Fonctions linéaires et affines

Analyser un tableau, un graphique

Voici trois tableaux de valeurs. Analyse-les à l’aide des quotients $\frac{y}{x}$ et des écarts entre les valeurs.

1. 1.Les quotients $\frac{y}{x}$ du tableau 1 sont-ils égaux ? Déduis-en $y$ à l’aide de $x$.

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   Oui : $y=1,5x$

   $\frac{3}{2}=\frac{7,5}{5}=\frac{12}{8}=1,5$ : les quotients sont égaux, il y a proportionnalité de coefficient 1,5. 0,5 point pour les quotients, 0,5 pour l’expression.

2. 2.Le tableau 2 relève-t-il de la proportionnalité ? Appuie-toi sur deux quotients.

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   Non : $\frac{4}{1}\ne \frac{10}{3}$

   Les quotients ne sont pas égaux : pas de proportionnalité, donc pas de fonction linéaire. Un seul couple de quotients différents suffit à le prouver.

3. 3.Dans le tableau 2, de combien $y$ augmente-t-il quand $x$ augmente de 2 ? Déduis-en l’écriture $y=ax+b$.

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   $y=3x+1$

   Quand $x$ augmente de 2, $y$ augmente de 6 : $a=\frac{6}{2}=3$. Puis $4=3\times 1+b$ donne $b=1$. Contrôle : $3\times 5+1=16$.

4. 4.Les trois points du tableau 3 sont-ils alignés ? Conclus.

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   Non

   Ni linéaire, ni affine. De $x=1$ à $x=2$, $y$ gagne 3 pour une avance de 1 ; de $x=2$ à $x=4$, il gagne 3 pour une avance de 2. Le taux passe de 3 à 1,5 : il n’est pas constant, les points ne sont pas alignés.

Calculer

Une droite passe par les points $A(-2;11)$ et $B(4;-4)$. Elle représente une fonction affine $f$.

1. 1.Détermine $a$ à partir des coordonnées de $A$ et de $B$.

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   $a=-2,5$

   $a=\frac{-4-11}{4-(-2)}=\frac{-15}{6}$. Les ordonnées sont au numérateur, et $4-(-2)=6$. 0,5 point pour la formule, 0,5 pour les soustractions, 0,5 pour le résultat.

2. 2.Déduis-en $b$, puis écris $f(x)$.

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   $f(x)=-2,5x+6$

   Avec $A$ : $11=-2,5\times (-2)+b$, soit $11=5+b$, donc $b=6$.

3. 3.Calcule $f(4)$ : que constates-tu ?

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   $f(4)=-4$, l’ordonnée de $B$

   $-2,5\times 4+6=-10+6$ : on retrouve l’ordonnée de $B$. Le point $B$ n’a servi qu’au coefficient, pas à $b$ : le contrôle n’est pas circulaire.

4. 4.Un camarade trouve $a=-0,4$. Quelle erreur a-t-il faite ?

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   Il a inversé le quotient.

   $\frac{6}{-15}=-0,4$ : il a mis les abscisses au numérateur. Le résultat est l’inverse du bon coefficient, et rien ne le signale, sauf le contrôle sur un point.

5. 5.Résous $f(x)=0$. Que représente la solution pour la droite ?

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   $x=2,4$

   $-2,5x+6=0$ donne $2,5x=6$, donc $x=6÷2,5$. C’est l’abscisse du point où la droite coupe l’axe des abscisses.

Calculer

Un forfait de téléphone augmente de 8 %. On note $p$ son prix avant la hausse, en euros.

1. 1.Exprime le nouveau prix $f(p)$ en fonction de $p$.

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   $f(p)=1,08p$

   Le nouveau prix est $p+0,08p$, soit $1,08p$ : une fonction linéaire, de coefficient le coefficient multiplicateur.

2. 2.Le forfait coûtait 45 €. Quel est son nouveau prix ?

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   48,60 €

   $45\times 1,08=48,6$ : on calcule l’image de 45 par $f$. Le prix s’écrit 48,60 €.

3. 3.Un téléphone subit la même hausse de 8 %, puis une remise de 50 %. Quelle est l’évolution globale ?

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   Une baisse de 46 %.

   $1,08\times 0,5=0,54$ : le prix final vaut 54 % du prix de départ, et $1-0,54=0,46$. Soustraire les taux, 50 − 8, donnerait 42 %, à tort.

4. 4.Après une baisse de 40 %, un article coûte 39 €. Quel était son prix avant la baisse ?

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   65 €

   Le prix de départ $x$ vérifie $0,6x=39$ : c’est l’antécédent de 39 par la fonction linéaire $x\mapsto 0,6x$. $39÷0,6=65$. Contrôle : $65\times 0,6=39$.

Analyser un tableau, un graphique

Les droites $(d)$ et $(d^{\prime })$ représentent les fonctions $f(x)=-0,5x+3$ et $g(x)=1,5x-1$, dans un ordre à retrouver.

1. 1.Quelle droite représente $f$ ? Justifie par deux arguments.

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   $(d)$

   $f$ a pour ordonnée à l’origine 3 et un coefficient négatif : sa droite coupe l’axe vertical en 3 et descend. C’est $(d)$ ; $(d^{\prime })$ coupe l’axe en $-1$ et monte.

2. 2.En quel point les deux droites se coupent-elles ? Déduis-en la solution de $f(x)=g(x)$.

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   $x=2$

   Les deux droites se coupent au point $(2;2)$ : la solution est son abscisse, 2.

3. 3.Résous cette équation par le calcul.

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   $x=2$

   $-0,5x+3=1,5x-1$ donne $4=2x$, donc $x=2$. Le calcul confirme la lecture et la rend certaine.

4. 4.Pour quelles valeurs de $x$ la droite de $f$ est-elle au-dessus de celle de $g$ ?

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   Pour $x<2$

   À gauche du point d’intersection, $(d)$ est au-dessus de $(d^{\prime })$ ; à droite, c’est l’inverse. Contrôle en $x=0$ : $f(0)=3$ et $g(0)=-1$.

5. 5.Où $(d^{\prime })$ coupe-t-elle l’axe horizontal ? Donne une lecture, puis le nombre exact par le calcul.

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   Environ 0,7 ; exactement $\frac{2}{3}$

   $(d^{\prime })$ coupe l’axe horizontal un peu avant 1. Le calcul $1,5x-1=0$ donne $x=\frac{1}{1,5}=\frac{2}{3}$ : un nombre qu’aucune lecture ne peut donner exactement.

Résoudre un problème

Pour un déménagement, Hugo compare deux loueurs d’utilitaire pour une journée. Loueur A : 24 € de forfait, puis 0,30 € par kilomètre. Loueur B : 0,70 € par kilomètre, sans forfait. On note $d$ la distance parcourue en kilomètres. Le document 1 représente les deux tarifs.

1. 1.Exprime le prix $A(d)$ du loueur A et le prix $B(d)$ du loueur B.

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   $A(d)=0,3d+24$ ; $B(d)=0,7d$

   Le forfait de A est payé pour 0 km : c’est son ordonnée à l’origine. B n’a pas de forfait : sa fonction est linéaire.

2. 2.Quelle droite du document 1 représente le tarif du loueur B ? Justifie.

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   $(d^{\prime })$

   Le tarif de B est linéaire : sa droite passe par l’origine. $(d)$ coupe l’axe des prix en 24, la valeur du forfait de A.

3. 3.Calcule le prix de chaque loueur pour 50 km. Lequel est le moins cher ?

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   A : 39 € ; B : 35 € ; B est moins cher.

   $A(50)=0,3\times 50+24=15+24=39$ et $B(50)=0,7\times 50=35$. Pour une petite distance, le forfait de A pèse lourd.

4. 4.Détermine par le calcul la distance pour laquelle les deux loueurs coûtent le même prix.

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   60 km, pour 42 €

   $0,3d+24=0,7d$ donne $24=0,4d$, donc $d=60$. Contrôle : $0,3\times 60+24=42$ et $0,7\times 60=42$. Sur le document 1, c’est le point commun aux deux droites. 0,5 point pour l’équation, 0,5 pour la résolution, 0,5 pour le contrôle.

5. 5.Hugo prévoit 80 km. Quel loueur doit-il choisir ? Rédige ta réponse.

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   Le loueur A.

   Au-delà de 60 km, la droite de A est en dessous de celle de B : A revient moins cher. En effet, $A(80)=48$ € et $B(80)=56$ €. La phrase de conclusion répond à la question posée.