Géométrie plane : Figures et construction

Lire une figure et ses notations

Observe le document 1, puis réponds en justifiant.

1. 1.Le point $D$ appartient-il au segment $[AB]$ ? à la demi-droite $[BA)$ ? à la demi-droite $[AB)$ ?

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   Non ; oui ; non.

   $D$ est au-delà de $A$ : il est hors du segment ; il est sur $[BA)$, qui part de $B$ et dépasse $A$ ; il n’est pas sur $[AB)$, qui part de $A$ dans la direction de $B$, à l’opposé de $D$.

2. 2.Avec la bonne notation, écris l’objet qui part de $O$, passe par $C$ et ne s’arrête jamais.

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   $[OC)$

   L’origine $O$ se place contre le crochet ; la parenthèse, du côté de $C$, dit que la ligne continue.

3. 3.Quelle est la longueur $AB$ ? Justifie.

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   6 cm

   $[AB]$ passe par le centre $O$ : c’est un diamètre, qui vaut deux rayons de 3 cm.

4. 4.$D$ fait-il partie du cercle ? Réponds à l’aide d’un calcul.

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   Non : $OD=5$ cm, et non 3 cm.

   $O$, $A$ et $D$ sont alignés dans cet ordre : $OD=OA+AD$, soit $3+2=5$ cm. Plus loin du centre que le rayon, $D$ est à l’extérieur du cercle.

Appliquer l'inégalité triangulaire

Pour chaque question, écris le calcul qui justifie ta réponse.

1. 1.Trois baguettes mesurent 4,5 cm, 2,8 cm et 6,1 cm. Peut-on les assembler bout à bout en triangle ?

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   Oui : $2,8+4,5=7,3$, et $7,3>6,1$.

   Le plus grand côté mesure 6,1 cm ; la somme des deux autres le dépasse, les arcs se coupent.

2. 2.Et avec trois baguettes de 3,6 cm, 9,5 cm et 5,9 cm ?

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   Non : $3,6+5,9=9,5$, exactement le plus grand côté.

   La somme égale le plus grand côté : les arcs se touchent en un point du grand côté, les trois sommets sont alignés et le triangle est aplati.

3. 3.Deux côtés d’un triangle mesurent 3 cm et 8 cm ; le troisième mesure un nombre entier de centimètres. Donne toutes les valeurs possibles.

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   6, 7, 8, 9 ou 10 cm.

   Si 8 cm est le plus grand côté, il faut que 3 cm plus le troisième côté dépasse 8 cm : au moins 6 cm. Si le troisième côté est le plus grand, il doit rester sous $3+8=11$ cm : au plus 10 cm.

4. 4.Laquelle de ces valeurs donne deux côtés de même longueur ?

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   8 cm

   Avec 8 cm, deux côtés sont égaux. La valeur 3 cm n’est pas dans la liste, car $3+3=6$ n’atteint pas 8.

Justifier par un codage ou une propriété

Observe le document 2. Réponds en citant le codage ou la propriété du cours qui justifie ta réponse.

1. 1.Que peut-on affirmer des droites $(d_1)$ et $(d_2)$ ? Écris-le avec le bon symbole.

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   $(d_1)\parallel (d_2)$

   Le codage dit que $(d_1)$ et $(d_2)$ sont toutes deux perpendiculaires à $(d)$ ; or deux droites perpendiculaires à une même troisième sont parallèles entre elles.

2. 2.Tom affirme que $(d_3)$ est parallèle à $(d_1)$, « puisqu’elles ne se croisent pas sur le dessin ». Qu’en penses-tu ?

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   Tom a tort de conclure : aucun codage ne relie $(d_3)$ à $(d)$.

   Aucun angle droit n’est codé entre $(d_3)$ et $(d)$ : prolongées au-delà de la feuille, $(d_3)$ et $(d_1)$ pourraient se couper.

3. 3.Que peut-on dire du point $I$ ? Pourquoi ?

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   $I$ est le milieu de $[EG]$ et de $[FH]$.

   Un losange est un parallélogramme ; or les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu, et le losange en hérite.

4. 4.$KLMN$ a un angle droit en $K$. Quel est son nom le plus précis ? Justifie.

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   Un rectangle.

   L’angle droit, joint au parallélisme des côtés opposés, donne quatre angles droits : un parallélogramme à quatre angles droits est un rectangle.

Exécuter et justifier une construction

On veut construire un triangle $ABC$ tel que $AB=7$ cm, $AC=5$ cm et $BC=4$ cm. Suis le programme dans l’ordre et laisse visibles les traits de construction.

1. 1.Avant de tracer, vérifie par une addition que ces trois longueurs conviennent.

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   $4+5=9$, et $9>7$.

   Les deux plus petits côtés, 4 cm et 5 cm, totalisent 9 cm, plus que le plus grand côté, 7 cm.

2. 2.Place les sommets $A$, $B$ et $C$ à l’aide de la règle graduée et du compas.

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   $[AB]$ de 7 cm ; arc de centre $A$ et de rayon 5 cm, arc de centre $B$ et de rayon 4 cm ; $C$ à leur intersection ; côtés repassés.

   Contrôle : $AC$ doit mesurer 5 cm et $BC$ 4 cm. Un écart de plus d’un millimètre signale une ouverture de compas qui a glissé.

3. 3.Les deux arcs se coupent en un second point, que tu nommes $E$. Le triangle $ABE$ répond-il aussi au programme ? Pourquoi ?

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   Oui : $AE=5$ cm et $BE=4$ cm.

   $E$ est sur l’arc de centre $A$ et de rayon 5 cm, et sur l’arc de centre $B$ et de rayon 4 cm, comme $C$ : le triangle $ABE$ a les mêmes trois longueurs.

4. 4.Trace la perpendiculaire à $(AB)$ passant par $C$ ; elle coupe $(AB)$ en $H$. Code l’angle droit. Contrôle : $CH$ mesure environ 2,8 cm.

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   Équerre posée le long de $(AB)$, glissée jusqu’à $C$ ; un petit carré en $H$.

   Si $CH$ s’écarte nettement de 2,8 cm, c’est le triangle ou l’équerre qui a glissé : on reprend le tracé avant de continuer.

5. 5.Avec l’équerre seulement, mène par $C$ la droite $(\Delta )$ qui ne coupera jamais $(AB)$, puis code-la.

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   Perpendiculaire à $(CH)$ menée par $C$ ; codage : carré en $C$, chevron commun à $(\Delta )$ et $(AB)$.

   C’est la méthode du cours : une seconde perpendiculaire, tracée à partir de la première, donne la parallèle.

6. 6.Justifie que $(\Delta )$ est parallèle à $(AB)$.

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   $(\Delta )\perp (CH)$ et $(AB)\perp (CH)$, donc $(\Delta )\parallel (AB)$.

   Deux droites perpendiculaires à une même troisième sont parallèles : c’est la propriété qui justifie, et non l’aspect du tracé.

Construire un symétrique, analyser une erreur

Construis sur le quadrillage le symétrique $P^{\prime }{Q}^{\prime }{R}^{\prime }{S}^{\prime }$ du quadrilatère $PQRS$ par rapport à la droite $(d)$, puis réponds.

1. 1.Construis $P^{\prime }$, $Q^{\prime }$, $R^{\prime }$ et $S^{\prime }$, puis trace $P^{\prime }{Q}^{\prime }{R}^{\prime }{S}^{\prime }$.

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   $S^{\prime }$ confondu avec $S$ ; $P^{\prime }$, $Q^{\prime }$ et $R^{\prime }$ placés le long des diagonales perpendiculaires à $(d)$, à la même distance de l’axe que $P$, $Q$ et $R$.

   Par exemple, depuis $R$, on atteint l’axe en descendant de 2 carreaux et en avançant de 2 ; on recommence une fois au-delà de l’axe pour placer $R^{\prime }$.

2. 2.Pour placer $R^{\prime }$, Nina a compté les carreaux horizontalement jusqu’à $(d)$, puis autant au-delà : elle a obtenu $R_1$. Explique son erreur.

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   Elle a reporté la distance horizontalement, de biais par rapport à l’axe, et non perpendiculairement.

   Avec un axe vertical, compter horizontalement revient à suivre la perpendiculaire ; ici l’axe est oblique, et $R_1$ tombe trop loin, à 4 carreaux de l’axe sur la ligne de $R$, au lieu d’être en $R^{\prime }$.

3. 3.Sans compter les carreaux, compare l’aire de $PQRS$ et celle de $P^{\prime }{Q}^{\prime }{R}^{\prime }{S}^{\prime }$. Justifie.

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   Elles sont égales.

   La symétrie axiale conserve les aires : les deux quadrilatères sont superposables en retournant la feuille.

4. 4.En suivant $P$, $Q$, $R$ puis $S$, on tourne dans le sens des aiguilles d’une montre. Dans quel sens tourne-t-on en suivant $P^{\prime }$, $Q^{\prime }$, $R^{\prime }$ puis $S^{\prime }$ ?

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   Dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.

   La symétrie conserve les longueurs et les angles mais renverse le sens de parcours, comme un miroir.