Fractions — Multiplication, division et calculs avancés

Repérer une erreur de méthode et la corriger

La copie du document 1 contient quatre lignes fausses ; les deux autres sont justes. Pour chaque erreur, indique la ligne, explique ce qui est faux et écris le calcul juste.

Réponse rédigée. Ce que le correcteur attend, critère par critère :

1. 1.Erreur 1 — l’entier qui multiplie aussi le dénominateur.

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   Ligne 2 : le résultat juste est $\frac{12}{7}$, et non $\frac{12}{21}$, égal à $\frac{4}{7}$.

   3 s’écrit $\frac{3}{1}$ : $3\times \frac{4}{7}=\frac{12}{7}$. En multipliant aussi le dénominateur, Malo a écrit $\frac{12}{21}$, égal à $\frac{4}{7}$ : il n’a rien multiplié du tout. 0,5 pour repérer, 0,5 pour corriger.

2. 2.Erreur 2 — la mauvaise fraction inversée.

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   Ligne 3 : on inverse la seconde fraction : $\frac{2}{9}\times \frac{3}{4}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$.

   Malo a inversé la première fraction et gardé la seconde : c’est un autre calcul, dont le résultat n’a rien à voir.

3. 3.Erreur 3 — une simplification en croix dans une somme.

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   Ligne 5 : on ne barre rien dans une somme ; il faut un dénominateur commun : $\frac{32}{72}+\frac{27}{72}=\frac{59}{72}$.

   Barrer un facteur du haut avec un facteur du bas revient à diviser un produit ; dans une somme, cela change la valeur de chaque terme.

4. 4.Erreur 4 — la division qui « rend plus petit ».

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   Ligne 6 : le bon résultat est 25, car on multiplie par l’inverse $\frac{5}{2}$.

   $10\times \frac{5}{2}=25$ : Malo a multiplié par $\frac{2}{5}$ au lieu de son inverse. Diviser par un nombre inférieur à 1 augmente : dans 10, il tient 25 fois deux cinquièmes.

Démontrer ou réfuter une affirmation

Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse et justifie : un contre-exemple suffit à montrer qu’une affirmation est fausse, un exemple ne suffit pas à prouver qu’elle est vraie.

1. 1.« Le produit de deux fractions comprises entre 0 et 1 est inférieur à chacune d’elles. »

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   Vraie : multiplier par une fraction inférieure à 1, c’est n’en prendre qu’une partie.

   $\frac{a}{b}\times \frac{c}{d}$, ce sont les $\frac{c}{d}$ de $\frac{a}{b}$ : comme $\frac{c}{d}<1$, on en garde moins que le tout ; de même pour l’autre. Exemple de contrôle : $\frac{3}{5}\times \frac{1}{2}=\frac{3}{10}$.

2. 2.Mila affirme : « $\frac{2}{3}$ n’est pas vraiment un nombre, c’est seulement deux parts sur trois. » Réponds-lui en t’appuyant sur la définition du quotient.

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   Elle se trompe : $\frac{2}{3}$ est le quotient de 2 par 3, le nombre qui, multiplié par 3, donne 2.

   C’est donc un nombre, au même titre que 0,75 ou 2 : on peut le multiplier, le diviser, le comparer. « Deux parts sur trois » n’est qu’une de ses trois façons d’être nommé.

3. 3.« Pour additionner deux fractions, on peut additionner les numérateurs et additionner les dénominateurs : $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}$. »

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   Fausse : $\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$, alors que la formule donne $\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$.

   La formule donne une somme égale à l’un des deux termes, ce qui est absurde puisqu’on a ajouté un nombre non nul. Additionner les dénominateurs change la taille des parts.

4. 4.« Diviser un nombre par une fraction donne toujours un résultat plus petit que ce nombre. »

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   Fausse : diviser 4 par $\frac{2}{3}$ donne 6, plus grand que 4.

   $4÷\frac{2}{3}=4\times \frac{3}{2}=6$ : diviser par $\frac{2}{3}$, c’est multiplier par $\frac{3}{2}$, qui est plus grand que 1. Une division ne diminue que si l’on divise par un nombre supérieur à 1.

5. 5.Démontre que, pour tous entiers $a$ et $b$ non nuls, $\frac{a}{b}\times \frac{b}{a}=1$. Que représente $\frac{b}{a}$ pour $\frac{a}{b}$ ?

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   $\frac{a}{b}\times \frac{b}{a}=\frac{a\times b}{b\times a}=1$, car le haut et le bas sont égaux ; $\frac{b}{a}$ est l’inverse de $\frac{a}{b}$.

   La règle du produit donne $a\times b$ en haut et $b\times a$ en bas, deux nombres égaux non nuls. C’est pour cela qu’échanger les termes donne l’inverse.

Retrouver un terme manquant

Retrouve chaque fraction sous forme irréductible en écrivant le calcul qui la donne, puis vérifie ta réponse.

1. 1.Quelle fraction, multipliée par $\frac{5}{6}$, donne $\frac{10}{21}$ ?

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   $\frac{4}{7}$

   On divise le produit par le facteur connu : $\frac{10}{21}÷\frac{5}{6}=\frac{10}{21}\times \frac{6}{5}=\frac{60}{105}=\frac{4}{7}$. Vérification : $\frac{5}{6}\times \frac{4}{7}=\frac{20}{42}=\frac{10}{21}$.

2. 2.Quelle fraction, divisée par $\frac{2}{3}$, donne $\frac{9}{8}$ ?

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   $\frac{3}{4}$

   On remonte en multipliant par $\frac{2}{3}$ : $\frac{9}{8}\times \frac{2}{3}=\frac{18}{24}=\frac{3}{4}$. Vérification : $\frac{3}{4}\times \frac{3}{2}=\frac{9}{8}$.

3. 3.Quelle fraction retrancher de $\frac{7}{9}$ pour qu’il reste $\frac{1}{6}$ ?

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   $\frac{11}{18}$

   Le terme retiré vaut la différence, au dénominateur commun 18 : $\frac{14}{18}-\frac{3}{18}=\frac{11}{18}$. Vérification : $\frac{14}{18}-\frac{11}{18}=\frac{3}{18}=\frac{1}{6}$.

4. 4.Par quelle fraction diviser $\frac{7}{10}$ pour trouver $\frac{7}{4}$ ?

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   $\frac{2}{5}$

   Le diviseur cherché est le quotient : $\frac{7}{10}\times \frac{4}{7}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$. Vérification : $\frac{7}{10}\times \frac{5}{2}=\frac{35}{20}=\frac{7}{4}$.

Résoudre un problème sans aide

Lis le document 2, puis réponds aux questions en détaillant ta démarche.

1. 1.Quelle fraction de l’eau du départ a-t-on utilisée mardi ?

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   $\frac{2}{5}$

   Après lundi, il reste $1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$ de l’eau ; mardi, on en prend les trois cinquièmes : $\frac{3}{5}\times \frac{2}{3}=\frac{6}{15}$, soit $\frac{2}{5}$.

2. 2.Quelle fraction de l’eau du départ reste-t-il mercredi matin ?

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   $1-\frac{1}{3}-\frac{2}{5}=\frac{4}{15}$

   Au dénominateur 15 : $\frac{15}{15}-\frac{5}{15}-\frac{6}{15}=\frac{4}{15}$.

3. 3.Combien de litres d’eau la citerne contenait-elle lundi matin ? Justifie par un calcul.

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   150 L

   Les 40 L restants représentent les $\frac{4}{15}$ du contenu : $40÷\frac{4}{15}=40\times \frac{15}{4}=150$. Vérification : lundi 50 L, mardi les trois cinquièmes de 100 L, soit 60 L, et $50+60+40=150$.

4. 4.Sami affirme : « Lundi et mardi, on a utilisé plus des deux tiers de l’eau. » A-t-il raison ?

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   Oui : $\frac{1}{3}+\frac{2}{5}=\frac{11}{15}$, et $\frac{11}{15}>\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$.

   On réduit au dénominateur 15 pour comparer. On peut aussi raisonner sur les litres : 110 L utilisés, plus que les 100 L qui font les deux tiers de 150 L.

5. 5.On verse les 40 L restants dans des arrosoirs de 2,5 L. Combien d’arrosoirs remplit-on ? Écris le calcul avec une fraction.

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   16 arrosoirs

   Combien de fois 2,5 L tiennent-ils dans 40 L ? C’est une division ; $2,5=\frac{25}{10}=\frac{5}{2}$, et $40÷\frac{5}{2}=40\times \frac{2}{5}=16$.