Fractions — Multiplication, division et calculs avancés

Multiplier et diviser des fractions

Calcule chaque expression et donne le résultat sous forme de fraction irréductible (ou d’entier). Écris les étapes.

1. 1.$\frac{21}{40}\times \frac{32}{35}$

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   $\frac{12}{25}$

   21 et 35 ont 7 en commun, 32 et 40 ont 8 : il reste $\frac{3}{5}\times \frac{4}{5}=\frac{12}{25}$. Sans simplifier, on tombait sur $\frac{672}{1400}$.

2. 2.$\frac{9}{14}\times \frac{7}{6}\times \frac{4}{3}$

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   $1$

   En haut $9\times 7\times 4=252$, en bas $14\times 6\times 3=252$ : la fraction vaut 1. En barrant, tout se simplifie.

3. 3.$\frac{16}{27}÷\frac{8}{9}$

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   $\frac{2}{3}$

   $\frac{16}{27}\times \frac{9}{8}$ : 16 et 8 ont 8 en commun, 9 et 27 ont 9. Il reste $\frac{2}{3}$.

4. 4.$\frac{5}{12}÷10$

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   $\frac{1}{24}$

   L’inverse de 10 est $\frac{1}{10}$ : $\frac{5}{12}\times \frac{1}{10}=\frac{5}{120}$, soit $\frac{1}{24}$ après simplification par 5.

5. 5.$\frac{18}{25}÷\frac{27}{10}$

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   $\frac{4}{15}$

   $\frac{18}{25}\times \frac{10}{27}$ : 18 et 27 ont 9 en commun, 10 et 25 ont 5. Il reste $\frac{2\times 2}{5\times 3}=\frac{4}{15}$.

Choisir la méthode selon l'opération

Pour chaque calcul, écris d’abord « dénominateur commun : oui » ou « dénominateur commun : non », puis calcule et simplifie.

1. 1.$\frac{7}{12}+\frac{5}{18}$

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   Oui ; $\frac{21}{36}+\frac{10}{36}=\frac{31}{36}$

   Une somme : il faut des parts de même taille. Le plus petit multiple commun de 12 et 18 est 36, et non 216.

2. 2.$\frac{7}{12}\times \frac{5}{18}$

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   Non ; $\frac{7\times 5}{12\times 18}=\frac{35}{216}$

   Un produit : on multiplie tout droit. Aucun facteur commun entre 35 et 216, la fraction est irréductible.

3. 3.$\frac{11}{15}-\frac{3}{10}$

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   Oui ; $\frac{22}{30}-\frac{9}{30}=\frac{13}{30}$

   Une différence : dénominateur commun 30, le plus petit multiple commun de 15 et 10. On soustrait les seuls numérateurs.

4. 4.$\frac{11}{15}÷\frac{22}{5}$

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   Non ; $\frac{11}{15}\times \frac{5}{22}=\frac{1}{6}$

   Un quotient : on multiplie par l’inverse. 11 se simplifie avec 22 et 5 avec 15, il reste un sixième.

Passer d'une écriture à l'autre pour calculer

Réponds à chaque question en écrivant ton calcul.

1. 1.Effectue $\frac{3}{8}\times 0,4$ après avoir remplacé $0,4$ par une fraction ; écris le produit irréductible, puis sa valeur décimale.

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   $0,4=\frac{2}{5}$ ; $\frac{3}{8}\times \frac{2}{5}=\frac{3}{20}=0,15$

   $0,4=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$ ; le produit vaut $\frac{6}{40}$, soit $\frac{3}{20}$, et $\frac{3}{20}=\frac{15}{100}$.

2. 2.Effectue $1,25÷\frac{5}{8}$ en remplaçant d’abord le décimal par une fraction.

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   $2$

   $1,25=\frac{125}{100}=\frac{5}{4}$, puis $\frac{5}{4}\times \frac{8}{5}=\frac{40}{20}$, soit 2.

3. 3.Quel nombre faut-il multiplier par 8 pour obtenir 5 ? Donne-le en fraction, puis en décimal.

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   $\frac{5}{8}=0,625$

   Par définition du quotient, c’est $\frac{5}{8}$ ; puis $5÷8=0,625$. Contrôle : $0,625\times 8=5$.

Simplifier un produit par la décomposition en facteurs

On veut calculer $\frac{35}{48}\times \frac{36}{49}$. Réponds aux questions dans l’ordre.

1. 1.Décompose chacun des quatre nombres 35, 48, 36 et 49 en un produit de facteurs aussi petits que possible.

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   $35=5\times 7$ ; $48=2\times 2\times 2\times 2\times 3$ ; $36=2\times 2\times 3\times 3$ ; $49=7\times 7$

   On divise par 2 tant que c’est possible, puis par 3, 5, 7. 0,25 point par décomposition juste.

2. 2.Termine le calcul en supprimant les facteurs qui se correspondent d’un étage à l’autre.

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   $\frac{15}{28}$

   On barre un 7, deux 2 et un 3 : $\frac{5\times 3}{2\times 2\times 7}$. En haut il reste $5\times 3=15$, en bas $2\times 2\times 7=28$ ; 15 et 28 n’ont aucun facteur commun.

3. 3.Lou a multiplié avant de simplifier et obtient $\frac{1260}{2352}$. Pourquoi ta méthode est-elle plus sûre ?

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   Les nombres restent petits : il n’y a pas de grand diviseur commun à chercher.

   Pour réduire $\frac{1260}{2352}$, il faut trouver que 84 divise les deux termes : c’est long et l’on s’y trompe. Simplifier avant donne $\frac{15}{28}$ directement.

Modéliser une situation par des fractions

Lis le document 1. Pour chaque question, écris le calcul, puis conclus par une phrase avec l’unité quand il s’agit d’une longueur.

1. 1.Quelle longueur de ruban Inès utilise-t-elle pour les boîtes ?

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   6 m

   « Les deux cinquièmes du rouleau » : on multiplie 15 par $\frac{2}{5}$, soit $\frac{30}{5}$, c’est-à-dire 6.

2. 2.Combien de morceaux obtient-elle ? Avant de calculer, dis si le résultat sera plus grand ou plus petit que 6, puis écris la division.

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   8 morceaux (plus que 6).

   Chaque morceau mesure moins d’un mètre, donc il en tient plus de 6 dans 6 m ; puis $6÷\frac{3}{4}=6\times \frac{4}{3}=8$. 0,5 point pour la prévision, 1 pour la division.

3. 3.Quelle fraction du rouleau reste-t-il après les boîtes ? Quelle fraction du rouleau entier les nœuds utilisent-ils ?

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   $\frac{3}{5}$, puis $\frac{1}{2}$

   $1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}$ ; « les cinq sixièmes de ce qui reste » est un produit : $\frac{5}{6}\times \frac{3}{5}$, et en barrant 5 et 3 il reste $\frac{1}{2}$.

4. 4.Quelle fraction du rouleau n’a pas servi ? Quelle longueur cela représente-t-il ? Vérifie en additionnant les trois longueurs.

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   $1-\frac{2}{5}-\frac{1}{2}=\frac{1}{10}$, soit $1,5$ m ; contrôle : $6+7,5+1,5=15$.

   En dixièmes : $\frac{10}{10}-\frac{4}{10}-\frac{5}{10}=\frac{1}{10}$, et $\frac{1}{10}$ de 15 m vaut $1,5$ m ; les nœuds ont pris la moitié de 15 m, soit $7,5$ m.