Calcul : Priorités, parenthèses et ordre des opérations

Prouver ou réfuter une affirmation sur le calcul

Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse, et justifie : un contre-exemple suffit pour une affirmation fausse.

1. 1.« Dans un calcul sans parenthèses, on effectue toujours les opérations de gauche à droite. »

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   Faux. Contre-exemple : $3+5\times 2$ vaut 13, et non 16.

   La multiplication passe avant l’addition. La lecture de gauche à droite ne vaut qu’entre deux opérations de même priorité.

2. 2.« Le produit de deux décimaux qui ne sont pas des entiers n’est jamais un entier. »

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   Faux. Contre-exemple : $2,5\times 0,4=1$.

   $25\times 4=100$, avec deux chiffres après la virgule : 1,00, c’est-à-dire 1. Les zéros de droite disparaissent.

3. 3.« Pour arrondir au dixième, on peut d’abord arrondir au centième : on trouve le même résultat. »

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   Faux. Contre-exemple : 0,647 arrondi au dixième donne 0,6 ; en passant par 0,65, on trouverait 0,7.

   Le chiffre des centièmes du nombre de départ est 4 : on garde 0,6. Le premier arrondi a fabriqué un 5 que le nombre ne contenait pas.

4. 4.« Quand une division euclidienne a un reste non nul, la réponse au problème est toujours le quotient augmenté de 1. »

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   Faux. Contre-exemple : avec 50 €, on achète des places à 8 € ; $50=8\times 6+2$, on peut en payer 6, pas 7.

   C’est le contexte qui décide : pour tout transporter, on prend le quotient augmenté de 1 ; pour des achats ou des lots complets, on garde le quotient.

Construire une expression qui donne un résultat voulu

On considère le calcul $6+4\times 5-3$. Réponds aux questions en écrivant chaque calcul.

1. 1.Ajoute une seule paire de parenthèses pour que le résultat soit 14.

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   $6+4\times (5-3)$

   La parenthèse fait passer la soustraction en premier : $5-3=2$, puis $4\times 2=8$ et $6+8=14$.

2. 2.Avec deux paires de parenthèses, obtiens 20.

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   $(6+4)\times (5-3)$

   $6+4=10$ et $5-3=2$, puis $10\times 2=20$. Aucune paire seule ne donne 20 : on trouve 47, 23 ou 14.

3. 3.Traduis en une seule expression le programme « choisir 7 ; lui ajouter 5 ; multiplier le résultat par 3 ; retirer 4 », puis calcule-la.

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   $(7+5)\times 3-4$, qui vaut 32.

   C’est la somme qui est multipliée : elle doit être entre parenthèses. $7+5=12$, $12\times 3=36$, puis $36-4=32$.

4. 4.Timéo traduit le même programme par $7+5\times 3-4$. Quel nombre obtient-il ? Quel programme a-t-il écrit en réalité ?

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   18 ; il a écrit : multiplier 5 par 3, ajouter 7, retirer 4.

   Sans parenthèses, la multiplication passe d’abord : $5\times 3=15$, $7+15=22$, $22-4=18$. Seul 5 est multiplié, pas la somme.

Repérer, expliquer et corriger des erreurs de calcul

Le document 1 contient quatre erreurs ; une seule ligne est juste. Pour chaque erreur, indique la ligne, explique ce qui est faux et écris ce qu’il fallait écrire.

Réponse rédigée. Ce que le correcteur attend, critère par critère :

1. 1.Ligne 1 — une soustraction faite avant la division.

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   La division passe avant : $10÷2=5$, puis $40-5=35$.

   Malo a calculé $40-10$ d’abord, en lisant de gauche à droite deux opérations qui n’ont pas la même priorité.

2. 2.Ligne 2 — une multiplication faite avant la division.

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   De gauche à droite : $72÷6=12$, puis $12\times 2=24$.

   Division et multiplication ont la même priorité : c’est l’ordre d’écriture qui décide, et non l’opération.

3. 3.Ligne 3 — une virgule placée d’après un seul facteur.

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   $15\times 4=60$, et trois chiffres après la virgule : $1,5\times 0,04=0,06$.

   Une estimation l’aurait montré : 1,5 fois quatre centièmes fait environ six centièmes, pas six dixièmes.

4. 4.Ligne 5 — deux horaires soustraits comme des décimaux.

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   De 14 h 50 à 15 h, 10 min ; de 15 h à 16 h 35, 1 h 35 min. Le film dure 1 h 45 min.

   Une heure vaut 60 minutes : « 85 min » devrait déjà alerter. La ligne 4, elle, est juste.

Mener un problème à plusieurs étapes et en contrôler les résultats

Lis le document 2, puis réponds aux questions en justifiant chaque étape.

1. 1.Quelle est la vitesse moyenne du groupe à la montée ?

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   3,8 km/h

   De 8 h 35 à 9 h : 25 min ; de 9 h à 11 h 05 : 2 h 05. La montée dure 2 h 30 min, soit 2,5 h, et $9,5÷2,5=3,8$.

2. 2.Combien de temps dure la descente ? Donne la réponse en heures et minutes.

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   1 h 54 min

   La durée est la distance divisée par la vitesse : $9,5÷5=1,9$ h. Or 0,9 h, ce sont neuf dixièmes de 60 minutes : $0,9\times 60=54$.

3. 3.Le groupe sera-t-il au parking avant le départ du car ? Justifie.

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   Oui : il arrive à 16 h 14, seize minutes avant le car.

   14 h 20 plus 1 h donne 15 h 20, puis 54 min de plus : 16 h 14. Le car part à 16 h 30, il reste 16 minutes.

4. 4.Zoé écrit, pour la somme payée par chaque participant : $315+2,40÷28$. Explique son erreur, puis écris l’expression juste et calcule-la.

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   Elle ne partage que la carte. Il faut $315÷28+2,40$, soit 13,65 € par participant.

   La division passe avant l’addition : chez Zoé, seule la carte est divisée par 28. $315÷28=11,25$, puis $11,25+2,40=13,65$.

5. 5.Quelle somme le calcul de Zoé donnerait-il, à peu près ? Explique pourquoi un ordre de grandeur aurait dû l’alerter.

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   Un peu plus de 315 € : plus que le prix du car entier pour un seul participant, c’est absurde.

   Le car pour 28 personnes, c’est environ $300÷30=10$ € chacun ; avec la carte, une douzaine d’euros. Un résultat de plus de 315 € est hors de proportion.

Inventer un énoncé dont la solution est une expression donnée

Invente l’énoncé d’un problème qui se résout par l’expression $(24-6)\times 1,5$, puis résous-le en concluant par une phrase.

1. 1.Une situation où l’on retire d’abord 6 de 24, deux quantités de même nature.

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   Par exemple 24 tulipes, dont 6 abîmées.

   La soustraction n’a de sens que si 24 et 6 comptent la même chose : des tulipes, des places, des élèves.

2. 2.Le nombre 1,5 multiplie ce qui reste, comme l’imposent les parenthèses.

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   Par exemple 1,50 € pour chaque tulipe restante.

   Les parenthèses disent que le produit porte sur le résultat de la soustraction, et non sur 6 seulement.

3. 3.Une question claire, qui annonce l’unité de la réponse.

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   Par exemple : combien gagne-t-il, en euros ?

   La question donne l’unité ; sans elle, l’énoncé ne dit pas ce que l’on cherche.

4. 4.La résolution trouve 27 et se termine par une phrase avec l’unité.

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   $24-6=18$ puis $18\times 1,5=27$, et une phrase de conclusion.

   Un nombre seul ne répond à aucune question : la phrase reprend la situation inventée et porte l’unité.