Théorème de Pythagore — Applications et réciproque

Calculer une longueur

Aucune figure n’est donnée : fais un schéma à main levée, code l’angle droit, puis réponds.

1. 1.$PQ=2,1$ cm, $QR=2,8$ cm et $(PQ)\perp (QR)$. Trouve la longueur $PR$.

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   $P{R}^2=4,41+7,84=12,25$, donc $PR=3,5$ cm.

   $[PR]$ est opposée à l’angle droit en $Q$ : c’est l’hypoténuse cherchée, on additionne les carrés.

2. 2.$YZ=5,1$ cm, $XZ=4,5$ cm et $(XY)\perp (XZ)$. Trouve la longueur $XY$.

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   $X{Y}^2=26,01-20,25=5,76$, donc $XY=2,4$ cm.

   L’angle droit est en $X$ : l’hypoténuse est $[YZ]$, donnée. On cherche un côté de l’angle droit, on soustrait les carrés.

3. 3.Pour $XY$, Théo annonce 0,6 cm. Retrouve son calcul et explique son erreur.

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   Il a calculé $5,1-4,5=0,6$ : il a soustrait les longueurs.

   Il fallait soustraire les carrés ($26,01-20,25$) puis prendre la racine : on trouve 2,4 cm, quatre fois plus.

Trouver l'angle droit dans une figure

$ABCD$ est un losange de centre $O$ tel que $AC=42$ cm et $BD=40$ cm. On rappelle que les diagonales d’un losange sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu.

1. 1.Pourquoi le triangle $AOB$ est-il rectangle ? En quel sommet ?

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   Il est rectangle en $O$, car les diagonales sont perpendiculaires.

   Un angle droit se justifie par une propriété, ici celle des diagonales du losange, et non par l’aspect de la figure.

2. 2.Donne $OA$ et $OB$, en justifiant.

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   $OA=21$ cm et $OB=20$ cm.

   Les diagonales se coupent en leur milieu : $OA$ est la moitié de $AC$, $OB$ la moitié de $BD$.

3. 3.Calcule $AB$.

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   $A{B}^2=21^2+20^2=441+400=841$, donc $AB=29$ cm.

   Dans $AOB$ rectangle en $O$, $[AB]$ est l’hypoténuse : on additionne les carrés, puis on prend la racine.

4. 4.Déduis-en le périmètre du losange.

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   $4\times 29=116$ cm.

   Les quatre côtés d’un losange ont la même longueur : le périmètre vaut quatre fois $AB$.

Démontrer avec la réciproque

Pour chaque triangle, mène séparément les deux calculs, compare, puis conclus par une phrase.

1. 1.$LMN$ : $LM=4,5$ cm, $MN=6$ cm et $LN=7,5$ cm.

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   $L{N}^2=56,25$ et $L{M}^2+M{N}^2=20,25+36=56,25$ : $LMN$ est rectangle en $M$.

   $[LN]$ est le plus grand côté. Les deux résultats sont égaux : par la réciproque, l’angle droit est en $M$, en face de $[LN]$.

2. 2.$RST$ : $RS=5$ cm, $ST=9$ cm et $RT=10,3$ cm.

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   $R{T}^2=106,09$ et $R{S}^2+S{T}^2=25+81=106$ : $RST$ n’est pas rectangle.

   Les deux résultats diffèrent : s’il était rectangle, le théorème donnerait l’égalité. Le triangle n’a donc pas d’angle droit.

3. 3.Les deux résultats pour $RST$ ne diffèrent que de 0,09. Peut-on dire que $RST$ est rectangle « à peu près », et lui appliquer le théorème de Pythagore ?

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   Non : sans égalité exacte, pas d’angle droit, donc pas de théorème.

   La réciproque exige une égalité exacte. Le théorème ne s’applique que dans un triangle rectangle, et $RST$ n’en est pas un.

Trouver l'angle droit dans une figure

Un panneau de signalisation a la forme d’un triangle équilatéral $ABC$ de 70 cm de côté. $H$ est le pied de la hauteur issue de $A$. On rappelle que l’aire d’un triangle vaut base × hauteur ÷ 2.

1. 1.Pourquoi $BH=35$ cm ?

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   Parce que $H$ est le milieu de $[BC]$ : $70÷2=35$.

   Dans un triangle équilatéral, la hauteur issue d’un sommet tombe au milieu du côté opposé.

2. 2.Quel triangle de la figure permet d’obtenir $AH$ ? Précise où se trouve son angle droit, et lequel de ses côtés est l’hypoténuse.

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   Dans $ABH$, rectangle en $H$ ; hypoténuse $[AB]$.

   La hauteur $(AH)$ est perpendiculaire à $(BC)$ : l’angle droit est en $H$, et le côté qui lui fait face est $[AB]$, de 70 cm.

3. 3.Détermine $AH$ sous la forme $\sqrt{\dots }$, puis au millimètre près.

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   $A{H}^2=70^2-35^2=4900-1225=3675$, donc $AH=\sqrt{3675}$ cm $\approx 60,6$ cm.

   L’hypoténuse est connue : on soustrait les carrés. 3675 n’est pas un carré parfait ($\sqrt{3675}\approx 60,62$).

4. 4.Déduis-en l’aire du panneau au cm² près, sans arrondir $AH$ en route.

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   $70\times \sqrt{3675}÷2\approx 2122$ cm².

   On utilise $\sqrt{3675}$ gardé en mémoire ($\approx 2121,8$) et l’on n’arrondit qu’à cette dernière ligne.

5. 5.Lucas a arrondi $AH$ à 61 cm dès le début. Quelle aire trouve-t-il ? Que montre l’écart avec ton résultat ?

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   $70\times 61÷2=2135$ cm², soit 13 cm² de trop.

   Un arrondi d’à peine 4 mm sur la hauteur, multiplié ensuite par 35, fausse l’aire de 13 cm² : on n’arrondit qu’à la fin.

Analyser un résultat

Sur chaque côté d’un triangle rectangle, on a construit un carré. Les aires des deux plus petits sont indiquées sur la figure.

1. 1.Quelle est l’aire du carré construit sur l’hypoténuse ? Justifie.

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   $576+1024=1600$ cm².

   Dans un triangle rectangle, le carré construit sur l’hypoténuse a pour aire la somme des aires des deux autres carrés.

2. 2.Déduis-en la longueur de l’hypoténuse, puis celles des deux plus courts.

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   40 cm, puis 24 cm et 32 cm.

   Le côté d’un carré est la racine de son aire : $\sqrt{1600}=40$, $\sqrt{576}=24$ et $\sqrt{1024}=32$.

3. 3.Ce triangle est un agrandissement du triangle de côtés 3, 4 et 5. Par quel nombre a-t-on multiplié les longueurs ?

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   Par 8.

   $3\times 8=24$, $4\times 8=32$ et $5\times 8=40$ : (24 ; 32 ; 40) est un multiple du triplet (3 ; 4 ; 5).

4. 4.Par combien les aires des trois carrés ont-elles été multipliées ? Explique pourquoi sans refaire les calculs.

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   Par 64, c’est-à-dire $8\times 8$.

   Le côté de chaque carré est multiplié par 8, donc son aire par $8\times 8=64$ : en effet $9\times 64=576$ et $16\times 64=1024$.