Nombres entiers, décimaux et fractions

Écrire, comparer et encadrer des décimaux

Réponds à chaque question.

1. 1.Écris en chiffres le nombre « douze unités et cinquante-quatre millièmes ».

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   $12,054$

   54 millièmes s’écrivent sur trois rangs : 0 dixième, 5 centièmes, 4 millièmes, d’où 12,054 et non 12,54.

2. 2.Parmi $0,89$ ; $0,099$ ; $0,91$ ; $0,951$, lequel est compris entre $0,9$ et $0,95$ ?

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   $0,91$, car $0,900<0,910<0,950$

   Sur trois décimales : 0,890 et 0,099 sont plus petits que 0,900 ; 0,951 dépasse 0,950 ; seul 0,910 est entre les deux.

3. 3.Écris les deux nombres entiers consécutifs qui entourent $15,08$.

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   $15<15,08<16$

   La partie entière, 15, donne la borne du bas ; l’entier suivant, 16, celle du haut.

4. 4.Complète avec $<$, $>$ ou $=$ : $3,050$ … $3,05$.

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   $3,050=3,05$

   Un zéro placé à la fin de la partie décimale ne change pas le nombre : 50 millièmes et 5 centièmes, c’est la même quantité.

Écrire des fractions égales et simplifier

Réponds à chaque question en écrivant tes calculs.

1. 1.Complète : $\frac{3}{5}=\frac{\dots }{20}$.

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   $\frac{12}{20}$

   On passe de 5 à 20 en multipliant par 4 : on multiplie aussi le numérateur 3 par 4.

2. 2.Simplifie $\frac{45}{60}$ jusqu’à la fraction irréductible, en écrivant chaque division.

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   $\frac{45}{60}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$

   45 et 60 finissent par 5 et 0 : on divise par 5. Puis 9 et 12 sont dans la table de 3 : on divise par 3.

3. 3.Simplifie $\frac{56}{72}$ au maximum.

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   $\frac{7}{9}$

   On divise trois fois par 2 : $\frac{28}{36}$, $\frac{14}{18}$, $\frac{7}{9}$ ; on peut aussi diviser directement par 8.

4. 4.Parmi $\frac{14}{21}$, $\frac{10}{15}$ et $\frac{12}{16}$, une seule ne vaut pas $\frac{2}{3}$. Laquelle ? Prouve-le.

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   $\frac{12}{16}$, qui se simplifie en $\frac{3}{4}$.

   En divisant par 7, $\frac{14}{21}=\frac{2}{3}$ ; en divisant par 5, $\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$ ; mais en divisant par 4, $\frac{12}{16}=\frac{3}{4}$.

Passer de l'écriture fractionnaire à l'écriture décimale

Réponds à chaque question en écrivant tes calculs.

1. 1.Écris $\frac{7}{4}$ sous la forme d’un entier plus une fraction inférieure à 1, puis convertis le résultat en nombre décimal.

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   $\frac{7}{4}=1+\frac{3}{4}$ ; $\frac{7}{4}=1,75$

   Quatre quarts font 1, et il reste trois quarts : 1 et 0,75, soit 1,75. Contrôle par la division : $7÷4=1,75$, bien entre 1 et 2.

2. 2.Convertis $1,25$ en fraction irréductible.

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   $\frac{5}{4}$

   $1,25=\frac{125}{100}$ ; on divise les deux termes par 25. Contrôle : $5÷4=1,25$.

3. 3.Sans poser l’opération, explique pourquoi $5÷6$ ne donne pas un nombre décimal exact.

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   $\frac{5}{6}$ est irréductible et son dénominateur 6 contient le facteur 3 : la division ne tombe pas juste. Elle donne 0,8333… sans fin.

   Seuls les facteurs 2 et 5, les diviseurs de 10, font tomber la division juste. Comme 6 = 2 × 3, le 3 empêche l’écriture décimale exacte.

4. 4.Écris ces quatre nombres du plus petit au plus grand : $\frac{9}{8}$ ; $1,2$ ; $\frac{4}{3}$ ; $1,1$.

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   $1,1<\frac{9}{8}<1,2<\frac{4}{3}$

   On ramène tout en décimal : $9÷8=1,125$ et $\frac{4}{3}\approx 1,33$. Puis 1,100 < 1,125 < 1,200 < 1,333…

Additionner et soustraire des fractions

Calcule et donne le résultat sous forme irréductible.

1. 1.$\frac{2}{9}+\frac{5}{9}$

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   $\frac{7}{9}$

   Même dénominateur : on additionne les numérateurs, 2 + 5 = 7, et le dénominateur reste 9. 7 et 9 n’ont aucun diviseur commun.

2. 2.$\frac{3}{4}-\frac{5}{8}$

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   $\frac{1}{8}$

   8 est un multiple de 4 : $\frac{3}{4}=\frac{6}{8}$, puis $\frac{6}{8}-\frac{5}{8}=\frac{1}{8}$.

3. 3.$\frac{1}{6}+\frac{7}{12}$

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   $\frac{3}{4}$

   $\frac{1}{6}=\frac{2}{12}$, donc $\frac{2}{12}+\frac{7}{12}=\frac{9}{12}$, qui se simplifie par 3 en $\frac{3}{4}$.

4. 4.$\frac{11}{15}-\frac{2}{5}$

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   $\frac{1}{3}$

   $\frac{2}{5}=\frac{6}{15}$, donc $\frac{11}{15}-\frac{6}{15}=\frac{5}{15}$, qui se simplifie par 5 en $\frac{1}{3}$.

Résoudre un problème de partage

Le potager du collège a une aire de 48 m². On réserve le tiers du potager aux tomates et le quart aux carottes ; le reste est pour les fleurs. Observe le document 1, puis réponds en détaillant tes calculs.

1. 1.Combien de parts du document 1 représentent le tiers du potager ? Et le quart ?

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   Le tiers : 4 parts ($12÷3=4$) ; le quart : 3 parts ($12÷4=3$).

   La bande compte 12 parts égales ; en prendre le tiers, c’est en prendre une sur trois, soit 4.

2. 2.Calcule l’aire réservée aux tomates, puis celle réservée aux carottes.

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   Tomates : $48÷3=16$, soit 16 m² ; carottes : $48÷4=12$, soit 12 m².

   Un tiers de 48 m², c’est 48 divisé par 3 ; un quart, 48 divisé par 4. Les deux résultats sont bien inférieurs à 48 m².

3. 3.Quelle fraction du potager les tomates et les carottes occupent-elles ensemble ?

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   $\frac{4}{12}+\frac{3}{12}=\frac{7}{12}$

   Tiers et quarts ne s’additionnent pas directement : sur la bande, ce sont des douzièmes, $\frac{1}{3}=\frac{4}{12}$ et $\frac{1}{4}=\frac{3}{12}$.

4. 4.Quelle fraction du potager reste pour les fleurs ?

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   $\frac{12}{12}-\frac{7}{12}=\frac{5}{12}$

   Le potager entier vaut douze douzièmes ; on retire les sept douzièmes déjà occupés. Sur la bande, il reste bien 5 parts.

5. 5.Calcule l’aire réservée aux fleurs de deux façons différentes, et vérifie que les résultats concordent.

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   $48-16-12=20$ ; et $48÷12\times 5=20$. Les fleurs occupent 20 m².

   Par différence, on retire les deux aires calculées ; par la fraction, une part vaut 48 ÷ 12 = 4 m² et les fleurs en ont 5. Les deux méthodes donnent 20 m².