Nombres entiers, décimaux et fractions

Prouver ou réfuter une affirmation

Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse, et justifie : par une explication si elle est vraie, par un contre-exemple si elle est fausse.

1. 1.« Un nombre décimal qui a plus de chiffres après la virgule qu’un autre est toujours plus grand que lui. »

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   Faux. Contre-exemple : $0,8>0,79$, alors que 0,79 a plus de chiffres après la virgule.

   En complétant, 0,80 contre 0,79 : les dixièmes tranchent, 8 > 7. Le nombre de chiffres ne dit rien de la taille d’un décimal.

2. 2.« Si l’on ajoute le même nombre au numérateur et au dénominateur d’une fraction, on obtient une fraction égale. »

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   Faux. Contre-exemple : en ajoutant 1 aux deux termes de $\frac{1}{2}$, on obtient $\frac{2}{3}$ ; or $\frac{1}{2}=0,5$ et $\frac{2}{3}\approx 0,67$.

   Seules la multiplication et la division des deux termes par un même nombre conservent la fraction ; l’addition la change.

3. 3.« Une fraction dont le numérateur est plus grand que le dénominateur est plus grande que 1. »

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   Vrai. On prend plus de parts que l’unité n’en contient : par exemple $\frac{9}{5}=\frac{5}{5}+\frac{4}{5}$, soit 1 et encore quatre cinquièmes.

   Le dénominateur dit combien de parts forment l’unité ; si le numérateur est plus grand, on a dépassé l’unité entière, quelle que soit la fraction.

4. 4.« $\frac{7}{20}$ et $0,35$ sont égaux. »

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   Vrai. En multipliant les deux termes par 5 : $\frac{7}{20}=\frac{35}{100}$, c’est-à-dire 0,35.

   Multiplier les deux termes par un même nombre ne change pas la fraction ; comme 20 = 2 × 2 × 5 ne contient que des facteurs 2 et 5, on atteint 100 et la fraction est un décimal exact.

5. 5.« Prendre 25 % d’une quantité, c’est la diviser par 25. »

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   Faux. 25 %, c’est le quart : on divise par 4. Par exemple, 25 % de 40 € font 10 €, alors que $40÷25=1,6$.

   Un pourcentage simple se lit comme une fraction : 25 % = un quart. Diviser par 25 donne un tout autre nombre.

Repérer une erreur et la corriger

La copie du document 1 contient quatre erreurs ; une seule ligne est juste. Pour chaque erreur, indique la ligne, explique ce qui est faux et écris ce qu’il fallait écrire.

Réponse rédigée. Ce que le correcteur attend, critère par critère :

1. 1.Ligne 2 — un arrondi présenté comme un résultat exact.

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   $\frac{2}{3}$ ne tombe pas juste : $2÷3$ donne 0,666… sans fin, car le dénominateur 3 n’est ni 2 ni 5. Il fallait écrire $\frac{18}{27}\approx 0,67$, ou garder la fraction $\frac{2}{3}$, qui est exacte.

   La fraction dit exactement ce que le décimal ne peut qu’approcher ; écrire « exactement » devant un arrondi est faux.

2. 2.Ligne 3 — une fraction d’une quantité calculée à l’envers.

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   Lucas divise par le numérateur au lieu du dénominateur, et retrouve toute la quantité. Il fallait : $27÷3=9$, puis $9\times 2=18$ billes.

   Le contrôle du cours suffisait : deux tiers, c’est moins que le tout, le résultat devait être inférieur à 27.

3. 3.Ligne 4 — une mise au même dénominateur mal faite.

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   $\frac{1}{3}$ n’est pas égal à $\frac{1}{9}$ : pour passer du dénominateur 3 au dénominateur 9, on multiplie les deux termes par 3, donc $\frac{1}{3}=\frac{3}{9}$. Résultat : $\frac{4}{9}+\frac{3}{9}=\frac{7}{9}$.

   Changer seulement le dénominateur change la taille des parts sans changer leur nombre : la fraction n’est plus la même.

4. 4.Ligne 5 — un encadrement confondu avec le dénominateur.

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   L’encadrement vient du quotient entier de 13 par 4, pas du dénominateur : $4\times 3=12$ et $4\times 4=16$, donc $3<\frac{13}{4}<4$. Contrôle : $\frac{13}{4}=3,25$.

   Le dénominateur dit la taille des parts ; c’est la division du numérateur par le dénominateur qui situe la fraction.

Transférer la lecture d'une demi-droite graduée

Sur cette demi-droite, les graduations sont régulières, mais seuls l’origine et le point d’abscisse $\frac{1}{2}$ sont indiqués. Réponds aux questions ; place les points directement sur la demi-droite.

1. 1.Quelle fraction de l’unité représente l’écart entre deux graduations voisines ? Justifie.

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   $\frac{1}{6}$ : $\frac{1}{2}$ est à 3 graduations de 0, et $\frac{1}{2}=\frac{3}{6}$, donc chaque graduation vaut un sixième.

   Si un demi occupe 3 intervalles, l’unité entière en occupe deux fois plus, soit 6 : l’unité est partagée en 6 parts égales.

2. 2.Où se trouve le nombre 1 sur cette demi-droite ? Marque-le d’une croix et nomme-le I.

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   Six sixièmes font 1 : la croix I se met 6 intervalles après 0, deux fois plus loin que $\frac{1}{2}$.

   L’unité correspond à 6 intervalles d’un sixième chacun.

3. 3.Le point M repère quel nombre ? Donne-le sous sa forme la plus simple.

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   Huit sixièmes : $\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$.

   Huit sixièmes ; 8 et 6 sont pairs, on divise les deux par 2 pour obtenir la forme irréductible.

4. 4.Marque d’une croix, et appelle N, le point qui repère $\frac{5}{3}$.

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   $\frac{5}{3}=\frac{10}{6}$ : dix sixièmes, soit 10 intervalles depuis 0.

   On écrit la fraction avec le dénominateur 6 des graduations en multipliant ses deux termes par 2.

5. 5.Le nombre $\frac{7}{4}$ tombe-t-il exactement sur un trait de cette demi-droite ? Justifie.

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   Non. $\frac{7}{4}=1,75$ est entre $\frac{10}{6}\approx 1,67$ et $\frac{11}{6}\approx 1,83$. En douzièmes : $\frac{7}{4}=\frac{21}{12}$, entre $\frac{20}{12}$ et $\frac{22}{12}$ : le point est au milieu de la 10e et de la 11e graduation.

   Pour tomber sur une graduation, il faudrait écrire la fraction avec 6 pour dénominateur ; or on ne passe pas de 4 à 6 en multipliant par un nombre entier.

Résoudre un problème à étapes

Les 24 élèves d’une classe de sixième votent pour une sortie. Les trois huitièmes de la classe choisissent le musée, le tiers choisit le zoo, et tous les autres le planétarium. Réponds aux questions en détaillant ta démarche.

1. 1.Combien d’élèves ont voté pour le musée ? Et pour le zoo ?

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   Musée : $24÷8=3$, puis $3\times 3=9$ élèves. Zoo : $24÷3=8$ élèves.

   On divise l’effectif par le dénominateur pour avoir une part, puis on multiplie par le numérateur. Les deux résultats sont bien inférieurs à 24.

2. 2.Noé affirme : « Le planétarium a eu plus de voix que le musée. » A-t-il raison ? Justifie.

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   Non. Le planétarium a eu $24-9-8=7$ voix, moins que les 9 voix du musée.

   Les autres élèves sont ceux qui restent une fois retirés les votes du musée et du zoo ; on compare ensuite 7 et 9.

3. 3.Quelle fraction de la classe a voté pour le planétarium ? Trouve-la de deux façons : à partir du nombre de voix, puis par un calcul sur les fractions.

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   $\frac{7}{24}$. Avec les voix : 7 élèves sur 24. Avec les fractions : $\frac{3}{8}=\frac{9}{24}$ et $\frac{1}{3}=\frac{8}{24}$, donc $\frac{24}{24}-\frac{9}{24}-\frac{8}{24}=\frac{7}{24}$.

   On écrit les deux fractions avec le dénominateur 24 en multipliant les deux termes par 3, puis par 8 ; la classe entière vaut vingt-quatre vingt-quatrièmes. Les deux méthodes concordent.

4. 4.Dans une autre classe, de 30 élèves, la professeure annonce : « Chez nous aussi, exactement les trois huitièmes ont choisi le musée. » Est-ce possible ? Justifie.

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   Non. Les trois huitièmes de 30 donnent $30÷8=3,75$, puis $3,75\times 3=11,25$ élèves : ce n’est pas un nombre entier.

   Pour que les trois huitièmes d’une classe fassent un nombre entier d’élèves, il faudrait que son effectif soit dans la table de 8 ; 30 ne l’est pas.