Géométrie plane : Figures et construction

Prouver ou réfuter une affirmation

Pour chaque affirmation, réponds par vrai ou faux et justifie par une propriété du cours, un calcul ou un contre-exemple.

1. 1.« $M$ est à 2,5 cm de l’axe $(d)$ ; son image $M^{\prime }$ est donc à 2,5 cm de $M$. »

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   Faux : $M{M}^{\prime }=5$ cm.

   Le symétrique est à 2,5 cm de l’autre côté de l’axe : le segment qui joint les deux points mesure $2,5+2,5=5$ cm, et $(d)$ le coupe en son milieu.

2. 2.« Avec trois longueurs de 4 cm, 4 cm et 8 cm, on obtient un triangle isocèle. »

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   Faux : ce triangle n’existe pas.

   $4+4=8$ : la somme des deux plus petits côtés égale le plus grand, les trois sommets seraient alignés. On ne classe pas un triangle qu’on ne peut pas construire.

3. 3.« Tout ce qu’on sait du losange est vrai pour le carré. »

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   Vrai : le carré est un losange particulier.

   Le carré a ses côtés opposés parallèles et ses quatre côtés égaux : c’est un losange, et il hérite de toutes ses propriétés. La réciproque, elle, est fausse.

4. 4.« Sur un cercle de centre $O$, deux points $M$ et $N$ tels que $MN=2\times OM$ sont alignés avec $O$. »

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   Vrai : $[MN]$ est un diamètre.

   La corde $[MN]$ mesure deux rayons ; or une corde n’atteint cette longueur que si elle passe par le centre. C’est donc un diamètre, et $M$, $O$, $N$ sont alignés.

5. 5.« Deux droites perpendiculaires à une même droite sont perpendiculaires entre elles. »

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   Faux : elles sont parallèles.

   La propriété du cours dit le contraire : deux perpendiculaires à une même droite ne se coupent jamais. Contre-exemple : dans un rectangle $ABCD$, $(AD)$ et $(BC)$ sont perpendiculaires à $(AB)$ et parallèles entre elles.

Corriger un raisonnement

Le document 1 est la copie de Malo. Quatre lignes contiennent une erreur. Repère-les dans le tableau : le numéro de la ligne, ce qui est faux et pourquoi, ce qu’il fallait écrire.

Réponse rédigée. Ce que le correcteur attend, critère par critère :

1. 1.Ligne 1 — une longueur prêtée à un objet illimité.

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   On trace le segment $[AB]$ tel que $AB=6$ cm.

   Une droite n’a pas de longueur : seul un segment se mesure, et sa longueur s’écrit sans crochets.

2. 2.Ligne 2 — un cas particulier exclu de sa famille.

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   Le triangle $RST$ est équilatéral, donc aussi isocèle.

   Un triangle équilatéral a au moins deux côtés égaux : c’est un cas particulier d’isocèle, jamais l’inverse.

3. 3.Ligne 4 — une conclusion tirée de l’aspect du dessin.

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   Il fallait un chevron ou une propriété pour affirmer le parallélisme.

   La feuille s’arrête, les droites non : elles pourraient se couper plus loin. Il faut un chevron, ou deux perpendiculaires à une même droite.

4. 4.Ligne 5 — l’emboîtement lu à l’envers.

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   Un rectangle n’est un losange que s’il est un carré.

   Il manque au rectangle l’égalité des quatre côtés ; c’est le carré qui est à la fois rectangle et losange.

Démontrer par l'héritage des propriétés

Observe le document 2. Le dessin suggère que le cercle passe par les quatre sommets du rectangle : démontre-le, puis examine le cas du losange.

1. 1.Pourquoi le point $O$ est-il le milieu de $[AC]$ et de $[BD]$ ?

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   Parce que le rectangle est un parallélogramme.

   Les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu ; le rectangle, parallélogramme particulier, hérite de cette propriété.

2. 2.Démontre que $OA=OB=OC=OD$, et calcule cette longueur.

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   Chacune vaut 5 cm.

   Les diagonales du rectangle ont la même longueur, 10 cm, et $O$ est leur milieu commun : les quatre demi-diagonales mesurent $10÷2=5$ cm.

3. 3.Déduis-en que le cercle de centre $O$ passant par $A$ passe aussi par $B$, $C$ et $D$. Quel est son rayon ? Quel nom porte $[AC]$ pour ce cercle ?

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   Rayon 5 cm ; $[AC]$ est un diamètre.

   $B$, $C$ et $D$ sont, comme $A$, à 5 cm de $O$ : ils sont sur ce cercle. $[AC]$ joint deux points du cercle en passant par le centre : c’est un diamètre.

4. 4.Le cercle de centre $P$ passant par $E$ passe-t-il aussi par $F$ ? Justifie, puis dis quelle propriété manque au losange.

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   Non : $PE=4$ cm mais $PF=2$ cm.

   $P$ est le milieu des deux diagonales, car le losange est un parallélogramme : $PE=8÷2=4$ cm et $PF=4÷2=2$ cm. Ses diagonales n’ont pas la même longueur : c’est la propriété du rectangle qui lui manque.

Construire au compas et justifier

On donne un triangle $ABC$ tel que $BC=6$ cm, $AB=5$ cm et $AC=4$ cm. On veut construire le symétrique $A^{\prime }$ de $A$ par rapport à la droite $(BC)$ sans utiliser l’équerre.

1. 1.Justifie par un calcul que le triangle $ABC$ existe.

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   $5+4=9$, plus que 6.

   La somme des deux plus petits côtés, 9 cm, dépasse strictement le plus grand, 6 cm : les arcs se couperont.

2. 2.Construis le triangle $ABC$ en prenant $[BC]$ pour base, puis le point $A^{\prime }$ au compas seul. Trace $[A{A}^{\prime }]$ et code ta figure.

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   Arcs de centre $B$ (5 cm) et de centre $C$ (4 cm) prolongés de l’autre côté de $(BC)$ : leur second point commun est $A^{\prime }$ ; angle droit et longueurs égales codés sur $[A{A}^{\prime }]$.

   La même ouverture de compas sert deux fois : au-dessus de $(BC)$, elle donne $A$ ; au-dessous, elle donne $A^{\prime }$.

3. 3.Pourquoi peut-on être sûr que $A^{\prime }$ est l’image de $A$ dans la symétrie d’axe $(BC)$, sans avoir utilisé l’équerre ?

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   $A$ et $A^{\prime }$ sont les deux points communs des arcs de centres $B$ et $C$.

   La construction d’un triangle au compas le dit : les deux intersections des arcs sont symétriques par rapport à la base $[BC]$, donc par rapport à la droite $(BC)$.

4. 4.Contrôle ta figure à l’équerre et à la règle : quelles sont les deux propriétés que doit vérifier $[A{A}^{\prime }]$ ? Mesure ensuite $A{A}^{\prime }$.

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   Angle droit en $H$, point commun de $[A{A}^{\prime }]$ et de $(BC)$, et $HA=H{A}^{\prime }$ ; $A{A}^{\prime }$ mesure environ 6,6 cm.

   Ce sont les deux conditions de la définition du symétrique. Une mesure éloignée de 6,6 cm signale une ouverture de compas qui a glissé.

5. 5.Sans mesurer, donne le périmètre du triangle $A^{\prime }BC$. Justifie.

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   15 cm

   $B$ et $C$ sont sur l’axe, donc leurs propres symétriques ; la symétrie conserve les longueurs : $A^{\prime }B=5$ cm, $A^{\prime }C=4$ cm, et $5+4+6=15$ cm.

6. 6.Inès affirme : « Pour construire le symétrique d’un point $M$ par rapport à une droite $(d)$, il suffit de choisir deux points $U$ et $V$ sur $(d)$ et de tracer l’arc de centre $U$ et l’arc de centre $V$ qui passent par $M$. » A-t-elle raison ? Justifie.

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   Oui : le second point commun des deux arcs est le symétrique de $M$.

   C’est la construction précédente avec le triangle $UVM$ et la base $[UV]$ : les deux intersections des arcs sont symétriques par rapport à $(UV)$, c’est-à-dire par rapport à $(d)$.