Théorème de Pythagore — Applications et réciproque

Employer le vocabulaire du triangle rectangle

Réponds à chaque question.

1. 1.Comment nomme-t-on le côté opposé à l’angle droit ?

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   L’hypoténuse

   Les deux autres s’appellent les côtés de l’angle droit.

2. 2.Est-elle le plus long côté, le plus court, ou cela dépend du triangle ?

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   Toujours le plus long

   Si un côté n’est pas le plus long, ce n’est pas l’hypoténuse : c’est un contrôle immédiat.

3. 3.Pourquoi élève-t-on les longueurs au carré au lieu de les additionner ?

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   Parce que ce sont des aires que l’on additionne.

   Le carré construit sur l’hypoténuse a l’aire des deux autres réunis.

4. 4.Un exemple qui fonctionne suffit-il à prouver le théorème ?

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   Non : il faut une démonstration, qui vaut pour tous les triangles.

   Mille exemples ne prouveraient pas davantage ; une démonstration part de ce qui est admis.

Calculer la longueur de l'hypoténuse

Calcule la longueur demandée, avec son unité.

1. 1.$ABC$ est rectangle en $A$, $AB=9$ cm et $AC=12$ cm. Calcule $BC$.

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   15 cm

   $81+144=225$, et $\sqrt{225}=15$.

2. 2.$ABC$ est rectangle en $A$, $AB=7$ cm et $AC=24$ cm. Calcule $BC$.

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   25 cm

   $49+576=625$, et $\sqrt{625}=25$. C’est le triplet (7 ; 24 ; 25).

3. 3.Quelle est la diagonale d’un carré de 5 cm de côté ?

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   $\sqrt{50}$ cm, soit environ 7,07 cm

   La diagonale coupe le carré en deux triangles rectangles : $25+25=50$.

4. 4.Je cherche l’hypoténuse : j’additionne ou je soustrais ?

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   J’additionne

   L’hypoténuse reste seule de son côté du signe égal.

Calculer un côté de l'angle droit

Calcule la longueur demandée, avec son unité.

1. 1.$ABC$ est rectangle en $A$, $BC=17$ cm et $AB=8$ cm. Calcule $AC$.

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   15 cm

   $289-64=225$, et $\sqrt{225}=15$. C’est le triplet (8 ; 15 ; 17).

2. 2.$ABC$ est rectangle en $A$, $BC=20$ cm et $AB=16$ cm. Calcule $AC$.

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   12 cm

   $400-256=144$, et $\sqrt{144}=12$.

3. 3.Une échelle de 5 m s’appuie contre un mur, son pied à 3 m du mur. À quelle hauteur touche-t-elle ?

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   4 m

   L’échelle est l’hypoténuse : $25-9=16$, et $\sqrt{16}=4$.

4. 4.Je cherche un côté de l’angle droit : que soustrait-on exactement ?

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   Les carrés, jamais les longueurs.

   Retirer une longueur d’une autre donne un résultat qui a l’air d’une réponse.

Démontrer qu'un triangle est rectangle, ou qu'il ne l'est pas

Mène les deux calculs, compare, et conclus par une phrase.

1. 1.$AB=9$ cm, $AC=40$ cm, $BC=41$ cm. Le triangle est-il rectangle ?

   1 pt
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   Oui, rectangle en $A$.

   D’un côté $41^2=1681$ ; de l’autre $81+1600=1681$. Les deux sont égaux.

2. 2.$AB=5$ cm, $AC=7$ cm, $BC=9$ cm. Le triangle est-il rectangle ?

   1 pt
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   Non.

   D’un côté $81$ ; de l’autre $25+49=74$. Les deux diffèrent.

3. 3.Quel côté faut-il repérer avant tout calcul ?

   1 pt
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   Le plus grand

   C’est le seul qui puisse être l’hypoténuse, et il se met seul d’un côté.

4. 4.Pourquoi mener les deux calculs séparément ?

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   Écrire l’égalité d’emblée supposerait vrai ce que l’on cherche à démontrer.

   On calcule deux nombres, puis on constate — on ne postule pas.

5. 5.Que conclut-on lorsque les deux résultats diffèrent ?

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   Que le triangle n’est pas rectangle.

   La réciproque tranche dans les deux sens : c’est ce qui en fait un outil de démonstration.

Repérer un calcul faux et le corriger

Chaque calcul est faux. Écris le bon.

1. 1.« L’hypoténuse vaut 26 et un côté vaut 10, donc l’autre côté vaut $26-10=16$. »

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   $676-100=576$, et $\sqrt{576}=24$.

   On soustrait les carrés : la réponse est 24, pas 16.

2. 2.« $B{C}^2=144$, donc $BC=144$ cm. »

   1 pt
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   $BC=12$ cm

   Le nombre obtenu est un carré : il reste à prendre la racine.

3. 3.« La hauteur vaut $\sqrt{45}\approx 6,7$ ; je continue le problème avec 6,7. »

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   Il faut garder la valeur exacte et n’arrondir qu’à la dernière ligne.

   Chaque arrondi ajoute son erreur à la suivante, et le résultat final peut être faux à l’unité.