Fractions — Multiplication, division et calculs avancés

Multiplier deux fractions et simplifier

Calcule et donne le résultat sous forme irréductible.

1. 1.$\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}$

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   $\frac{8}{15}$

   $2\times 4=8$ et $3\times 5=15$. Aucun diviseur commun : c’est déjà irréductible.

2. 2.$\frac{3}{7}\times \frac{2}{9}$

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   $\frac{2}{21}$

   $\frac{6}{63}$, que l’on simplifie par 3. En barrant le 3 avec le 9 d’abord, on écrivait directement $\frac{2}{21}$.

3. 3.$\frac{5}{8}\times 4$

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   $\frac{5}{2}$

   Un entier s’écrit $\frac{4}{1}$ : $\frac{20}{8}$, soit $\frac{5}{2}$ après simplification par 4.

4. 4.$\frac{3}{4}\times \frac{8}{9}$

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   $\frac{2}{3}$

   $\frac{24}{36}$, soit $\frac{2}{3}$. En croix : 3 se simplifie avec 9, et 4 avec 8.

5. 5.$\frac{7}{10}\times \frac{5}{14}$

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   $\frac{1}{4}$

   7 se simplifie avec 14, et 5 avec 10 : il reste $\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}$.

Diviser par une fraction

Calcule et donne le résultat sous forme irréductible.

1. 1.$\frac{3}{5}÷\frac{2}{7}$

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   $\frac{21}{10}$

   On multiplie par l’inverse : $\frac{3}{5}\times \frac{7}{2}=\frac{21}{10}$.

2. 2.$\frac{4}{9}÷\frac{8}{3}$

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   $\frac{1}{6}$

   $\frac{4}{9}\times \frac{3}{8}$ : 4 se simplifie avec 8, et 3 avec 9. Il reste $\frac{1}{6}$.

3. 3.$\frac{5}{6}÷2$

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   $\frac{5}{12}$

   L’inverse de 2 est $\frac{1}{2}$ : $\frac{5}{6}\times \frac{1}{2}=\frac{5}{12}$.

4. 4.$3÷\frac{3}{4}$

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   $4$

   $3\times \frac{4}{3}=\frac{12}{3}=4$. Diviser par une fraction inférieure à 1 augmente : le résultat est cohérent.

Additionner et soustraire des fractions de dénominateurs différents

Calcule et donne le résultat sous forme irréductible.

1. 1.$\frac{3}{4}+\frac{5}{6}$

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   $\frac{19}{12}$

   Le plus petit multiple commun de 4 et 6 est 12, et non 24 : $\frac{9}{12}+\frac{10}{12}=\frac{19}{12}$.

2. 2.$\frac{7}{10}-\frac{2}{15}$

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   $\frac{17}{30}$

   Le plus petit multiple commun de 10 et 15 est 30 : $\frac{21}{30}-\frac{4}{30}=\frac{17}{30}$.

3. 3.$\frac{2}{9}+\frac{5}{6}$

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   $\frac{19}{18}$

   Le plus petit multiple commun de 9 et 6 est 18 : $\frac{4}{18}+\frac{15}{18}=\frac{19}{18}$.

4. 4.$\frac{5}{8}-\frac{1}{6}$

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   $\frac{11}{24}$

   Le plus petit multiple commun de 8 et 6 est 24 : $\frac{15}{24}-\frac{4}{24}=\frac{11}{24}$.

5. 5.$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}$

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   $\frac{3}{4}$

   Douze convient aux trois : $\frac{4}{12}+\frac{3}{12}+\frac{2}{12}=\frac{9}{12}$, soit $\frac{3}{4}$.

Simplifier en croix avant d'effectuer un produit

Simplifie avant de multiplier, en montrant les facteurs barrés.

1. 1.$\frac{12}{35}\times \frac{14}{9}$

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   $\frac{8}{15}$

   12 et 9 ont 3 en commun, 14 et 35 ont 7 : il reste $\frac{4}{5}\times \frac{2}{3}=\frac{8}{15}$.

2. 2.$\frac{9}{20}\times \frac{25}{27}$

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   $\frac{5}{12}$

   9 et 27 ont 9 en commun, 25 et 20 ont 5 : il reste $\frac{1}{4}\times \frac{5}{3}=\frac{5}{12}$.

3. 3.$\frac{22}{15}\times \frac{5}{33}$

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   $\frac{2}{9}$

   22 et 33 ont 11 en commun, 5 et 15 ont 5 : il reste $\frac{2}{3}\times \frac{1}{3}=\frac{2}{9}$.

Repérer une méthode fautive et la corriger

Chaque ligne contient une erreur. Écris la réponse juste.

1. 1.« Pour multiplier $\frac{11}{12}$ par $\frac{4}{9}$, je cherche d’abord un dénominateur commun. »

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   On multiplie directement : $\frac{11\times 4}{12\times 9}$.

   Le dénominateur commun ne sert qu’à l’addition et à la soustraction. Ici il ne fait que grossir les nombres.

2. 2.$\frac{4}{7}÷\frac{5}{3}=\frac{4}{7}\times \frac{5}{3}$

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   $\frac{4}{7}÷\frac{5}{3}=\frac{4}{7}\times \frac{3}{5}$

   Diviser, c’est multiplier par l’inverse de la seconde fraction : il faut échanger son numérateur et son dénominateur.

3. 3.$\frac{3}{4}+\frac{2}{5}=\frac{5}{9}$

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   $\frac{3}{4}+\frac{2}{5}=\frac{23}{20}$

   Le dénominateur ne s’additionne pas : $\frac{15}{20}+\frac{8}{20}=\frac{23}{20}$. Le résultat dépasse 1, ce qui est normal pour deux fractions proches de 1.