Théorème de Pythagore — Applications et réciproque

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Pour chaque question, coche la seule réponse juste.

1. 1.On code d’un petit carré le sommet de l’angle droit. Les deux segments issus de ce sommet s’appellent…

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   • les côtés de l’angle droit
   • les hypoténuses
   • les diagonales
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   les côtés de l’angle droit

   Le troisième côté, opposé à l’angle droit, est le seul à porter un nom propre : l’hypoténuse.

2. 2.$RST$ est rectangle en $S$. Son hypoténuse est…

   0.5 pt
   • [RT]
   • [RS]
   • [ST]
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   [RT]

   L’hypoténuse est le côté qui ne passe pas par $S$, le sommet de l’angle droit : c’est $[RT]$.

3. 3.$KLM$ est rectangle en $L$. L’égalité de Pythagore s’écrit…

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   • KM² = KL² + LM²
   • KL² = KM² + LM²
   • LM² = KL² + KM²
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   KM² = KL² + LM²

   L’hypoténuse $[KM]$ est opposée à $L$ : son carré est seul d’un côté du signe égal.

4. 4.Les trois longueurs d’un triangle rectangle sont 60 mm, 11 mm et 61 mm. Son hypoténuse mesure…

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   • 61 mm
   • 60 mm
   • on ne peut pas le savoir sans figure
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   61 mm

   L’hypoténuse est toujours le plus long côté : pas besoin de figure, 61 mm est la plus grande longueur.

5. 5.(3 ; 4 ; 5) est un triplet pythagoricien. Lequel de ces triplets en est un aussi ?

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   • (6 ; 8 ; 10)
   • (4 ; 5 ; 6)
   • (3 ; 4 ; 6)
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   (6 ; 8 ; 10)

   C’est (3 ; 4 ; 5) multiplié par 2 : les trois carrés sont multipliés par 4, l’égalité reste vraie ($36+64=100$).

6. 6.Un calcul donne $E{F}^2=64$. La longueur $EF$, en centimètres, vaut…

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   • 8 cm
   • 32 cm
   • 64 cm
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   8 cm

   64 est le carré de la longueur : il faut sa racine carrée, $\sqrt{64}=8$, et non sa moitié.

7. 7.Dans la démonstration par les aires, les nombres 9, 16 et 25 désignent…

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   • les aires des carrés construits sur les côtés
   • les longueurs des côtés
   • les périmètres des carrés
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   les aires des carrés construits sur les côtés

   Sur un triangle de côtés 3, 4 et 5, les carrés construits sur les côtés ont pour aires 9, 16 et 25 : on additionne des aires.

8. 8.Pour démontrer qu’un triangle est rectangle quand on connaît ses trois longueurs, on utilise…

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   • la réciproque du théorème de Pythagore
   • le théorème de Pythagore lui-même
   • une mesure au rapporteur
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   la réciproque du théorème de Pythagore

   Le théorème part d’un angle droit connu ; c’est sa réciproque qui permet de l’établir à partir des longueurs.

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Complète le texte avec les mots de la banque. Quatre mots ne servent pas.

1. 1.Constater l’égalité sur un seul cas ne prouve rien en général : il faut une , valable quelles que soient les longueurs.

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   démonstration

   Un exemple qui marche ne prouve rien, mille non plus : seule une démonstration vaut pour tous les cas.

2. 2.Une démonstration part de ce qui est déjà et ne suppose jamais la conclusion.

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   admis

   Pour Pythagore, ce qui est admis, c’est le calcul de l’aire d’un carré ; la conclusion n’est jamais supposée.

3. 3.La relation entre les trois carrés était connue des près de mille ans avant Pythagore.

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   Babyloniens

   Le théorème porte le nom de Pythagore, mais la relation était connue bien avant lui, des Babyloniens.

4. 4.Doubler chacune des longueurs d’un triplet multiplie chacun de ses carrés par .

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   4

   Un carré de côté doublé a une aire multipliée par $2\times 2=4$ : c’est pourquoi un multiple d’un triplet en est un aussi.

5. 5.$\sqrt{27}$ n’est pas un nombre entier : on garde cette valeur dans tous les calculs.

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   exacte

   $\sqrt{27}\approx 5,20$ n’est qu’une valeur approchée ; chaque arrondi ajoute son erreur à la suivante.

6. 6.On n’arrondit qu’à la ligne, à la précision demandée par l’énoncé.

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   dernière

   Arrondir dès la première ligne peut fausser le résultat final, même quand chaque étape semble juste.

7. 7.Quand les deux calculs de la réciproque coïncident, le sommet à la plus grande longueur porte l’angle droit.

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   opposé

   Le plus grand côté joue le rôle de l’hypoténuse : l’angle droit est en face de lui.

8. 8.Le théorème de Pythagore ne fait intervenir que des  ; pour les angles, la trigonométrie prendra le relais en troisième.

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   longueurs

   Ni l’égalité ni la réciproque ne contiennent de mesure d’angle : seulement des longueurs et leurs carrés.

Repérer l'hypoténuse

Observe le document 1. Pour chaque triangle, nomme l’hypoténuse, écris l’égalité de Pythagore avec les lettres, puis indique s’il faudra additionner ou soustraire pour trouver la longueur marquée « ? ». Ne calcule pas encore.

1. 1.Le triangle $EFG$.

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   Hypoténuse $[EG]$ ; $E{G}^2=E{F}^2+F{G}^2$ ; on additionne.

   L’angle droit est en $F$ ; $[EG]$ lui fait face. C’est elle qui est inconnue : la somme des deux carrés la donne.

2. 2.Le triangle $HIJ$.

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   Hypoténuse $[HI]$ ; $H{I}^2=H{J}^2+I{J}^2$ ; on soustrait.

   L’angle droit est en $J$ ; $[HI]$ est l’hypoténuse et elle est donnée (50 cm) : l’inconnue $IJ$ s’obtient par une soustraction de carrés.

3. 3.Le triangle $UVW$.

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   Hypoténuse $[UV]$ ; $U{V}^2=U{W}^2+V{W}^2$ ; on soustrait.

   L’angle droit est en $W$ ; l’hypoténuse $[UV]$ mesure 7 cm, elle est connue : on cherche un côté de l’angle droit.

Calculer une longueur

Calcule les longueurs marquées « ? » sur le document 1, avec leur unité, puis traite la question d.

1. 1.Calcule $EG$.

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   $E{G}^2=16^2+30^2=256+900=1156$, donc $EG=\sqrt{1156}=34$ cm.

   Hypoténuse cherchée : on additionne les carrés, puis on prend la racine ; 34 cm est bien plus long que 30 cm.

2. 2.Calcule $IJ$.

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   $I{J}^2=50^2-14^2=2500-196=2304$, donc $IJ=48$ cm.

   Hypoténuse connue : on soustrait les carrés. 48 cm est plus court que l’hypoténuse de 50 cm, ce qui est rassurant.

3. 3.Calcule $VW$ : valeur exacte, puis arrondi au dixième.

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   $V{W}^2=7^2-4^2=49-16=33$, donc $VW=\sqrt{33}$ cm $\approx 5,7$ cm.

   33 n’est pas un carré parfait : $\sqrt{33}$ est la valeur exacte, et l’arrondi ($\sqrt{33}\approx 5,74$) ne vient qu’à la fin.

4. 4.$RT=15$ cm, $TZ=36$ cm et $RZ=39$ cm : $RTZ$ est-il rectangle ?

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   $R{Z}^2=1521$ et $R{T}^2+T{Z}^2=225+1296=1521$ : oui, en $T$.

   Les deux calculs, menés séparément, donnent le même nombre : par la réciproque, l’angle droit est en $T$, le sommet opposé à $[RZ]$.

Résoudre un problème

Un terrain de sport a la forme du rectangle $ABCD$ du document 2, de 40 m sur 20 m. Hugo va de $A$ à $C$ en ligne droite ; Inès va de $A$ à $C$ en longeant les bords, par $B$. Réponds aux questions dans l’ordre.

1. 1.Quel triangle rectangle la diagonale $[AC]$ découpe-t-elle dans le terrain ? Justifie l’angle droit.

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   $ABC$, avec l’angle droit en $B$.

   $ABCD$ est un rectangle : ses quatre angles sont droits, celui en $B$ compris. La diagonale le coupe en deux triangles rectangles.

2. 2.Nomme l’hypoténuse de $ABC$. Sans aucun calcul, prouve que $AC$ dépasse forcément 40 m.

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   $[AC]$ ; comme hypoténuse, elle l’emporte sur $AB=40$ m.

   $[AC]$ est opposée à l’angle droit en $B$ : comme hypoténuse, elle est plus longue que chacun des deux autres côtés.

3. 3.Calcule $A{C}^2$.

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   $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2=1600+400=2000$.

   L’hypoténuse est cherchée : on additionne les carrés de 40 et de 20.

4. 4.Donne la valeur exacte de $AC$, puis son arrondi au dixième de mètre.

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   $AC=\sqrt{2000}$ m $\approx 44,7$ m.

   2000 n’est pas le carré d’un entier : on écrit la racine, puis on arrondit ($\sqrt{2000}\approx 44,72$).

5. 5.Combien de mètres Hugo parcourt-il de moins qu’Inès ? Arrondis au dixième.

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   Inès : $40+20=60$ m ; écart : $60-\sqrt{2000}\approx 15,3$ m.

   On garde $\sqrt{2000}$ jusqu’au bout ($60-44,72\approx 15,28$), puis on arrondit au dixième ; on conclut par une phrase.