Fractions — Multiplication, division et calculs avancés

Connaître les règles de calcul

Pour chaque phrase, coche la seule réponse juste.

1. 1.Pour multiplier $\frac{2}{7}$ par $\frac{3}{5}$…

   0.5 pt
   • on cherche d’abord un dénominateur commun
   • on multiplie 2 par 3, et 7 par 5
   • on additionne 7 et 5
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   on multiplie 2 par 3, et 7 par 5

   La multiplication avance tout droit : $\frac{2\times 3}{7\times 5}=\frac{6}{35}$. Chercher un dénominateur commun ne servirait à rien.

2. 2.Un dénominateur commun est nécessaire pour calculer…

   0.5 pt
   • $\frac{4}{9}\times \frac{2}{3}$
   • $\frac{4}{9}-\frac{2}{3}$
   • $\frac{4}{9}÷\frac{2}{3}$
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   $\frac{4}{9}-\frac{2}{3}$

   Seules l’addition et la soustraction demandent des parts de même taille ; le produit et le quotient s’en passent.

3. 3.L’inverse de $\frac{5}{8}$ est…

   0.5 pt
   • $\frac{3}{8}$
   • $\frac{5}{16}$
   • $\frac{8}{5}$
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   $\frac{8}{5}$

   On obtient l’inverse en échangeant numérateur et dénominateur. $\frac{3}{8}$ est ce qui manque pour aller jusqu’à 1 : ce n’est pas l’inverse.

4. 4.Le quotient de $\frac{3}{10}$ par $\frac{7}{4}$ est égal au produit…

   0.5 pt
   • $\frac{3}{10}\times \frac{4}{7}$
   • $\frac{10}{3}\times \frac{7}{4}$
   • $\frac{10}{3}\times \frac{4}{7}$
   Voir la correction

   $\frac{3}{10}\times \frac{4}{7}$

   On garde la première fraction telle quelle et l’on multiplie par l’inverse de la seconde, et de la seconde seulement.

5. 5.Sans calculer, que peut-on dire du quotient $7÷\frac{1}{3}$ ?

   0.5 pt
   • plus petit que 7
   • égal à 7
   • plus grand que 7
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   plus grand que 7

   On cherche combien de tiers tiennent dans 7 : il y en a 21. Diviser par un nombre inférieur à 1 augmente le résultat.

6. 6.Le nombre $\frac{4}{5}$ est aussi…

   0.5 pt
   • le quotient de 5 par 4
   • le quotient de 4 par 5
   • le nombre 4,5
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   le quotient de 4 par 5

   La barre de fraction est une division : $\frac{4}{5}=4÷5=0,8$. Ce n’est ni 5 divisé par 4, ni le nombre 4,5.

7. 7.Dans « les trois quarts de $\frac{2}{5}$ », le mot « de » indique…

   0.5 pt
   • une addition
   • une multiplication
   • une division
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   une multiplication

   Prendre les trois quarts d’une quantité, c’est la multiplier par $\frac{3}{4}$ : on calcule $\frac{3}{4}\times \frac{2}{5}$.

8. 8.Une fraction est irréductible quand…

   0.5 pt
   • son numérateur est plus petit que son dénominateur
   • 1 est le seul diviseur commun de ses deux termes
   • son dénominateur est impair
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   1 est le seul diviseur commun de ses deux termes

   On ne peut plus diviser le haut et le bas par un même nombre. $\frac{6}{9}$ ne l’est pas (3 divise 6 et 9), $\frac{2}{3}$ l’est.

Calculer avec les quatre opérations

Relie chaque calcul à son résultat irréductible par un trait, puis recopie la lettre dans la case. Deux résultats ne servent pas.

• A$\frac{3}{11}$
• B$\frac{6}{7}$
• C$\frac{1}{4}$
• D$\frac{4}{3}$
• E$\frac{17}{30}$
• F$\frac{4}{27}$
• G$\frac{5}{8}$
• H$\frac{1}{3}$

1. 1.$\frac{2}{5}\times \frac{5}{8}$

   0.5 pt
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   C

   $\frac{2\times 5}{5\times 8}=\frac{10}{40}$, soit $\frac{1}{4}$ ; en barrant 5 avec 5 et 2 avec 8, on l’écrivait aussitôt.

2. 2.$\frac{2}{5}+\frac{1}{6}$

   0.5 pt
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   E

   Dénominateur commun 30 : $\frac{12}{30}+\frac{5}{30}=\frac{17}{30}$. Le résultat A vient des dénominateurs additionnés.

3. 3.$\frac{5}{6}÷\frac{5}{2}$

   0.5 pt
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   H

   $\frac{5}{6}\times \frac{2}{5}=\frac{10}{30}$, soit $\frac{1}{3}$ après simplification par 10.

4. 4.$\frac{7}{8}-\frac{1}{4}$

   0.5 pt
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   G

   8 est déjà multiple de 4 : $\frac{1}{4}=\frac{2}{8}$, et $\frac{7}{8}-\frac{2}{8}=\frac{5}{8}$.

5. 5.$\frac{4}{9}\times 3$

   0.5 pt
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   D

   3 s’écrit $\frac{3}{1}$ : $\frac{12}{9}$, soit $\frac{4}{3}$. Le résultat F vient du 3 placé à tort au dénominateur.

6. 6.$\frac{3}{7}÷\frac{1}{2}$

   0.5 pt
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   B

   L’inverse de $\frac{1}{2}$ est 2 : $\frac{3}{7}\times 2=\frac{6}{7}$, plus grand que $\frac{3}{7}$, comme prévu.

Simplifier avant de multiplier ; réduire au même dénominateur

Complète chaque blanc avec un nombre de la banque. Deux nombres ne servent pas.

1. 1.Avant d’effectuer $\frac{15}{28}\times \frac{14}{25}$, on repère les facteurs communs. On écrit $25=5\times$ .

   0.5 pt
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   5

   $5\times 5=25$ : on fait apparaître le facteur 5, que l’on retrouve dans $15=5\times 3$.

2. 2.On écrit aussi $28=14\times$ .

   0.5 pt
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   2

   $14\times 2=28$ : le facteur 14 du second numérateur se retrouve dans le premier dénominateur.

3. 3.On barre le facteur 5 en haut et en bas, puis le facteur 14 : il reste en bas $2\times 5$, soit .

   0.5 pt
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   10

   Au dénominateur, $28\times 25$ devient $2\times 5$ une fois 14 et 5 barrés, soit 10.

4. 4.En haut, il reste $3\times 1$ : le produit vaut $\frac{3}{10}$, et il est irréductible, car le seul diviseur commun de 3 et de 10 est .

   0.5 pt
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   1

   3 ne divise pas 10 : aucun facteur commun ne subsiste, la fraction $\frac{3}{10}$ est irréductible.

5. 5.Pour la somme $\frac{3}{10}+\frac{5}{12}$, le plus petit nombre à la fois multiple de 10 et de 12 vaut .

   0.5 pt
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   60

   Les multiples de 12 sont 12, 24, 36, 48, 60 : 60 est le premier qui soit aussi multiple de 10. 120 convient aussi, mais il n’est pas le plus petit.

6. 6.Pour passer au dénominateur 60, on multiplie par 6 le haut et le bas de $\frac{3}{10}$ : le nouveau numérateur est .

   0.5 pt
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   18

   $\frac{3\times 6}{10\times 6}=\frac{18}{60}$ : multiplier le haut et le bas ensemble ne change pas la valeur.

7. 7.De même, on multiplie par 5 le haut et le bas de $\frac{5}{12}$ : le nouveau numérateur est .

   0.5 pt
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   25

   $\frac{5\times 5}{12\times 5}=\frac{25}{60}$ : le dénominateur atteint bien 60.

8. 8.Il reste à ajouter 18 et 25, ce qui donne soixantièmes.

   0.5 pt
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   43

   $18+25=43$, d’où $\frac{43}{60}$ ; 43 n’a pas de diviseur commun avec 60, la fraction est irréductible.

Passer d'une fraction à un décimal, et inversement

Réponds à chaque question en écrivant ton calcul.

1. 1.Écris $\frac{7}{4}$ sous forme décimale.

   1 pt
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   $1,75$

   On divise 7 par 4 : $7÷4=1,75$. Contrôle : $1,75\times 4=7$.

2. 2.Écris $0,35$ sous forme de fraction irréductible.

   1 pt
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   $\frac{7}{20}$

   $0,35$, c’est trente-cinq centièmes : $\frac{35}{100}$, que l’on simplifie par 5.

3. 3.Sans poser l’opération, trouve ce que vaut $\frac{11}{6}$ multiplié par 6, et dis pourquoi.

   1 pt
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   $11$

   $\frac{11}{6}$ est le quotient de 11 par 6 : par définition, multiplié par 6, il redonne 11.

4. 4.Range dans l’ordre croissant : $\frac{3}{4}$ ; $0,7$ ; $\frac{4}{5}$.

   1 pt
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   $0,7<\frac{3}{4}<\frac{4}{5}$

   En décimal, $\frac{3}{4}=0,75$ et $\frac{4}{5}=0,8$ ; or $0,7<0,75<0,8$.

Lire et compléter une figure

Le rectangle ci-dessous représente une unité. Réponds aux questions et hachure directement sur la figure.

1. 1.Quelle fraction du rectangle la partie grise représente-t-elle ?

   1 pt
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   $\frac{3}{5}$

   Le rectangle a 5 colonnes de même largeur, et 3 sont grises : la partie grise en représente les trois cinquièmes.

2. 2.Hachure les trois quarts de la partie grise.

   1 pt
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   Trois des quatre lignes de la partie grise, soit 9 cases grises hachurées.

   La partie grise compte 4 lignes de même hauteur : ses trois quarts, ce sont 3 de ces lignes, prises dans les colonnes grises seulement.

3. 3.Combien de cases as-tu hachurées ? Quelle fraction du rectangle entier représentent-elles ?

   1 pt
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   9 cases sur 20 : $\frac{9}{20}$.

   Le rectangle compte $5\times 4=20$ cases de même taille, dont $3\times 3=9$ sont hachurées.

4. 4.Écris la multiplication de deux fractions qui donne ce résultat, puis vérifie-la avec la règle du cours.

   1 pt
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   $\frac{3}{4}\times \frac{3}{5}=\frac{3\times 3}{4\times 5}=\frac{9}{20}$

   « Les trois quarts de trois cinquièmes » se traduisent par $\frac{3}{4}\times \frac{3}{5}$ ; la règle donne bien 9 sur 20, comme le décompte des cases.

5. 5.La partie hachurée est-elle plus grande ou plus petite que la partie grise ? Explique pourquoi on pouvait le prévoir.

   1 pt
   Voir la correction

   Plus petite : on n’en garde que les trois quarts, soit $\frac{9}{20}$ contre $\frac{12}{20}$.

   On ne prend qu’une partie de la zone grise, puisque $\frac{3}{4}$ est inférieur à 1 ; en vingtièmes, $\frac{3}{5}=\frac{12}{20}$ et $9<12$.