Proportionnalité et échelle

Décider si une situation est proportionnelle et le justifier

Pour chaque situation, réponds par oui ou non, puis justifie par des calculs.

1. 1.Photocopies : 10, 25 et 40 photocopies coûtent 1,50 €, 3,75 € et 6 €. Ce tarif suit-il la proportionnalité ?

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   Oui : les trois quotients valent 0,15.

   $1,50÷10=0,15$ ; $3,75÷25=0,15$ ; $6÷40=0,15$. Une photocopie coûte 0,15 € : c’est le coefficient.

2. 2.Colis : un transporteur demande 4 € pour 1 kg, 8 € pour 2 kg et 17 € pour 5 kg. Son tarif est-il proportionnel à la masse ?

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   Non : le quotient de la troisième colonne vaut 3,4, et non 4.

   $4÷1=4$ et $8÷2=4$, mais $17÷5=3,4$. Les deux premières colonnes s’accordent ; la troisième suffit à conclure.

3. 3.Quel prix le transporteur devrait-il demander pour 5 kg pour que son tarif devienne proportionnel ?

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   20 €

   Avec le coefficient des deux premières colonnes : $5\times 4=20$. Le transporteur fait donc un rabais sur les gros colis.

4. 4.Un livreur annonce : « Pour 2 colis, je mets 30 minutes ; pour 4 colis, je mets 50 minutes. » Le temps est-il proportionnel au nombre de colis ? Utilise le doublement.

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   Non : le nombre de colis double, le temps ne double pas.

   S’il y avait proportionnalité, 4 colis demanderaient $30\times 2=60$ minutes ; or le livreur annonce 50 minutes.

Exploiter un graphique

Observe le document 1, puis réponds aux questions en écrivant tes calculs.

1. 1.Lis le volume d’eau du bassin A après 2, 4 et 6 minutes. Calcule pour chacun le quotient du volume par le temps. Que remarques-tu ?

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   6 L, 12 L, 18 L ; le quotient vaut 3 à chaque fois.

   $6÷2=12÷4=18÷6=3$ : le bassin A reçoit 3 L par minute, et son volume est proportionnel au temps.

2. 2.Le graphique s’arrête à 8 minutes. Calcule le volume d’eau du bassin A après 10 minutes.

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   30 L

   Le bassin A reçoit 3 L par minute : $3\times 10=30$ L.

3. 3.Combien de temps faut-il pour que le bassin A contienne 45 L ?

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   15 minutes

   On cherche le nombre de minutes à 3 L chacune : $45÷3=15$ minutes.

4. 4.Lis le volume d’eau du bassin B après 2 minutes, puis après 4 minutes. Le volume double-t-il quand le temps double ? Explique ce que le graphique montre.

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   16 L puis 22 L : non. Le bassin B contenait déjà 10 L au départ.

   S’il y avait proportionnalité, on lirait 32 L à 4 minutes. Les points sont alignés, mais la droite ne passe pas par l’origine : la valeur pour 0 minute n’est pas nulle.

Calculer avec la proportionnalité dans les deux sens

Au marché, le prix des cerises est proportionnel à leur masse : 2 kg coûtent 9 €. Réponds en écrivant tes calculs.

1. 1.Calcule le coefficient de proportionnalité, c’est-à-dire le prix d’un kilogramme de cerises.

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   4,50 €

   On divise le prix par la masse : $9÷2=4,5$, soit 4,50 € le kilogramme.

2. 2.Quelle masse de cerises obtient-on pour 31,50 € ?

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   7 kg

   On divise le prix par le coefficient : $31,5÷4,5=7$. Contrôle : $7\times 4,5=31,5$.

3. 3.Sur les 25 enfants d’une classe, 10 viennent à vélo. Exprime cette part en pourcentage.

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   40 %

   On divise la partie par le tout : $10÷25=0,4$, c’est-à-dire 40 pour 100.

4. 4.Un film dure 1,75 h. Écris cette durée en minutes, puis en heures et minutes.

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   105 min, soit 1 h 45 min

   $1,75\times 60=105$ minutes ; $105-60=45$, donc 1 h 45 min.

Utiliser une échelle dans les deux sens

Une carte de randonnée est à l’échelle 1/25 000. Réponds en écrivant tes calculs et tes conversions.

1. 1.Sur la carte, un sentier fait 8 cm. Combien de kilomètres parcourt-on en le suivant ?

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   2 km

   $8\times 25000=200000$ cm ; 100 000 cm font 1 km, donc le sentier mesure 2 km.

2. 2.Un lac s’étire sur 1,5 km. Combien de centimètres occupe-t-il sur la carte ?

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   6 cm

   On convertit d’abord : 1,5 km font 150 000 cm. Puis $150000÷25000=6$ cm.

3. 3.La même région existe sur une carte au 1/50 000. Sur laquelle des deux cartes le sentier de la question a est-il dessiné le plus long ? Combien mesure-t-il sur l’autre carte ?

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   Sur la carte au 1/25 000 ; sur l’autre, il mesure 4 cm.

   Plus le dénominateur est grand, plus la réduction est forte : $200000÷50000=4$ cm, contre 8 cm au 1/25 000.

4. 4.Noah affirme : « Ici, 1 cm vaut 25 000 m. » Corrige-le.

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   1 cm représente 25 000 cm, soit 250 m.

   L’échelle n’a pas d’unité : les deux longueurs sont dans la même unité. 25 000 cm font 250 m, et non 25 000 m.

Adapter une recette et en calculer le coût

M. Garnier prépare le gâteau du document 2 pour les 27 personnes du goûter de la classe. Réponds en détaillant tes calculs.

1. 1.Calcule la masse de farine par convive, puis pour tout le goûter.

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   30 g ; 810 g

   $180÷6=30$ g par personne, puis $30\times 27=810$ g.

2. 2.Contrôle ce résultat par un autre chemin : combien de fois 6 personnes y a-t-il dans 27 personnes ?

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   4,5 fois ; on retrouve 810 g.

   $27÷6=4,5$, et $180\times 4,5=810$ : les deux chemins concordent, et 810 g est bien plus que 180 g.

3. 3.Combien d’œufs faudrait-il exactement ? Combien M. Garnier doit-il en prévoir ?

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   13,5 œufs ; il en prévoit 14.

   Un œuf pour deux personnes : $3÷6=0,5$, puis $0,5\times 27=13,5$. On arrondit au supérieur pour en avoir assez.

4. 4.La farine coûte 2 € le kilogramme. Combien coûte la farine nécessaire ?

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   1,62 €

   810 g font 0,81 kg ; $0,81\times 2=1,62$, soit 1,62 €.