.

4. 4.« Pour $f(x)=3x-6$, l’équation $f(x)=0$ a pour solution $-6$. »

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   Faux

   $3x-6=0$ donne $x=2$ : la droite coupe l’axe des abscisses en $(2;0)$. Le nombre $-6$ est l’ordonnée à l’origine, lue sur l’autre axe.

5. 5.« Pour annuler une baisse de 20 %, il faut ensuite une hausse de 25 %. »

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   Vrai

   Après la baisse, le prix est multiplié par 0,8 ; pour revenir au départ, il faut multiplier par $\frac{1}{0,8}=1,25$. Contrôle : $0,8\times 1,25=1$.

Résoudre un problème à étapes

On modélise la hauteur d’une jeune pousse de bambou par une fonction affine $h$ : $h(t)$ est sa hauteur en centimètres, $t$ jours après sa plantation. On a mesuré 36 cm au jour 2 et 60 cm au jour 5. Le document 2 représente $h$ sur un repère tronqué.

1. 1.Un élève affirme : « l’ordonnée à l’origine vaut 36 ». Pourquoi a-t-il tort ?

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   Le bord gauche est le jour 2, pas le jour 0.

   Le repère est tronqué : la valeur 36 est $h(2)$, la hauteur au deuxième jour. L’ordonnée à l’origine est $h(0)$, qui n’apparaît pas sur le dessin.

2. 2.De combien de centimètres le bambou grandit-il chaque jour ? Justifie par un calcul.

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   8 cm par jour

   $\frac{60-36}{5-2}=\frac{24}{3}=8$ : la montée sur l’avance. Le bambou grandit de 8 cm chaque jour.

3. 3.Détermine $h(t)$, puis interprète le nombre $b$ pour la pousse de bambou.

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   $h(t)=8t+20$

   $36=8\times 2+b$ donne $b=20$ ; contrôle avec le jour 5 : $8\times 5+20=60$. Le nombre 20 est la hauteur de la pousse le jour de sa plantation, 20 cm.

4. 4.Au bout de combien de jours le bambou atteint-il 1 m ? Réponds par le calcul.

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   10 jours

   1 m = 100 cm : on résout $8t+20=100$, soit $8t=80$ et $t=10$. La lecture sur le document 2 confirme l’ordre de grandeur, mais seul le calcul est exact. 0,5 point pour la conversion et l’équation, 0,5 pour la résolution, 0,5 pour la phrase.

5. 5.« En doublant la durée, on double la hauteur. » Teste cette affirmation entre le jour 5 et le jour 10, puis explique.

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   Faux : 100 cm, et non 120 cm.

   $h(10)=100$ alors que $2\times h(5)=120$. La hauteur n’est pas proportionnelle à la durée : la fonction est affine, avec une hauteur de départ de 20 cm, et non linéaire.

6. 6.De quel pourcentage la hauteur augmente-t-elle entre le jour 5 et le jour 10 ? Arrondis au dixième.

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   Environ 66,7 %

   Le coefficient multiplicateur est $\frac{100}{60}\approx 1,667$ ; le taux est son écart à 1, environ 0,667, soit 66,7 %.

Transférer à une situation nouvelle

Un parking propose trois offres pour un stationnement de $x$ heures. Offre A : 2,40 € par heure. Offre B : 6 € à l’entrée, puis 0,90 € par heure. Offre C : un forfait de 15 €, quelle que soit la durée.

1. 1.Écris le prix de chaque offre pour $x$ heures. Laquelle a un coefficient directeur nul ?

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   $A(x)=2,4x$ ; $B(x)=0,9x+6$ ; $C(x)=15$, de coefficient nul

   A n’a pas de part fixe ; B en a une, 6 € ; C ne dépend pas de la durée : son coefficient directeur est nul et sa droite serait horizontale.

2. 2.Montre que l’offre A est moins chère que l’offre B exactement pour les durées inférieures à 4 heures.

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   $2,4x<0,9x+6⟺x<4$

   $2,4x<0,9x+6$ équivaut à $1,5x<6$, soit $x<4$. À 4 heures, les deux offres coûtent 9,60 €. 0,5 point pour l’inégalité posée, 0,5 pour la résolution, 0,5 pour le contrôle.

3. 3.À partir de quelle durée l’offre C devient-elle plus avantageuse que l’offre B ?

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   Au-delà de 10 heures

   $0,9x+6=15$ donne $0,9x=9$, donc $x=10$. Au-delà, la droite de B passe au-dessus de la droite horizontale de C ; à 10 heures exactement, les deux coûtent 15 €.

4. 4.Conclus : quelle offre conseiller selon la durée de stationnement ?

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   A avant 4 h, B de 4 h à 10 h, C au-delà de 10 h

   A est la moins chère tant que $x<4$, car elle est aussi sous C ($2,4x<15$ pour $x<6,25$). Entre 4 et 10 heures, B est sous A et sous C. Au-delà de 10 heures, C l’emporte.

5. 5.Le parking augmente toutes ses offres de 5 %. Les durées trouvées changent-elles ? Justifie sans refaire les calculs.

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   Non

   Chaque prix est multiplié par 1,05 : deux prix égaux restent égaux, et l’ordre de deux prix se conserve, puisque 1,05 est positif. Les seuils de 4 h et de 10 h ne bougent pas.