Théorème de Pythagore — Applications et réciproque

Repérer une erreur et la corriger

La copie du document 1 contient quatre erreurs de raisonnement. Pour chacune, indique les lignes, explique ce qui est faux et écris ce qu’il fallait faire, calcul compris.

Réponse rédigée. Ce que le correcteur attend, critère par critère :

1. 1.Lignes 1 et 2 — la réciproque menée sur un côté qui n’est pas le plus grand.

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   Le plus grand côté est $[AC]$. On compare $A{C}^2=841$ et $A{B}^2+B{C}^2=400+441=841$ : $ABC$ est rectangle en $B$.

   Seul le plus grand côté peut être l’hypoténuse ; avec le bon côté, la conclusion de Nora s’inverse. 0,5 point pour l’erreur, 0,5 pour la correction.

2. 2.Lignes 3 et 4 — l’hypoténuse mal repérée.

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   Le sommet $D$ fait face à $[EF]$, l’hypoténuse. $D{F}^2=7225-169=7056$, donc $DF=84$ cm.

   Le côté opposé à $D$ est $[EF]$, et il est connu : on soustrait. Trouver 86 cm, plus que l’hypoténuse de 85 cm, était impossible.

3. 3.Lignes 5 et 6 — l’égalité écrite avant d’être établie.

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   Calculer séparément $K{M}^2=7225$ et $K{L}^2+L{M}^2=1296+5929=7225$, puis comparer et conclure : rectangle en $L$.

   En partant de l’égalité, Nora suppose vrai ce qu’elle veut prouver ; seuls deux calculs séparés, puis comparés, démontrent l’angle droit.

4. 4.Ligne 7 — des cas particuliers pris pour une preuve générale.

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   Deux cas vérifiés ne suffisent pas : il faut un raisonnement qui vaille pour n’importe quel triangle rectangle.

   Une vérification ne traite que les nombres choisis ; une démonstration part de ce qui est admis et conclut pour tous les cas.

Argumenter

Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse, puis justifie : par un calcul, un contre-exemple ou une propriété du cours. Une réponse sans justification ne rapporte aucun point.

1. 1.« Si l’on ajoute 1 cm à chacun des trois côtés d’un triangle rectangle, on obtient encore un triangle rectangle. »

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   Faux : le triangle 3-4-5 devient 4-5-6, et $6^2=36$ alors que $4^2+5^2=41$.

   Un seul contre-exemple suffit. Multiplier les côtés conserve l’angle droit ; leur ajouter un même nombre, non.

2. 2.« Lorsque $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$, l’angle droit de $ABC$ est situé en $B$. »

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   Faux : c’est en $A$, face à $[BC]$.

   Le carré isolé est celui de $BC$ : $[BC]$ est l’hypoténuse, et l’angle droit est au sommet qui lui fait face, $A$.

3. 3.« (2,5 ; 6 ; 6,5) n’est pas un triplet pythagoricien, donc un triangle de côtés 2,5 cm, 6 cm et 6,5 cm n’est pas rectangle. »

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   Faux : $6,25+36=42,25$, le carré de 6,5 ; la réciproque s’applique.

   Ce n’est pas un triplet seulement parce que 2,5 et 6,5 ne sont pas entiers ; la réciproque, elle, s’applique à tout triangle.

4. 4.« Dans un triangle isocèle dont les deux côtés égaux mesurent 37 cm et la base 24 cm, la hauteur issue du sommet principal mesure 35 cm. » On admet que cette hauteur coupe la base en son milieu.

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   Vrai : $37^2-12^2=1369-144=1225$, qui est le carré de 35.

   La hauteur coupe le triangle isocèle en deux triangles rectangles d’hypoténuse 37 cm et de côté 12 cm, la moitié de la base.

Résoudre un problème à étapes

Un pré a la forme du triangle $PQR$ de la figure : $PQ=65$ m, $QR=72$ m et $PR=97$ m. $H$ est le point de $[PR]$ tel que $(QH)$ est perpendiculaire à $(PR)$. Rédige chaque réponse.

1. 1.Démontre que le pré a un angle droit, et précise en quel sommet.

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   $P{R}^2=9409$ et $P{Q}^2+Q{R}^2=4225+5184=9409$ : $PQR$ est rectangle en $Q$.

   $[PR]$ est le plus grand côté ; les deux calculs séparés donnent le même nombre. L’angle droit est en $Q$, en face de $[PR]$.

2. 2.Déduis-en l’aire du pré.

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   $65\times 72÷2=2340$ m².

   Rectangle en $Q$, le triangle est la moitié d’un rectangle de 65 m sur 72 m : c’est la réciproque qui autorise ce calcul.

3. 3.On creuse un fossé de $Q$ à $H$. En écrivant l’aire du pré d’une autre façon, calcule $QH$ au centimètre près.

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   $97\times QH÷2=2340$, donc $QH=4680÷97\approx 48,25$ m.

   $[QH]$ est la hauteur relative à la base $[PR]$ : l’aire vaut aussi $PR\times QH÷2$. Pythagore seul ne suffisait pas ici.

4. 4.Calcule $PH$ au centimètre près, dans le triangle $PQH$, sans arrondir $QH$ avant la fin.

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   $P{H}^2=65^2-Q{H}^2$ avec $QH=4680÷97$ gardé en mémoire : $PH\approx 43,56$ m.

   $PQH$ est rectangle en $H$ et son hypoténuse $[PQ]$ est connue : on soustrait les carrés. La valeur exacte vaut $4225÷97\approx 43,557$.

5. 5.Un camarade remplace $QH$ par 48,25 et trouve $PH\approx 43,55$ m. D’où vient l’écart ? Quelle valeur est la bonne ?

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   De l’arrondi de $QH$ fait trop tôt ; la bonne valeur est 43,56 m.

   Avec 48,25, on soustrait $2328,0625$ au lieu de la valeur exacte : l’erreur d’arrondi se propage et change le centième.

Comprendre une démonstration

Les figures 1 et 2 sont deux carrés de côté $a+b$. Chacun contient quatre triangles gris identiques, rectangles, de côtés de l’angle droit $a$ et $b$, et d’hypoténuse $c$. On admet que la partie blanche de la figure 1 est un carré de côté $c$.

1. 1.Pourquoi les figures 1 et 2 ont-elles la même aire ?

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   Ce sont deux carrés de même côté, $a+b$.

   L’aire d’un carré ne dépend que de son côté : deux carrés de côté $a+b$ ont la même aire.

2. 2.Compare l’aire grise totale des deux figures. Justifie.

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   Elle est la même : les quatre pièces grises sont identiques.

   Les triangles gris sont les mêmes, seulement déplacés : déplacer une pièce ne change pas son aire.

3. 3.Exprime l’aire blanche de chaque figure, puis déduis-en une égalité.

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   Figure 1 : $c^2$ ; figure 2 : $a^2+b^2$ ; donc $c^2=a^2+b^2$.

   Même aire totale moins même aire grise donne la même aire blanche : le carré de côté $c$ d’un côté, deux carrés de côtés $a$ et $b$ de l’autre.

4. 4.Pourquoi ce raisonnement démontre-t-il le théorème, alors que le calcul 9 + 16 = 25 ne le démontre pas ?

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   Il est mené avec des lettres et ne s’appuie que sur des aires admises ; 9 + 16 = 25 ne traite qu’un cas.

   $a$ et $b$ sont quelconques : la conclusion vaut pour tout triangle rectangle. Un calcul numérique ne vérifie que le triangle choisi.